高考中解三角形常考题的分类例析

范习昱

摘 要：解三角形内容在各省高考中是基础内容，也是必考内容，是考生的得分基础.笔者精选部分高考题，加以分类例析，总结出求解此类问题的规律，希望对读者有所启发.

关键词：解三角形;高考题;分类例析

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0026-04

在高考中，相比其它知识点，对于解三角形这一内容来说，其常考题型和考查方式相对较为固定，难度也不算太大，是考生的基础得分处，其重要性不言而喻.在我的教学实践中，却总发现很多学生依然显得颇为困难，失分严重.在近十年的各地的高考试卷中，特精选了部分经典的高考题加以分类例析，从此类问题的常规解题思路出发，分析和总结了一些具有规律性的东西，希望对读者有帮助.

一、求解三角形中的角与边或其它相关要素

例1 △ABC的内角A，B，C所对的边分別为a，b，c，若

c=2，b=6，B=60°，则C=.

解析 由已知B，b，c

求C可联想到使用正弦定理：

bsinB=csinCsinC=csinBb，代入可解得：

sinC=12.

由c<b，可得：C<B=60°，所以C=30°.

例2 已知a，b，c

分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且有

acosC+3asinC-b-c=0.

（1）求A;

（2）若a=2，且△ABC的面积为3，求b，c.

解析 （1）acosC+3asinC-b-c=0

sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0

sinAcosC+3sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0

sinAcosC+3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即3sinA-cosA=12sin（A-π6）=1

sin（A-π6）=12

∴A-π6=π6或A-π6=5π6（舍），∴A=π3.

（2）S△ABC=12bcsinA=3bc=4，

a2=b2+c2-2bccosA4=b2+c2-bc，

∴b2+c2-bc=4bc=4b2+c2=8bc=4，可解得b=2c=2.

例3 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且a=3，那么△ABC外接圆的半径为（）.

A.1B.2C.2D.4

解析 因为（a+b+c）（b+c-a）=3bc，所以（b+c）2-a2=3bc，化为b2+c2-a2=bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=12，又因为A∈（0，π），所以A=π3，由正弦定理可得2R=asinA=332=2，所以R=1，故选A.

反思总结

求解三角形的某个角或者边，是高考中解三角形常考题型中最为基础的一类，难度一般不大，主要考查正余弦定理的直接应用，解题的关键在与边角的合理互化，出现多解要注意检验取舍.一些高考题中还会考查三角形的外接圆的半径或者面积公式，但学生只要用对公式，有一定的转化能力还是可以顺利求解的.

练一练A：

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=23，c=22，1+tanAtanB=2cb，则∠C=（）.

A.π6 B.π4 C.π4或3π4 D.π3

2.如图，在△ABC中，点D在BC边上，

∠ADC=60°，AB=27，BD=4.

（1）求△ABD的面积.

（2）若∠BAC=120°，求AC的长.

练一练A答案：

1.利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：1+sinAcosBcosAsinB=2sinCsinB，

去分母移项得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，所以

sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，所以cosA=12.由同角三角函数得sinA=32.

由正弦定理：asinA=csinC，解得sinC=22，所以∠C=π4或3π4（舍），故选B.

2.（1）由题意，∠BDA=120°

在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°

即28=16+AD2+4ADAD=2或AD=-6（舍），

∴△ABD的面积S=12·DB·DA·sin∠ADB=12×4×2×32=23.

（2）在△ABD中，由正弦定理得

ADsinB=ABsin∠BDA，代入得sinB=2114，由B为锐角，故cosB=5714，

所以sinC=sin（60°-B）=sin60°cosB-cos60°sinB=217，在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠CDA，∴2217=

AC32，解得AC=7.

二、判断三角形的形状

例4 在

△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c=2acosB，则三角形一定是（）.

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解析 ∵c=2acosB，由正弦定理c=2RsinC，a=2RsinA，∴sinC=2sinAcosB

∵A，B，C为△ABC的内角，∴sinC=sin（A+B），A，B∈（0，π），

∴sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得sin（A-B）=0，

∴A-B=0，即A=B.故△ABC一定是等腰三角形.故选C.

例5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc，若sinB·sinC=sin2A，则△ABC的形状是（）.

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形D.腰直角三角形

解析 因为sinB·sinC=sin2A，所以b2R·c2R=（a2R）2，也就是a2=bc，所以b2+c2=2bc，从而b=c，故a=b=c，△ABC为等边三角形.故选C.

反思总结

判断三角形的形状是高考中解三角形中常见的题型，频率很高，由于都是涉及三角形的核心知识并且起点低深受命题者的青睐.解题的关键是将题目的条件一般是含有边和三角函数方程统一为边或者角的形式，再进行化简就可以判断出来.值得注意的是，这类题往往会结合三角恒等变换，比如两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等等，这对考生的三角恒等变换能力提出了很高的要求.

练一练B：

1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB-bcosA=c，则△ABC是（）.

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）.

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

练一练B答案：

1.解析 利用正弦定理asinA=bsinB=csinC化简已知的等式得：

sinAcosB-sinBcosA=sinC，即sin（A-B）=sinC，

∵A，B，C为三角形的内角，∴A-B=C，即A=B+C=π2，

则△ABC为直角三角形，故选B.

2.解析 ∵acosA=bcosB=ccosC，由正弦定理得：a=2R·sinA，b=2R·sinB，c=2R·sinC代入得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴进而可得

tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形.故选D.

三、求解三角形中相关要素的最值或范围

例6 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=22，b2-a2=16，

则角C的最大值为.

