“情境—模型—情境”型教学设计与实践

摘  要：为落实核心素养的培养，整合教材资源，以人教A版教材中“函数的应用（一）”为例设计并实践了“情境—模型—情境”型教学模式，并对应用问题的教学提出了一些建议：整合资源，用教材教;构建情境，用问题教.

关键词：应用问题;问题情境;教学设计

一、问题提出

核心素养是本次课改的关键词，指新时代的公民必须具备的人格品质及关键能力，是落实“立德树人”的重要标尺. 为落实立德树人根本任务、发展素质教育，最新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中提到“情境”一词158次. 同时，评价框架的第一个维度就是反映数学学科核心素养的四个方面，即情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思. 由此可见，“情境”在教学与评价中拥有举足轻重的地位.

根据教学要求，如何创设合适的情境，使得学生经历其中，感悟知识和数学本质，提升数学学科核心素养，成为一线教师亟待实践的课题. 事实上，情境包括现实情境、数学情境和科学情境. 一般把应用问题中的情境狭义地理解为“现实情境”. 在苏州市的新课程新教材研讨活动中，笔者开设了题为“函数的应用（一）”的公开课，内容选自人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”），试图将“情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养”落到实处.

二、教学实践

1. 学情分析

本节课的授课对象是江苏省苏州中学高一某班学生，学业水平在同年级中较为优秀，学生思维比较活跃，笔者对学生情况十分熟悉. 在前期教学过程中，笔者较多通过现实情境或数学情境引入知识，学生对情境的抽象有较多基本活动经验.

“函数的应用（一）”主要是利用函数概念及其蕴涵的数学思想方法解决简单的实际问题，教材中所选例题都是分段函数，也是给定数学模型的实际应用，为后续复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题提供用函数解决实际问题的过程与方法.

2. 教学过程

（1）实际情境到数学模型的抽象.

师：同学们，在本章中，我们从实际问题出发，通过“求同存异”抽象出函数，此后研究函数的性质，目的还是为了解决问题. 正如哲学上所说，从实践到理论，从理论到实践，如此不断提高自己的认知水平. 在本章的学习即将结束时，我们来看一个实际问题，即教材第94页的例2，请认真审题.

（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义;

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为[2 004 km]，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数[s]（单位：km）与时间[t]的函数解析式，并画出相应的图象.

师：很好！其实本图是速率[v]随时间[t]的变化而变化的函数图象，是函数表示方法中的一种，从中可以解读到函数的很多信息. 此外，要建立函数关系，就需要理清多个变量之间的关系，如时间[t]、速率[v]、行驶路程[S]、里程表读数[s].

生2：由于[s=S+2 004]，因此只需要解决行驶路程的问题. 在第（1）小题的启示下，只需要计算[t]时刻围成图形的面积，应该要分段，所得函数图象如图2所示.

以下过程略.

【设计意图】函数的应用，可以狭义地理解为“实际应用”，即建构问题情境中的数学模型，从而解决相应问题. 通过该例题，可以明确应用问题的常规解题步骤，即确定研究变量、探寻变量关系、解决数学问题、回顾问题情境，从而帮助学生学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 同时，函数的应用也可以看成本章的复习课，故应该涉及函数的各个方面，该例题提供了函数表达方式的转化，即图象与解析式的相互转化，从而让学生明白要根据不同的需要选择恰当的方式表示函数，理解函数图象的意义.

（2）数学模型到问题情境的构建.

变式：为配合公安部“一盔一带”行动，守护驾乘人员安全，某电动车生产厂家对刹车系统进行了改造. 在一次测试中，正常行驶速度为[10 m / s]的电动车经过某级刹车系统后，5[s]内匀减速到停止，即速度为[0 m / s].

【设计意图】承接例题的模型，变式需要研究函数的性质与最值解决现实问题，体现了函数在实际问题中的应用. 同时，所构建的二次函数模型恰好呼应了函数概念中所需要探寻的问题情境，从而呼吁学生探寻更多问题情境，即培养学生的“问题意识”和“提问能力”，也是让学生能够从现实情境中抽象出数学模型，同时根据数学模型去构建现实情境，即通过这样的“来回”，了解问题提出和问题解决的路径.

（3）问题情境与数学模型的转化.

师：我们经历了从现实情境抽象出数学模型，也尝试了根据数学模型构建出现实情境，关键在于理清变量之间的关系，构造目标函数，解决数学问题. 再次回到实际问题，请看教材第102页的复习参考题3的第13题.

