高考压轴题中的数学思想研究与教学建议

摘  要：对2010 — 2019年全国卷函数与导数压轴题中蕴涵的五类核心数学思想——化归思想、函数与方程思想、构造思想、分类思想与数形结合思想展开研究，并且以全国卷压轴题为实例进行了详细阐述，最后针对性地提出了一些教学建议，供师生复习备考时参考.

关键词：全国卷;压轴题;数学思想;教学建议

一、数学思想的内涵

数学思想一词已屡见不鲜，那么何为数学思想？中学数学涉及哪些数学思想？数学思想与数学方法有何区别？

数学思想与数学方法是两个不同的概念，很多师生对此比较模糊. 数学思想是数学的精髓，是对数学规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认知过程中提炼升华的观点，是铭记在人们头脑中起着积极作用的态度、精神和文化. 数学思想在数学认知活动中应用广泛，具有普遍的指导意义，是构建和解决数学问题的指导思想. 中学数学常见的数学思想有化归思想、分类思想、构造思想、数形结合思想、建模思想、函数与方程思想、极限思想、统计思想、最优化思想等. 然而数学方法是指在从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程中所采取的各种方式、手段与途径等，主要包括配方、换元、消元、放缩等. 下面以2010—2019年高考數学全国卷为例进行说明.

二、全国卷压轴题中的数学思想统计与分析

2010—2019年高考数学全国卷共42套，有42道压轴题，其中35道是函数与导数综合试题，占83.3%，这表明函数与导数题型承担了大部分全国卷压轴题的角色，因此笔者主要研究全国卷函数与导数压轴题中的数学思想. 这部分函数与导数压轴题所涉及的数学思想主要有五种：化归思想、分类思想、构造思想、数形结合思想和函数与方程思想，具体统计如下.

从表1、表2中可以得到以下结论.

（1）全国卷中35道函数与导数压轴题都对数学思想有所考查，具有普遍性，要引起师生复习备考的重视.

（2）全国卷函数与导数压轴题对化归思想、函数与方程思想、构造思想、分类思想与数形结合思想要求较高. 具体来说，对函数与方程思想和构造思想的考查最频繁，达到32道题，占91.4%;对化归思想的考查也十分频繁，达到31道题，占88.6%;对分类讨论思想的考查频率也较高，达到28道题，占80.0%;对数形结合思想虽然要求最低，但也查考了22道题，占62.9%.

（3）全国卷函数与导数压轴题在考查数学思想上具有综合性，没有考查单一的数学思想，仅涉及两种数学思想的函数与导数压轴题也只有1道题，占2.9%，其他34道压轴题都综合考查了三种以上的数学思想，占97.1%.

三、全国卷压轴题中数学思想的具体分析

下面以全国卷中函数与导数压轴题为例，对上述五种数学思想进行具体阐述. 限于篇幅，本文只分析数学思想的运用思路，不给出详细的解答过程.

1. 函数与方程思想

（1）函数与方程思想的内涵.

函数思想是基于对函数概念本质的认识，用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征并建立函数关系，用函数的知识来观察、分析和解决问题的一种思维方式. 方程思想是基于对方程概念本质的认识，根据问题所表达的含义设置未知量，进而根据题设中各个量之间的关联，建立变量之间的等量关系，列出方程或方程组去分析问题，使问题获得解决的一种思维方式. 函数与方程联系紧密，可以相互转化，若函数有解析式，则这个解析式就可以看作方程;反过来，在二元方程中，若两个非空实数集变量间存在着某种对应关系，则这个方程就能看成一个函数. 例如，解方程[fx=0]可以看成求函数[y=fx]的零点;求函数[y=fx]与函数[y=gx]的交点可以视为求方程[fx=gx]的解.

（2）函数与方程思想的运用原则.

在运用函数与方程思想时，需要遵循以下原则.

转化等价性原则. 函数与方程相互转化的前提是要保证转化的等价性. 例如，在三角转化过程中要注意三角函数的有界性，从而避免扩大函数的定义域.

简单性原则. 在数学解题中，频繁的复杂推理和运算会消磨学生的数学学习兴趣，所以要善于对比和辨析，在可接受的范围内追求解法的简约性. 例如，2012年新课程全国卷文科第21题可以通过变参分离.将原问题转化为函数与方程问题，再通过隐含零点的代换解决. 但这样解决比较烦琐，直接运用不等式与函数的最值解决更为简洁.

