由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考

王波凤

摘  要：对2020年高考数学江苏卷第18题的几种解法进行比较，分析学生在考场上的“失分”原因，并给出应对策略及教学思考.

关键词：高考试题;失分解法;应对策略;教学思考

2020年高考数学江苏卷第18题属于中档题，主要考查的知识点是椭圆定义、向量数量积运算、点到直线的距离公式和直线与椭圆的位置关系，运用的思想方法是数形结合、转化与化归和坐标法. 该题满分16分，但平均分只有10分左右，不少学生由于不能理解问题的本质，在第（2）小题中选择了烦琐或错误的途径导致“失分”. 针对此类状况，教师应该深入反思平时的教学过程，及时作出调整与改进.

一、试题再现及常见解法

二、解法比较及“失分”原因

1. 解法比较

解法1透过直线与椭圆这一载体，抓住向量数量积运算的本质，关注到[OP]的纵坐标为0，直接设出点[P]和点[Q]的坐标，过程简洁明了. 经抽样调查，考场上用解法1的学生占了四分之一左右.

解法2比解法1绕了一步，先设出点[P]的坐标，再用点[P]的坐标表示出直线[AP]的方程，然后与准线方程联立算出点[Q]的坐标，从而得出所求数量积的目标函数表达式（与解法1的形式一样）. 实际上，由于[OP]的纵坐标为0，[OP · QP]的值与点[Q]的纵坐标无关，所以这种解法联立直线方程求出点[Q]的纵坐标实则多余.

解法3把直线[AP]的斜率[k]作为参数，表示出直线[AP]的方程，再用[k]表示出点[P]与点[Q]的坐标，最后得出向量数量积的函数表达式. 这种解法也没有关注到[OP]的纵坐标为0，目标函数的表达式在形式上也比解法1和解法2的目标函数表达式复杂得多，既浪费了时间又容易算错. 从运算的角度来看，没有解法1和解法2简便.

解法4对平面向量数量积的概念有深刻的理解，利用向量数量积的几何意义，把向量数量积的运算转化为线段长的乘积的运算，最后利用基本不等式求解最值，解法巧妙，运算简单. 虽然思维要求高，但运算量小，考场上用解法4的学生寥寥无几. 正所谓“想得多而算得少，想得少而算得多”，那么解法4是如何想到的呢？其实只要回到数量积定义[OP · QP=OPQPcosOP， QP]就能发现[QPcosOP， QP=-PR]，即两个向量的数量积等于其中一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.

2.“失分”原因

学生答题时为什么会“失分”？其原因在哪里？

第一个原因是审题时不加思考就动笔做，运算能力欠缺. 用解法2或解法3的学生人数很多，即使运算过程全对，在考场上多用时间就是“隐性失分”. 而且用解法3的学生在用斜率[k]表示数量积的函数表达式时出错的很多，即使表达式正确，换元配方后求最值结果正确的也不多，还有部分学生用导数方法求最值（解法2和解法3相关分式的分母中有字母，还需要进一步分类讨论），做得麻烦又表述不清，相关步骤一分未得，真是令人痛心！

第二个原因是对于数学概念理解不够深刻，没有掌握问题的本质. 例如，本文高考题第（2）小题，点[A]是定点，影响[OP · QP]的关键要素就是动点[P]的位置，而且只与横坐标有关，抓住这一点就能够寻找到合理的解题途径. 从本文高考题的多种解法中可以看出，选择解法2和解法3的学生被问题中的“直线[AP]与椭圆[E]的右准线相交于点[Q]”蒙蔽了双眼，看到“直线”两字就马上设出直线方程联立方程组求解. 事实上，无论以哪种图形为背景，向量数量积的坐标运算中有时往往只涉及某个坐标. 解法4就是在深刻理解向量数量积的概念和几何意义的基础上抓住问题本质的好方法.

三、应对策略

1. 教概念本质，重理解能力

为什么多数学生想不到解法4？这与教师教学中“轻概念，重解题”有关. 波利亚在《怎样解题》一书中指出，你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？你是怎样应用这些概念的？你用到它的意义、它的定义了吗？回到定义上去是一项重要的思维活动，教师在概念课的教学中要杜绝“一滑而过”的现象，千万不要重记忆、轻理解，不仅要让学生理解概念产生的必要性，还要让学生抓住概念的本质，深刻理解概念，灵活运用概念解题.

2. 重视解题方法的选择和归纳

教学中，有时我们觉得学生就某一知识和方法应该掌握了，也就不再深入分析了，解题方法没有总结到位，学生虽然表面会了，但是一考就错. 所以教师在平时的课堂教学中一定要重视解题方法的总结和归纳，指导学生解题前一定要有预判，要有选择和比较，这样就可减少不必要的运算，从而提高解题速度，避免“失分”.

3. 注重知识间的联系，创造性地改编练习题

教材是试题之源，教学中要用好教材，重视教材中知识的联系. 例如，本文高考题考查的是解析几何和向量的综合知识，教学中一味孤立地教某个知识和某个方法就僵化了学生的思维. 虽然教材是按章节安排内容的，每章内容后的习题也是与相关知识对应的，但是教师在平时的教学中要创造性地改编练习题，综合各种背景知识灵活运用.

例如，以下两道题就可以作为本文高考题的变式.

学生在平时多练练类似的题目，到考场上就减少“失分”了.

四、几点思考

在平时的教学中，以下几点“功夫”教师必须做到位.

1. 培养学生的审题能力

不少学生由于平时作业多、时间紧，往往省去了认真审题这一重要环节，养成了拿到题目就做的习惯，结果一做就错. 想好了才做，是选择正确方法的前提. 平时教学中要指导学生如何审题，布置作业时要精而少，这样学生才有时间养成良好的审题习惯.

2. 训练学生规范表达的能力

培养学生会用数学语言准确、简洁、严谨地表达和书写，卷面字迹清楚，逻辑推理严密. 例如，本文中高考题的解法，求点[A]的坐标前要说明点[A]的位置（第一象限），寫直线方程时要交代斜率是否存在，等等. 只有规范、严谨地表达，才能避免“会而不对”“对而不全”导致的失分.

3. 加强学生的运算能力

为何选择同样方法的学生运算时所用时间和运算结果不一样？还是运算能力有差异. 要提升运算素养，平时的作业练习尽量要求学生不用计算器，对遇到的烦琐的运算要细心、耐心和有信心. 要让学生学会感受和比较不同的解法，在教学过程中教师要适时地介绍一些常规和简化的运算方法，培养学生的运算技能，让学生珍惜每一次运算机会.

总之，教师应该做到“在埋头拉车的同时还要抬头看路”，多反思平时的教学，多了解学生的学习情况，把以上几点“功夫”做扎实了，学生在考场上就不会“无谓失分”了.

参考文献：

[1]徐永忠. 重视基础查素质，关注创新考能力：2017年高考数学江苏卷评析及启示[J]. 中小学课堂教学研究，2017（10）：49-54.