关注概念生成过程 体现素养导向作用

薛新建

摘  要：将数学学习从知识传授转向关注学生发展，是《普通高中数学课程标准（2017年版）》的理念之一. 高中生在数学学习中遇到的很多困难，归根结底是由于其对概念的理解出了问题. 基于“条件概率”概念课的教学设计，将课堂关注的重心放在让学生感受问题、提出问题、思考问题和解决问题上，使概念的生成变得自然，对概念的理解也更加全面、深刻.

关键词：条件概率;教学设计;概念生成;素养导向

一、问题引入

概念是数学的细胞，反映了空间形式和数量关系的本质属性，是导出数学定理和法则的逻辑基础，概念的学习在数学学习中占有绝对重要的地位. 但是，在当前的概念课堂中，知识立意仍然大行其道，概念的给出生硬突兀，概念的同化全靠做题，部分教师仍然采用“一个定义，N项注意”的陈旧方式对学生进行概念的灌输，遇到灵活的问题不能解决又抱怨学生能力低下，进而反复识背、反复遗忘，数学课堂陷入单调乏味、机械记忆的死循环.

《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《标准》）的制定，就是要针对性解决目前教学中存在的这些问题. 以学生发展为本，立德树人，提升素养，就是要把课堂从知识传授转向学生发展，既要引导学生理解基础知识、掌握基本技能、感悟基本思想、积累基本活动经验，又要在这个过程中促进学生数学学科核心素养的提升. 关注概念的生成过程，体现素养导向作用成为概念课堂新的出路. 下面以“条件概率”概念课的设计为例，践行这一理念.

二、条件概率理解中存在的问题

条件概率的概念及其计算是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—3）》（以下统称“教材”）第二章“随机变量及其分布”第二节“二项分布及其应用”第1课时的内容. 本章的主要内容是随机变量及其分布列，是对随机事件的水平数学化，也是概率知识的拓展和延伸. 本节课学习的重点是生活中应用非常广泛的一种概率模型——二项分布，条件概率作为本节的起始课，起着承上启下的作用，其既是对已学概率内容，包括随机事件、基本事件、古典概型、几何概型、事件关系、事件运算、排列组合等知识的综合应用和总结提升，体现了教材在核心数学概念和重要数学思想的安排上螺旋上升的特点，也是独立事件和二项分布等知识的理论铺垫和逻辑前提，体现了数学知识结构的严谨性、延续性和统一性. 条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，教材通过简单模型逐步探究，让学生了解条件概率的初等定义，更抽象的定义留待学生在大学继续学习.

目前学生对条件概率的理解普遍存在的问题有：（1）不清楚条件概率的问题背景，不理解既然可以转化为古典（或几何）概型求解，为什么还要提出条件概率的概念及其计算公式，带着疑虑学习这个“可有可无”的数学概念，效果当然不理想. 因此，概念课的引入情境中要让学生充分理解条件概率提出的必要性.（2）对条件概率问题中两个随机事件的发生与否不能清楚分辨，条件概率的本质是一个随机事件的发生对另一个随机事件发生的概率的影响，课堂上必须提供一定量的案例让学生加以总结、提炼和区分.（3）对条件概率三种计算公式的选择和一种变形公式的运用感到困难，原因是公式引出过程中对比辨别的缺失. 因此，在公式提炼过程中要对其不同背景进行区分强化.（4）对条件概率和独立事件的关系理解不到位，原因是学生遇到的条件概率问题中一个随机事件的发生对另一个随机事件发生的概率都是有影响的，而独立事件问题中一个随机事件的发生对另一个随机事件发生的概率是没有影响的，对两者感觉上的“失联”甚至“对立”反映了理性的缺失. 具体来说是条件概率提炼过程中独立事件情形的缺失，这个缺失会对学生理解两者的关系埋下隐患甚至误导学生，这一点在教学设计之初就要加以预防和弥补.

三、条件概率概念教学设计

1. 概念引入背景要深刻

引例  由天气预报知，明天广州市降水的概率为18%，东莞市降水的概率为20%，根据经验，两地同时降水的概率为12%. 试用字母表示这个情境中的随机事件，并说出它们之间的关系.

【设计意图】研究随机事件概率之间的影响必须从研究事件出发，先理清事件之间的关系，这样设计符合知识发生、发展的逻辑顺序. 从学生学过的知识和贴近生活的例子出发创设问题情境，开启本节课的思考、温故启新，符合最近发展区理论. 设计非古典（几何）概型作为问题情境，让学生在问题中切身感受引入条件概率概念的必要性.

问题1：如果明天一早起来发现东莞市已降水，那么广州市降水的概率还是18%吗？

【设计意图】围绕本节课的核心问题，即一个随机事件的发生对另一个随机事件发生概率的影响进行设问，在学生知识还不具备的条件下作为开放性问题，让学生直观感知生活中概率的大小及条件增加引起的概率变化，营造思维冲突，引发学生继续探索的兴趣. 条件概率的符号表达对学生来说是一个难点，本就抽象的概念加上陌生突兀的表达，会将学生的学习困难成倍放大. 把握问题引入的時机，先将附加条件的随机事件原始、烦琐的文字表示形式展示出来，再引导学生对其表示方法进行数学的简化，体验数学符号的简洁美及数学语言的统一性.

