浅谈几种圆锥曲线离心率的求法

吴明志

摘要：近些年高考题和各地模拟题中有关圆锥曲线问题的一个高频考点就是求离心率，本人尝试从近些年的考题中找出一些此类问题的常用的几种方法，就是利用各种比如几何性质、图形特点等等的条件通过转化成有关离心率的方程式或者不等式来求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围，以期能在解决问题时有所帮助。

关键词：圆锥曲线;离心率;方程式;不等式

在圆锥曲线的题型中求离心率的题目是近些年全国卷新高考中经常考查的题型，其对于新高考试卷中的重要性不言而喻，同时也是高考中的考查核心素养的一个关键问题和转化、函数、方程等数学思想，针对这类问题的求解思路是由条件求出方程和不等式，一般是两种情况：1、是由条件来求出离心率;二是由条件来求离心率取值范围的问题。因为它用到圆锥曲线中很多的条件，方程不等式等问题等等，于是就产生了在解决问题中的情况比较复杂，在求解过程中无从下手。以下是从这些年的一部份高考题与各地的质检题的探究、解答，探求对解决问题比较有用的一些方法和策略，期望可以抛砖引玉，拨云见日。

一、根据条件先求出a，c或构造一个关于a、b、c、e的齐次方程式求e，利用e=求解。其关键是找出a，c的两个关系式从而求e.这类问题的难点在于找到相关的关系变量或几何性质从而建立其关系式。

例1.（2017全国）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________.

这道题目可以作再用余弦就可以列出方程，利用其关系列出方程从而求出一个关于e的方程。

例2.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为________.分析：由圆柱的截面与底面成45°角的几何性质，可得.

二、有关圆锥曲线的离心率取值范围的题型

此种题型为近些高考的的难点，它的核心是怎么根据题目所给的条件列出方程或不等式的关系式来求出e的取值范围.经常尝试由以下两种方法进行探究：1、考虑从圆锥曲线的几何性质和它的相关量比如夹角、边长的大小等;2、是通过圆锥曲线本身的条件以及几何性质等列出不等式.這种方法一般从以下几个方面考虑问题：

（1）由已知条件直接找出一个不等式来求e

例3.已知F1，F2为椭圆=1（a>b>0）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为             分析：根据条件可以得到b2≥2c2，就可以求解.

（2）利用条件转化为函数来求离心率取值范围

例4.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为                分析：由椭圆条件可得二次函数，-2≤x≤2，就可以求出取得最大值6。

（3）利用三角形三边关系

例5.（福建）双曲线  的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为                         分析：由条件可以求出就可以解决。这道题目是由三角形两边和大于第三边和两边差小于第三边的性质来解决此类问题。

（4）由一些特殊的不等式性质来列出不等式解决问题

例6.（2021·东北三校第一次联考）已知椭圆（a>b>0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为                          分析：

本题根据椭圆的性质可以求得，从而就可以求出e的取值范围;如果我们考虑，通过设椭圆上的点，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围。这类问题些也有通过如果我们通过椭圆或双曲线上的点，注意到本身的范围，从而求出离心率e的范围.

（5）利用三角函数的特点来求解

例7.已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的取值范围为

这个问题主要是化归的数学思想，针对题目的条件可设，由余弦定理可得：找到相关系量代入就可解决问题.

近些年的高考题和各地的有关圆锥曲线离心率的模拟题中，对于这种问题的处理，很多学生会觉得无从下手。本文尝试探索出几种解决这类问题的一些思路，期望大家能在解决此类问题的过程有一些帮助。

参考文献：

[1]闻杰.《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》是年浙江大学出版社出版.2013

[2]张杨文.《高考数学你真的掌握了吗？圆锥曲线》清华大学出版社.2014