是理解取向还是研究取向①

徐章韬 汪晓勤

(1.华中师范大学数学与统计学学院 430079;2.华东师范大学教师教育学院 200062)

1 该如何导入

人们认为教育价值是教学设计的灵魂.价值涉及到一种判断，是“值不值”的问题，不同的人有不同的价值观同样，对于教学设计，不同的人也有不同的价值判断.写在教材中的知识，既可以理解成一种结果，也可理解成一种过程.

如果把知识理解成一种结果，一种重要的成果，就会对其无比珍视，会从多角度进行理解.在教学设计及教学时，也是致力于这个目标，力图对作为结果的知识之间内在关系进行揭示，并产生广泛的关联，把其置于知识网络之中，还会努力化作学生的认知结构.这种导入法及设计，顺承了知识之间的内在逻辑，教起来也顺手，也能开阔学生的视野.

如果把知识理解成一种过程，就会力求弄清楚知识产生的动机，及推动知识产生的本原性问题，然后设置恰当的情境，把问题置于情境之中，致力于发展学生做数学的各种活动经验.对于这两种导入或引入方式，由于没有从根本上理解清楚，在教学实践中出现了一些偏差.比如，情境创设本意是好的，但由于情境创设的不恰当，问题不是从情境中挖掘出来的，还不如直接从知识间的内在关联导入来得直截了当，这样也导致了一些批评，认为数学课不是在讲数学，偏题了.说句公道话，这其实不能怪教师.教师的很多知识都是从教科书中学来的，教材在编写时，多是从知识间的内在关联来写的，很少从问题动机的产生来写.这样批评也不甚恰当，因为呈现在教科书中的内容，由于所处的位置不同，并非每一个都是由问题刺激产生的，有的是逻辑自然推演的结果.故而，内在关联导入法和情境问题法应各有其所.但在一些重要的、基本的主题上应有一些区别.下面通过例子来说明在重要的、基本主题上内在关联导入法和情境问题法的区别.

2 两种导入方式

以基本不等式为例.一般的基于内在关联导入的做法是这样的.因为非负数具有非负性，即x2≥0，用a-b代替x，这样就得到了基本不等式.沪教版、湘教版就是这样处理的.这是着眼于代数角度.人教版教材的处理法，重在几何，突出了知识间的联系，用赵爽弦图、面积法来做的，即(a+b)2=(a-b)2+4ab，舍去中间的正方形的面积，就得到了基本不等式.这种做法很容易转化为教师的课堂实践，也有很好的效果.

从赵爽弦图讲起，不言而喻，是老祖宗的东西，有浓郁的历史文化气息，而且也能用超级画板等动态几何软件实现，课堂气氛也很活跃.这些都是数学教育的附加值，其内在的教育价值还可进一步挖掘.张奠宙先生曾指出，均值不等式的教学要突出恒不等式的价值[1].上面的做法，比起从不等臂天平的导入法，的确更符合数学的内在逻辑，也更自然.从恒等式中产生恒不等式，揭示了相等和不等间的辩证关系，有利于学生对这两大关系的认识.从赵爽弦图讲起，在知识衔接上也有诸多好处.如，初中讲了两数和的完全平方公式，两数差的完全平方公式，这两个公式其实是同一个公式，也可以用一个恒等式统一起来，(a+b)2=(a-b)2+4ab，在欧几里得的《几何原本》中也能找到这个公式的影子.如果写成向量形式，就成了极化恒等式.关注和式结构、乘积结构，自然就有了基本不等式.人教版教材从赵爽弦图讲起，是有很多好处的.这是一种基于理解的导入法.这种导入法的不足之处是，知识产生的动机揭示不足，人们因何种需要或动机而产生基本不等式，这个问题没有回答.现在教学逻辑是，可以从旧知识的多角度认识中产生基本不等式，而且它还有很多用处，所以在教学中把这些讲清楚，让学生练会就够了.如果用“教学设计价值是教学设计的灵魂”“教育价值决定教学方式”的标准考量，那么，有没有更有价值的教学设计呢？更有价值的教学设计，在于揭示问题产生的动机，且提供一个可以持续研究的主题.

周长和面积之间的关系是一个历史很悠久的研究主题.历史上，有人通过周长来推断不同城市、不同地区的面积；也有人通过绕海岛航行一周来确定海岛的面积；也有人对周长相等的营地可以容纳不同的人数感到困惑；也有人在分配土地时，利用周长和面积之间的关系作出对自己有利的选择，等等.这些事实表明，古人对周长和面积之间的关系还不甚了解，因此有必要研究周长和面积之间的关系.现有两块土地，一块是长方形状的、一块是正方形的，它们的周长相等，请问哪一块的面积更大？

这一段话事实是指出了研究动机，我们何以要研究周长和面积之间的关系，从哪里入手研究面积和周长之间的关系呢？这显然是一个开放性的问题，为了完成教学任务，教师可以引导学生朝预设的方向前行，完成教学目标之后，就可以让学生天马行空般地进行探索了.先引导学生从英国数学家沃利斯在研究等周问题时思考过的问题入手，防范了探究性教学时可能产生的路向不确定性.挪威数学家阿贝尔曾用“和差术”给出过非常精彩的证明，湘教版把这种方法写进了《不等式选讲》中.

3 两种导入方式的比较

第一种导入方式，重在引导接受，其长处是能使学生在尽可能短的时间内获得尽可能多的知识和技能，也有助于学生加深对已学过知识的深刻理解，获得较好的成绩；其不足之处在于易导致学习的被动接受和学习过程的消极.“你讲了我就懂了，你不讲，我也不知道要从这方面想”，正是这种导入方式效果的白描写照.

