一道平面向量高考试题的研究与拓展

高成龙 姜志惠

摘  要：通过对2017年高考数学全国Ⅱ卷理科第12题的解法进行深入探究，将试题中的特殊条件一般化，由点到线、由线到面、由面到体进行层层探究，充分挖掘高考试题的功能，得到了更具有一般性的结论，并以此来促进教学.

关键词：平面向量;试题研究;拓展

四、方法总结

1. 素养展现

平面向量是高中数学的重要知识，是联系代数运算与几何直观的一种有力工具. 本文运用数量积的定义、基底法、坐标法及数量积的几何意义对高考试题进行拓展，然后运用数量积的几何意义对试题的结论进行深入探究，从点到线、从线到面，再从面到体逐层展开，体现了由特殊到一般的数学思想. 同时，这一过程还可以很好地培养和提升学生的数学运算素养与直观想象素养. 具体表现为：① 试题是以等边三角形为背景，求解向量数量积运算的最值问题，这是一个综合情境，解决问题的关键是恰当地建立直角坐标系或者选择基底等方法将向量数量积运算转化成函数最值的问题来解决，这一过程可以很好地培养学生在综合情境中提出运算问题和确定运算对象的能力，进一步提升数学运算素养;② 在实际教学中通过四种解法的比较，让学生感受到以动点[P]的坐标为自变量的优点，四种解法能让学生从不同角度入手去研究向量数量积问题，培养学生根据问题特点及运算的条件合理选择运算方法的能力;③ 试题以平面向量为载体，运用代数方法研究等边三角形的几何性质，考查数形结合思想，培养学生利用直观想象探讨问题的本质及其与数学联系的能力.

2. 备考建议

平面向量的几何意义灵活地解释了向量数量积的实质，利用平面向量数量积的几何意义可以将两个平面向量数量积问题转化成较为简单的长度计算，可以很好地解决三角形、四面体中向量数量积的最值问题， 实现了简化运算的目的，凸显了代数运算与几何直观的融合，通过形与数的结合，能让学生感悟到数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，这也是《普通高中数学课程标准（2017年版）》对代数与几何主题的要求. 教师只有充分理解了核心素养的内涵，才能针对不同水平的学生实施不同的指导，从而实现“人人都能获得良好的数學教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标. 另外，在解题教学过程中， 我们不能仅仅停留在问题的表面，要引导学生从不同的角度联想与探究， 剖析高考试题，认真分析试题的根源，总结和归纳试题的解法，尽可能地将试题价值最大化，让学生能做一题通一类，真正实现触类旁通，促进教学.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

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[4]朱寒杰. 基于数学本质的一道平面向量典型试题的研究与拓展[J]. 中学教研，2019（11）：47-49.

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