在提问过程中，重点引导学生弄清问题中两个随机事件的发生与否，而符号表达的问题则可以借助之前把代数运算中的“加”和“乘”都引入概率，表示事件关系“并”和“交”的活动经验，引导学生运用“除”把附加条件的随机事件表示为“[BA]”，符号“[|]”后列出条件，与描述法表示集合做法相同，读作“事件[A]发生条件下的事件[B]”.

2. 概念生成维度要清晰

（1）由具体到抽象，发现共性.

概念的提取需要具体的情境和可操作的案例，在情境中体会概念的背景和引入理由，在案例思考和解析过程中提取条件和问题中的共性，组合出概念的雏形，再经反复提炼和打磨并去情境化，才能形成概念. 学生在学习抽象的数学知识时，通常需要降低抽象层次的思维过程. 例如，将新的概念与已有的知识建立关联，或者建立具体过程来重现抽象的结论. 作为课堂活动的组织者，教师要提供足够典型的案例给学生，放手让学生去感受、发现、总结、提炼，并在适当的时候提出问题加以引导.

题目1  从3名男生和2名女生共5名学生中抽取2名学生，用事件[A]表示“抽到女生”，事件[B]表示“抽到的两人都是女生”.

【设计意图】设计三道各具代表的题目供学生思考，题目1体现从古典概型入手，回归条件概率本源的思想，情境较引例更为简单易懂，目的是让学生更加清晰地体会条件的介入对基本事件空间的影响，从而发现其对概率的影响，为学生从概率表象深入探讨数学本质提供思路来源. 题目2进一步引导学生思考如下问题：条件介入会影响基本事件空间，但影响基本事件空间是否一定会影响事件发生的概率？针对性地设计为事件[A]的发生对事件[B]发生的概率无影响，意在把某个事件发生对其他事件发生概率的影响情况全面展示出来，使条件概率的概念拼图更加完整，也为后续独立事件概念的引入预埋伏笔. 题目3的几何概型与前面两个古典概型互为补充、相互印证，使案例形式更加丰富，同时为条件概率的概念由古典概型向更一般情形的推广提供逻辑孕育点.

收集案例数据，列出下表.

【设计意图】以问题串启发引导学生从案例中提取不同问题情境中共性的部分. 问题2让学生体会事件[A]的发生导致基本事件空间发生改变，计算[PBA]的基本事件空间就是事件[A]的基本事件空间，揭示条件概率计算公式的价值，即在原基本事件空间中即可直接计算条件概率;问题3启发学生思考事件[A]的发生对事件[B]发生概率的影响情况;问题4以[PAB]与[PBA]的不同取值引导学生思索导致两者不同的原因即是事件[A]的发生与否，回归数学本质. 问题串并不直接提出，而是要把发现规律的机会先交给学生，放手让学生分析表格并提出问题探寻原因，对于没有提出的问题，教师再行补充.

（2）由抽象到概括，提取精华.

问题5：比较[PA，PAB]与[PBA，] 你有什么猜想？试证明你的猜想.

【设计意图】条件概率计算公式的概括可以和问题2 ～ 问题4一并交给学生去探究，学生自行探究出规律成就感更强、印象更深刻、运用更自如. 这个问题的重点在推导证明，是本节课发展数学抽象和逻辑推理核心的最佳植入点和生长点，要充分发掘利用.

需要指出的是：（1）这个证明只是例证，只证明了古典概型的情况，几何概型的情况留给学生自行证明，更一般的情形受知识所限只能留待大学里去完成;（2）这个证明过程中[nBn=nABnA]相等的前提是“不改变基本事件定义”，如果重新定义了基本事件，上述证明过程就行不通了，但计算公式[PBA=nBn]仍然是可行的，甚至是高效的. 重新定义基本事件是在不同基本事件空间计算条件概率的分水岭，[PBA=][PABPA]提出的意义也在于此，即不对基本事件空间作出改变即可进行条件概率的计算.

问题2 ～ 问题4提出的规律各自揭示了条件概率理解的一个方面，这些碎片化的理解概括起来就是问题5提出的条件概率公式，公式是对自然语言进行的符号化提炼，也是对各种规律的量化表达和更具一般性的推广，是值得概括的精华.

（3）由概括到应用，提升思想.

练习1：已知袋子中有3个红球和3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，计算在第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率.

练习2：抛掷两枚骰子观察向上的点数，已知出现点数3，计算两枚骰子点数之和为奇数的概率.

练习3：前述引例.

通过题组练习，总结条件概率的计算方法如下图所示.

条件概率概念的提出为概率问题提供了高辨识度的数学模型，新的问题情境可以强化完善概念的内涵和外延，提炼方法的同时提升思维和植入思想. 例如，上述练习中就深刻体现了模型化思想和转化与化归的思想.