（3）函数与方程思想的思维程序.

函数与方程思想的思维程序，如图1所示.

【评析】函数与方程是高中数学学习的主线，函数与方程思想也是高中阶段运用最频繁的数学思想，在解决相关问题时要有运用函数与方程转化的意识. 函数与方程的引入方法很多，特别是函数的引入方法更为丰富，如整体引入、局部引入、参变分离引入、分离函数引入、作差引入等. 在解决引入的函数与方程问题时，通常会用到函数的单调性、奇偶性、周期性、函数最值或函数的图象等.

【评析】由于函数的零点就是令函数值等于0的方程的根，也是函数图象与[x]轴交点的横坐标，所以函数零点与方程的转化是运用函数与方程思想解题的典范.

2. 构造思想

（1）构造思想的内涵.

构造思想是指在解决数学问题的过程中，先对问题的条件和实质进行透彻地分析和深刻地理解，根据问题条件与结论之间的联系或问题的特征，借助长期积累的解题经验，发挥丰富的想象力和创造性思维，构造出与问题有关的辅助模型，然后通过解决辅助模型来解决原问题，即将原问题的模式转化为更能反映问题本质特征的新模式的思想方法. 构造思想不仅在高考和竞赛中有着广泛的运用，而且对数学的发展也有极大的推动作用. 数学家乔治[∙]波利亚在其编制的享誉世界的解题纲领“怎样解题表”中对构造思想给予了高度评价.

（2）构造思想的思维程序.

运用构造思想解题通常包括构造恒等式、构造方程、构造函数、构造不等式、构造数列、构造复数、构造平面图形、构造立体图形、构造解析模型等. 函数与导数压轴题中构造思想的核心是构造函数，构造函数有一定的规律可循，思维程序如图2所示.

【评析】当函数求导后，若令导函数等于0的方程很难求解时，由于高中阶段还没有学习二阶导数，所以需要以导函数为基础构造新函数，继续求导解决问题，这是十分常见的构造函数的方法. 其他的函数构造方法还有整体构造、局部构造、多重构造、和差构造、变参分离构造、常数分离构造等.

3. 化归思想

（1）化归思想的内涵.

化归思想是指将一个待解决的复杂疑难问题通过变换与转化，归结为相对简单的、可解决的问题的一种方法，又称为转化与化归思想. 化归思想的原则是化陌生为熟悉、化复杂为简单、化抽象为直观、化模糊为明朗、化未知为已知等. 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种基本的、有效的思维方式与策略，化归思想在数学解题中运用广泛，几乎无处不在. 俄国著名数学家C.A.雅洁卡娅对化归思想有着高度的评价：数学解题就是把要解的问题转化与化归为已经解过的问题. 化归思想的实质是揭示问题之间的联系，从而实现问题的转化.

（2）化归思想的思维程序.

化归思想的思维程序如图3所示.

【评析】观察与联系是运用化归思想正确解决问题的前提. 观察时需要思考问题的条件、隐含条件和要解决的问题是什么，问题属于哪一种类型，问题的配图和算式有什么特点，等等. 联系时需要思考题目的条件和结论有什么联系，此题或同类型的问题以前见过或做过吗，当时是如何考虑的，用了哪些知识和方法，需要注意什么细节，等等. 变换与转化是运用化归思想解决问题的核心. 常用的变换主要有放缩、待定系数法、配方法、整体代入法及动静结合法等. 常见的转化通常有数与形的转化、空间与平面的转化、高维与低维的转化、多元与单元的转化、高次与低次的转化、超越式与代数式的转化等.

【评析】函数与不等式综合问题是全国卷中出现频率最高的压轴题型，这类压轴题通常可以化归为函数问题解决，这也是解决此类问题的通法.

4. 分类思想

（1）分类思想的内涵.

若问题的结论不确定或不能以统一的形式进行研究表述，那么通常需要按照一定的标准将问题分成若干类，转化成若干个小问题，当每一类小问题解决之后，再将其结果进行统一整合，来解决原问题的数学思想被称为分类思想. 用分类思想解决问题时必须保证分类科学，并力求简洁，所以分类思想在培养学生逻辑思维能力方面具有重要的价值. 实际上，分类不仅是一种重要的数学思想，还是一种解决问题的思维方式，可以广泛应用到其他科学研究领域，也会对我们未来的生活和工作产生积极的影响.