解析 在△ABC中，由角C的余弦定理可知：

cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab≥32，

又因為0<C<π，所以Cmax=π6.

当且仅当a=22，b=26时等号成立.

例7 已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则sinB+cosB的取值范围是.

解析 ∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，

∴ac=b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，得cosB≥12

，

又∵0<B<π，∴B∈（0，π3]，B+π4∈（π4，7π12]，

可得sinB+cosB=2sin（B+π4）∈（1，2]，故答案为（1，2].

例8 在△ABC中三个内角∠A，∠B，∠C，所对的边分别是a，b，c，若

（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，且a=23，则△ABC面积的最大值是.

解析 ∵（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，

∴bcosA=-2（sinCcosA+sinAcosC）=-2sin（A+C）=-2sinB，则bsinB=-2cosA，结合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA，即tanA=-3，∠A=23π.

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，化简得b2+c2=12-bc≥2bc，故bc≤4，S△ABC=12bcsinA≤12×4×32=3，故答案为3.

练一练C：

1.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，b=3，则△ABC面积的取值范围是.

练一练C答案：

解析 ∵△ABC中A，B，C成等差数列，∴B=π3.

由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=3sinπ3=2，∴a=2sinA，c=2sinC，

∴S△ABC=12acsinB=34ac=3sinAsinC=3sinAsin（2π3-A）=3sinA（32cosA+12sinA）=

32sinAcosA+32sin2A=34sin2A+32·

1-cos2A2=

34sin2A-34cos2A+34=32sin（2A-π6）+34，

∵△ABC为锐角三角形，∴

0<A<π2，0<2π3-A<π2，解得

π6<A<π2，

∴π6<2A-π6<5π6，∴12<sin（2A-π6）≤1，

∴32<32sin（2A-π6）+

34≤334，故△ABC面积的取值范围是（

32，334].

反思总结

求解三角形中边、角或者面积等三角形相关要素的最值或范围是高考解三角形题型的常考题型，也是让学生感到较为困难的题型.解三角形题型的最值问题最为本质的方法是构建某个角的三角函数，再利用三角函数的图象和性质求其最值或者范围.有时也转化为边，这时可以利用基本不等式进行放缩求最值，但对于求范围来说并不理想，这也是转化为边之后处理方式的最大弊端，在学生作业中经常会出现求解范围不全的情况.弥补的方法是寻找边之间的其它不等关系，比如三角形中任意两边之和大于第三边等等一些边之间的关系，再次利用不等式的性质进行放缩求最值.

四、基于解三角形的简单综合问题

例9 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=a，c-2b，n=cosC，cosA，且m⊥n.

（1）求角A的大小;

（2）若b+c=5，△ABC的面积为3，求a.

解析 （1）由m⊥n，可得m·n=0，即2bcosA=acosC+ccosA，

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sinA+C，

∵sinA+C=sinπ-B=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB2cosA-1=0，

∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=12，

∵0<A<π，∴A=π3.

（2）由S△ABC=3，可得S△ABC=12bcsinA=3，∴bc=4，又b+c=5，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-3bc=13，∴a=13.

例10 设f（x）=sinxcosx-cos2（x+π4）.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（A2）=0，a=1，求△ABC面积的最大值.

解析 （1）由题意f（x）=12sin2x-1+cos（2x+π2）2=12sin2x-12+12sin2x=sin2x-12.

由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ（k∈Z），可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ（k∈Z）;

由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ（k∈Z），得π4+kπ≤x≤3π4+kπ（k∈Z）;

所以f（x）的单调递增区间是[-π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）;单调递减区间是[π4+kπ，3π4+kπ]（k∈Z）.

（2）∵f（A2）=sinA-12=0，∴sinA=12，

由题意A是锐角，所以 cosA=32.

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，

可得1+3bc=b2+c2≥2bc

∴bc≤12-3=2+3，且当b=c时成立.

∴12bcsinA≤2+34.∴△ABC面积最大值为2+34.

反思总结

三角函数综合题有时以向量为背景进行命制，比如结合向量的坐标运算、向量垂直与平行的充要条件、向量的数量积等等，其本质依然是考察三角恒等变换或者三角函数的图象和性质.对于这类问题，我们的基本策略是将向量条件等价转化为三角条件，即关于三角形中边角的三角方程或者表达式，然后依照案例的方法就可以解决.

练一练D：

1.在△ABC中，AB=7，BC=5，AC=6，则AB·BC等于（）.

A.19B.-19C.18D.-18

2.已知△ABC的面积为S，且AB·AC=S.

（1）求tan2A的值;

（2）若B=π4，CB-CA=3，求△ABC的面积S.

练一练D答案：

1.解析 ∵AB=7，BC=5，AC=6，

∴cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=72+52-622×7×5=1935，

AB·BC=AB·BC·cos（π-B）=7×5×（-1935）=-19.

故选B.

2.（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.

∵AB·AC=S，∴bccosA=12bcsinA，

∴cosA=12sinA，∴tanA=2.

∴tan2A=2tanA1-tan2A=-43.

（2）CB-CA=3，即AB=c=3，

∵tanA=2，0<A<π2，

∴sinA=255，cosA=55.

∴sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB

=255·22+55·22=31010.

由正弦定理知：

csinC=bsinBb=csinC·sinB=5，

S=12bcsinA=125·3·255=3.

參考文献：

[1]陈国林.三角函数问题灵活多变，多维探究发散思维[J].广东教育（高中版），2020（11）：22-24.

[责任编辑：李 璟]