3. 概念同化关联要紧密

概念生成后还需要进行概念的同化，要利用已有认知结构去理解新的概念、接纳新的概念，并将其转化成认知结构的一部分. 从条件概率概念的推出过程可以知道，条件概率具有一般概率的性质.（1）有界性：[0≤PBA≤1;]（2）可列可加性：如果[B]和[C]是两个互斥事件，则[PB⋃CA=PBA+PCA;]（3）[PBA=][PABPA]变形后得到[PAB=PAPBA，] 这是计算两个具有前后依赖关系的事件的交事件概率的重要方法. 性质（1）（2）将条件概率归于一般概率，性质（3）为交事件概率的计算提供了新的思路，在这个公式出现之前，交事件概率的计算只能先对事件进行运算得到新的事件，再通过古典概型或者几何概型进行计算，现在就可以利用公式[PAB=PAPBA]将目标概率进行转化计算，使原有的概率知识结构得到进一步拓展.

4. 概念升华梯度要分明

题目4  某儿童商场举行年终客户满意度调查活动，对于参与满意度调查的市民制定如下纪念品抽奖方案：首先参与抛掷“幸运硬币”环节，抛掷结果正面向上的市民参与布偶类纪念品的抽奖，其中小型布偶价值15元，抽中概率为[23，] 大型布偶价值30元，抽中概率为[13;] 抛掷结果反面向上的市民参与积木类纪念品的抽奖，其中堆积式积木价值30元，抽中概率为[49，] 拼插式积木价值45元，抽中概率为[49，] 组装式积木价值60元，抽中概率为[19.] 市民王先生参与调查后进行抽奖，求王先生获得奖品价值[X]的分布列.

解：用[A]表示硬币正面向上，[A]表示硬币反面向上，用[B1，B2]分别表示抽到小型布偶和大型布偶，用[C1，C2，C3]分别表示抽到堆积式积木、拼插式积木和组装式积木.

分布列略.

【设计意图】对事件关系的综合考查和条件概率的变形应用，是在概念同化基础上对概念应用的升华，也是对学生数学抽象和邏辑推理素养的全面提升，设计作为本节课的思维拔高点.

5. 概念强化形式要多样

题目5  解决下列条件概率问题.

（1）已知袋中有3个红球和3个白球，从中有放回地依次抽取2个球，计算在第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率.

（2）抛掷两枚骰子观察向上的点数，已知两枚骰子点数之和为奇数，计算出现点数3的概率.

（3）生态小故事：中国政府于1982年在安徽宣城投资兴建了安徽省扬子鳄繁殖研究中心，围绕扬子鳄的种群分布和数量、栖息地、食性、繁殖、冬眠、洞穴、活动规律等广泛开展研究. 陈壁辉等人对扬子鳄种群数量和分布、扬子鳄的形态学和生态学等方面进行了系统的研究，并于1985年出版了专著《扬子鳄》，他们发现扬子鳄蛋壳外粘稠物质可以防止卵脱水和外界水分过多地进入卵内，使孵化率达到80%，若粘稠物质受生态环境恶化影响遭到破坏，就将大幅度降低孵化率. 潘继红等人研究发现，一些幼鳄是由变形杆菌引起的肝病致死或是由枸橼酸杆菌、假单胞杆菌和变形杆菌合并感染肺而致死的. 扬子鳄繁殖研究中心的王仁平等在死亡幼鳄的胃肠中发现有大量的线虫. 因此，线虫感染可能也是导致幼鳄死亡原因之一. 上述诸多生态原因造成了每颗鳄卵孵化并成活率仅为40%. 若在无污染环境下有村民在水塘发现一只刚孵化的幼鳄，问这只幼鳄成活下来的概率有多大？

题目6  补充条件形成条件概率问题并作答.

题目7  举出生活中两个条件概率的实例.

【设计意图】题目5设计三道小题对标课堂练习，检测学生对条件概率三种计算公式的掌握情况，意在落实课堂内容、强化基本方法;题目6设计为结构不良题型，给予学生更多发挥空间，正确提出条件概率的问题，对于学生掌握条件概率的概念大有裨益，不同学生可以根据掌握情况提出不同层次的条件概率问题并作出解答，进而得到不同层次的发展;题目7引导学生把数学学习回归生活，用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.

四、结束语

概念是学习的基础，抓住概念才能抓住问题的本质. 概念教学是高中数学教学中非常重要的一环. 概念的引入要注意问题情境的构思，学生感受到思维冲突才能真正理解概念的价值，概念的生成和同化要关注过程，要交给学生自己去发现、去提炼，要把教学重心从教师“如何教”转移到学生“如何学”上，激发学生的数学学习兴趣，促进不同学生得到相应的提升. 概念的升华和强化要着力体现数学学科核心素养的导向作用，教师要深入理解数学学科核心素养的内涵、价值、表现、水平及其相互联系，抓住课堂中数学学科核心素养的孕育点和生长点展开教学，落实“四基”，这样才能使学生的数学学科核心素养得到发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

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