师：该问题的情境是数学中几何图形的面积，抽象出的数学模型是分段函数. 在前面的例子中，现实情境可以抽象出数学问题，也可以再次建构现实情境. 该題是从数学情境中抽象出数学问题，可以赋予什么样的现实情境呢？

生10：可以构建一辆车先匀加速运动再匀减速运动直至停止的现实情境.

师：这是一个很好的情境，只是要根据数据加以调整. 从例题到变式再到练习，都可以赋予运动的情境，即使用[v-t]函数构建[s-t]函数. 试想一下：如何求变速运动的路程呢？这个问题留给大家课后思考.

【设计意图】原来的情境是几何背景，抽象出的模型是分段函数，再次构建的问题情境是物理背景. 结合上述两个物理背景问题，可以抽象概括出一个数学模型——[v-t]坐标系中函数图象与坐标轴所围成的面积是路程，从而提出新问题，即如何计算曲边梯形的面积？重新审视整节课，不难发现：微积分的基本思想已经悄悄埋入学生的知识体系中，为学生将来学习积分提供了很好的数学活动经验.

三、教学反思

在教学设计时，笔者根据《標准》所提倡的理念，研究教材内容，整合教学资源来组织教学. 通过教学实践，对应用问题的教学又有了新的认识，给出如下建议.

1. 整合资源，用教材教

章建跃博士对此课进行点评时说：“人教A版教材的训练体系是‘练习—习题—复习参考题’，授课者充分利用了教材上的例题、练习题、复习参考题中的问题，关注到了教材的整体性.”事实上，教材中最好的、也最值得珍惜的就是例题和习题，笔者在备课时的想法就是“用好教材”，即整合教材资源、明确思维主线，努力解决明确的问题. 笔者曾提出复习课的教学设计要用“一个对象”贯穿，移植到新授课的教学，也采用了“一个对象”贯穿，即由“[v-t]函数”研究“[s-t]函数”，让学生强化模型意识，形成正向的思维定势，同时也悄悄埋下“积分”的种子.

在教材中选用例2，搭建匀减速运动的情境，抽取二次函数的模型，链接教材中的练习，继而让学生探索该模型的情境，最后选用复习参考题中类似几何背景的问题，再次回扣并构建运动学中匀加速再匀减速的情境. 如此，从情境到模型，再从相似情境到模型，探索情境;从模型到情境，再探索情境，试图让学生能够在问题情境中抽象出数学模型，也能根据数学模型去构建问题情境. 类比概念来说，理解问题情境是数学模型的外延，数学模型是问题情境的内涵，因此我们要能透过现象看到本质，以期实现《标准》所提出的“在情境中”的要求. 在实践过程中，也会发现学生对例题的认识较为陌生，研究变式之后，对练习的处理是极其迅速的，可见这样的设计是有效果的.

2. 构建情境，用问题教

《标准》对“情境与问题”进行解读：情境主要是指现实情境、数学情境和科学情境;问题是指在情境中提出的数学问题. 事实上，我们不仅要能够在情境中解决问题，还要学会从情境中提出问题，这是《标准》所提出的“四能”之一;同时“问题意识”也是创新能力的一种体现.

在本节课中，笔者基于教材中的问题，设计了“构建情境”的教学活动，旨在回应教材，也为实践理念，但从课堂的效果来看并不是十分理想. 教材中的“探究”问题在教学前已经布置给学生，但从作业情况来看，学生的思维具有很强的局限性，仅能列举物理学中运动的情境. 从课堂教学实践来看，学生没有表现出很强的积极性，需要教师点名，个别学生才分享自己构建的案例. 由此可见，“构建情境”的问题意识不是一蹴而就的，需要对学生进行“小步子慢节奏”的培养.

诚如章建跃博士所言，知识不是讲会的，而是做会的，所以一定要让学生自己做，让学生有机会独立面对问题，即教学中需要让学生经历更多的活动. 因此，教师要不断“放手”，学生要反复“动手”，才能让学生打破自己的思维局限，变被动解题为主动提问，实现将情境与模型自由转化，进而更好地应用数学，更深入地理解数学.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建跃. 第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（28）：17-24.

[3]王思俭. 老生常谈——“用教材教”的再思考：基于“导数小结复习课”的尝试[J]. 中学数学（高中版），2017（3）：16-19.

[4]刘炜. 复习课宜“以一贯之”[J]. 中小学数学（高中版），2020（7 / 8）：45-47.