（2）分类思想的运用原则.

在运用分类思想时，需要遵循以下原则. ① 在同一层分类中，其分类标准必须统一，即只能有一个标准;② 分类的过程需要按照一定的逻辑顺序，遵守“不重不漏”的原则，既不出现重复讨论的情况，也不存在任何遗漏;③ 当问题需要分多层讨论时，不能出现“跃层讨论”的混乱现象，要注意讨论的层次性和完整性.

（3）分类思想的思维程序.

分类讨论思想的思维程序如图4所示.

【评析】分类思想的思维程序研究分类标准是运用分类思想解决问题的关键环节. 分层整合时一般是将同层中的每类结果与其前提条件求交集，而统一整合时一般求每一层结果的并集. 不必见参数就盲目讨论，有时变参分离、消元、变换主元、整体处理等可以避免讨论，要善于优化讨论，使问题的解决变得更简洁.

【评析】导函数等于0的方程的根往往直接影响着函数的单调性，函数的单调性是继续解决问题的基础，所以当根的大小关系不明确时，往往需要以根的大小为标准分三类进行讨论，这也是常用的分类方法. 当然，常见的分类标准还有参数正负讨论、判别式法、点动型、区间动型等.

5. 数形结合思想

（1）数形结合思想的内涵.

数形结合思想主要指数与形之间的一种对应关系，将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系等结合起来，通过代数问题与图形之间的相互转化，将抽象思维与形象思维进行结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的. 数形结合思想是处理数学问题的重要指导思想和基本策略，也是中学阶段最典型与最重要的思想方法之一. 我国著名数学家华罗庚教授对数形结合思想有着高度的评价：“数缺形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事非.”

（2）数形结合思想的类型.

数形结合思想主要有以下三种类型.

以形助数. 以形助数主要指将代数问题转化为几何问题，然后用几何的方法去解决问题，具体方法有构造距离、斜率模型、构造平面图形、构造立体图形等.

以数解形. 以数解形主要指将几何问题转化为代数问题，然后再用代数的方法去解决问题，具体方法有函数法、解析法、三角法等.

数形互助. 数形互助主要指将代数问题与几何问题根据题目相互转化，最终达到解决问题的目的，具体方法有面积法、体积法等.

【评析】函数伴随着图象，运用数形结合思想解决函数与导数压轴题时，需要根据题意直接或间接作出题意所表征的图象，数形互助，不但体现了问题的数学本质，而且简化了解题过程，提高了解题效率.

四、教学建议

数学思想在全国卷函数与导数压轴题中的运用几乎无处不在，需要引起师生的高度注意，当然，同一道函数与导数压轴题的解决视角不同，其运用的数学思想有所差异，这就需要师生的辨析与优化. 那么，在日常教学中应该如何渗透数学思想呢？

1. 充分挖掘教材中的数学思想

教材在探究对数函数的图象与性质时，通过对底数进行分类处理渗透了分类思想，通过借助指数函数的图象与性质来研究对数函数渗透了化归思想，通过用函数图象来概括性质渗透了数形结合思想等，这些教材核心内容都是渗透数学思想的优质素材.

2. 重视数学概念课与章末复习课教学

因为数学概念的生成与发展往往渗透着数学思想，章末复习课不仅要组织学生完成习题，更要突出章末复习课的两个核心功能：构建本章节知识的思维结构和渗透数学思想方法.

3. 有目的、有意识地突出數学思想

加强数学思想教学，展示数学思想在指导数学解题方面的魅力，并通过讲练结合、合作探究与归纳领悟等多种方式促进学生感悟数学思想，提高学生灵活运用数学思想解决问题的能力.

4. 有计划、有步骤循序渐进地渗透数学思想

由于数学思想教学具有隐晦性、活动性、主观性和差异性，所以数学思想的教学不是一蹴而就、一气呵成的，它需要教师长期的渗透，学生慢慢的感悟和运用，这是一个静待花开的过程.

参考文献：

[1]钱佩玲. 数学思想方法与中学数学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2008.

[2]张运筹. 全国历届数学高考题解集[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2013.

[3]刘再平. 例谈构造辅助函数破解高考压轴题的方法[J]. 中学数学教学，2018（6）：43-46.

[4]刘再平. 含参导数综合题分类讨论的标准探究[J]. 教学考试，2018（29）：64-65.