第二种导入方式，有情境，有问题，指出一种研究主题，能使学生明了其研究动机.这种引导对学生的要求很高，要求学生能悟到教师在引导他们做什么.其可能的不足之处在于，知识间的内在关联揭示不充分，学生技能训练不到位.这也正是“过程—结果”的辩证冲突，是重过程，还是重结果，是过程取向，还是结果取向.坚持过程取向，或是过程-结果并重，那么后继应有相关的教学措施跟进可以开发系列拓展性学习材料，供学习阅读或训练.

下面的材料揭示了“周长和面积之间的关系”，说明了“周长和面积”是一个有价值的研究主题，基本不等式、秦九韶公式也只是其中的成果之一.

周长和面积、面积与体积之间存在内在联系.著名的等周定理，即等周不等式，就揭示了欧氏平面上封闭图形的周长及其面积之间的关系.其中的“等周”是指周长相等.等周定理指出，在周长相等的封闭几何图形中，以圆的面积最大；面积相等的几何图形中，以圆的周长最小.如果让一个人跑步圈地，使圈得的地的面积尽可能大，由于他的体能是一定的，所走的路程是一定的，出于本能，他圈出的地是圆形.这两种说法是对偶的.推广到空间，表面积相等的封闭几何体中，以球的体积最大；体积相等的几何形体中，以球的表面积最小.一个直观例子就是水珠的形状，表面张力会使水珠的表面积达到最小；另一个直观例子就是冬天时，狗蜷缩成一团，此时，与外界接触的表面积最小，热量散失少；夏天时，狗四肢伸张，躺在地上，此时，与外界接触的表面积就大些，热量散失快.

周长可认为是面积的边界，面积可认为是体积的边界，可用积分揭示.格林公式、斯托克斯公式、奥高公式揭示了周长-面积，面积-体积间的关系，统一的Stokes公式就是高度概括了边界和区域之间的关系，体现了数学的内在和谐之美.稍扩展一点，如果把区间端点看作区间的“边界”，那么微积分基本定理，揭示的也是“边界”与“区域”之间的关系.古鲁金定理指出，平面曲线绕此平面上不与其相交的轴(可以是它的边界)旋转一周，所得旋转体的侧面积等于此曲线的重心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长；平面图形绕与其不相交的轴(可以是它的边界)旋转一周，所得旋转体的体积等于此图形的重心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该图形的面积.

排列组合的加法原理和乘法原理也能用周长-面积来解释.做一件事可从“长”“宽”两个维度着手，加法原理是说从“长”或“宽”中任取一种方案即可完成，故所有的完成方法数是矩形的半周长，乘法原理是说要同时从“长”和“宽”各取一种方案才能完成，故所有的完成方法数是矩形的面积.

周长-面积，面积-体积之间的关系的确是一个值得研究的好问题.从周长-面积之间的关系导入基本不等式，着眼于学生的长远发展，更具有教育价值.

4 精致训练系统的构造

学生不是听会的，很大程度上是练会的.这就需要配备一些精心设计的有层次的训练支持教学方式的选择.现在有众多的习题支持基于结果理解的教学导入，缺乏的是支持基于过程理解的情境问题导入的精致训练题[2-3].

(1)证明：在等底等周的所有三角形之中，等腰三角形的面积最大.

(2)证明：若等底的三个等腰三角形的腰构成等差数列，则以中项为腰的等腰三角形的面积大于另两个等腰三角形面积的算术平均值.

(3)若腰为中项的等腰三角形的顶角为直角，并将等腰三角形拼成正方形，其余两个等腰三角形拼成筝形，试比较它们的面积大小.

(4)试用多种方法证明周长相等的矩形和正方形，以正方形的面积为最大.

(5)证明：在所有等周正多边形中，边数最大的多边形面积最大.

(6)“勾股容方”是我国古代优秀的文化遗产.在直角边分别为a、b的直角三角形中，内接一个正方形，求其边长内接一个矩形，问何时内接矩形的面积最大？并分别比较此时内接矩形、正方形的周长和面积的大小.

5 教材研究范式应转变

行为主义学习理论、变式教学理论、理性思维的认知调控理论、情境认知理论都指出，数学知识要不断涵化，不断运用，才能为学习者所掌握.提倡某种教学理论或方法，却不提供理论运用的实例，及各种教学资源，教师很难用得到课堂上.为教师提供足够的资源，是相当重要的.基于知识结果理解的引入或教学之所以能流行，原因之一在于有很多研究考试命题、解题的人员，考试中心的、教研室的、民间的，提供了大量的教学资料，教师只要稍加整理就可以在课堂上运用，而且效果还不错.而基于过程探究的引入或教学之所以难以开展，不能怪教师理念不先进，而是相关的配套服务措施或资源跟不上，有的教师心有余而力不足，不具备开展真正的以问题为导向的研究性学习.根据我们的研究，三维课程目标和学科核心素养并不矛盾，两者是一般与特殊，面上与具体点的关系.[4]作为理论研究者，教师教育研究者应做好服务工作.

数学史是一座丰富的宝藏，HPM应更有为，应从数学史中挖掘出更多的研究性教学资源，以供教学之用，为教学理念的实施提供技术上的支持或指导，引导教师学会从研究的视角研读教材[5-7].

另外，无论哪种导入或引入法，其前提条件是学生愿意学，因此抓住学生的心理，然后科学地引导他们，做到教育和科学相统一.