针对“数学运算”的课堂教学探索

吴颖康

摘  要：执教教师以指对幂运算为内容载体，针对数学运算素养进行了有益的课堂教学探索. 在前期指对幂运算测试的基础上，该节课通过对测试题分类、规范地进行指对幂运算操作、针对指对幂运算的纠错和改正等三个主要的数学任务，提炼并阐述数学运算的内涵，巩固和加强对数学运算内涵的理解和运用. 该节课的教学过程遵循活动原理，即教师指导下的学生尝试与鼓励，为学生提供了较多时间和机会进行探究、表达和分享.

关键词：数学运算;核心素养;指对幂运算

以运算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式和以演绎推理为特征的公理化模式是推动数学发展的两条线索. 我国学校数学课程一直高度重视数学运算，从原来的三大能力到现在的六大核心素养，数学运算始终占有一席之地. 自《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）提出包括数学运算在内的六大数学学科核心素养以来，如何在课堂教学中落实数学学科核心素养始终是数学教育教学领域关心的重点问题.

数学学科核心素养的培养不能脱离具体的知识内容. 在进行教学设计时，需要分析具体教学内容背后所反映的数学学科核心素养，将抽象的素养转化为与具体教学内容紧密联系的教学目标，并通过恰当的数学任务和教学法在课堂中加以落实. 从具体内容的学习中形成的数学学科核心素养（或者大观念、思想方法等），则应被用来进一步指导和促进相关新内容的学习和理解. 也就是说，从具体的知识内容到抽象的数学学科核心素养，再用抽象的数学学科核心素养去指导具体内容的学习，这是促进数学核心素养形成和发展所应经历的过程. 执教教师的这节课就是这样一个关于数学运算素养从具体到抽象、再用抽象指导具体的教学案例.

一、目标定位

虽然这节课是在一次关于指对幂运算的测试后进行的，但它并不是一节传统意义上的测试卷讲评课. 笔者认为这是一节以指对幂运算为内容载体的、以数学运算素养（能力）为主题展开的研究课.

这样说的原因主要基于以下三点.

第一，执教教师在研读《标准》和解读数学运算能力的基础上，构建了数学运算能力水平框架. 该水平框架包括三个维度，分别是运算对象、运算规则和运算过程，每个维度下有若干类别. 本节课中关于指对幂运算的测试卷就是依据该水平框架编制和开发的. 这不仅在一定程度上保证了测试卷的质量，也为测试结果的分析提供了方向.

第二，本节课的学情分析是建立在学生测试和问卷调查的基础上的，用数据说话，准确有据，有利于开展针对性教学. 一方面，执教教师对学生在三个维度上的得分率进行了统计，了解到学生在运算过程上的表现最为欠缺;另一方面，执教教师还通过问卷了解到学生运算错误归因的典型回答是“粗心”“马虎”和“不知道怎么计算”. 这说明学生并没有从数学运算的本质出发梳理自己的运算错误. 这些信息有助于教师确定本节课的教学难点和教学策略.

第三，本节课并不是要就题论题地分析测试题，而是旨在提炼数学运算的构成要素和涉及的数学活动，明确数学运算的内涵，为学生分析审视指对幂的运算，甚至其他的数值运算和符号运算提供一套话语体系，即“明晰运算对象，依据运算法则，完成运算过程，解决数学问题”，并用这套话语体系来表达和交流指对幂运算的过程和运算中出现的问题.

二、数学任务

本节课的数学任务主要有三个：第一，学生以小组合作的方式对测试题进行分类;第二，师生共同完成一道指對幂的运算题;第三，学生对教师给出的测试卷中的错误解答进行纠错并分析错误原因. 这三个任务贴近学生的数学现实，且具有较好的连贯性.

任务1的设置目的在于帮助学生从具体的指对幂运算中提炼数学运算的构成要素和涉及的数学活动，形成对数学运算内涵的初步理解，掌握“明晰运算对象，依据运算法则，完成运算过程，解决数学问题”这一用于描述数学运算的话语体系. 任务2通过师生问答和教师板演规范地呈现了如何在一道具体的指对幂运算题中明确运算对象，依据运算法则，完成运算过程. 该任务是对数学运算内涵的运用和深化，抽象的数学运算内涵在这道问题的解答过程中具体化了，学生对运算对象、运算法则和运算过程的含义有了操作层面的认识和感受. 如果说任务1是从具体的指对幂运算的测试题中抽象出数学运算的内涵，那么任务2就是将抽象出的数学运算内涵作为指导原则运用到具体的指对幂运算题的解决中. 任务3有两个子任务，第一个子任务是让学生纠正两道指对幂运算题中的错误，第二个子任务要求结合同一位学生在涉及同一个运算法则的两道运算题中的不同表现，用联系的眼光诊断该学生的错误原因. 该任务要求学生运用数学运算的内涵，审视和分析指对幂运算中的错误，并进行合理归因，是因为运算对象辨识不清，还是运算规则混淆，抑或是运算过程不规范出现过失等，从而帮助学生明确提高自身运算能力的改进方向. 如果说任务2是用数学运算的内涵规范指对幂运算的解题过程，那么任务3则是用数学运算的内涵反思矫正指对幂运算中的错误.

总的来看，本节课的三个任务中，任务1和任务3分别涉及分类和反思的思维活动，对学生的认知水平要求较高. 尽管任务2是一道指对幂运算的常规题，但其用意是从数学运算内涵的视角，分析和呈现数学运算的规范化过程，在整节课中同样具有重要作用. 同时，这三个任务较好地处理了具体的指对幂运算和抽象的数学运算内涵之间的关系，把数学运算本身作为了可教可学的独立教学内容.

三、教学法

顾泠沅先生指出，我国的数学课堂在长期的改革历程中逐渐积累并形成四条基本教学原理：让学生迫切而有自信地学习——情意原理;针对不同学生有层次推进的教学——序进原理;教师指导下鼓励学生的尝试与探索——活动原理;通过作业和辅导及时反馈并改进教学——反馈原理. 这四条基本教学原理在执教教师的课上或多或少都有所体现，其中最为明显的是活动原理. 教师要在课堂教学中设计有意义的数学任务，在思维关键处设疑启发，而学生的尝试与探索则强调要充分发挥学生的自我意识和主观能动性，确立学生在学习过程中的主体地位，让不同水平的学生共同参与、获得发展.

在本节课中，执教教师根据学生已有的知识经验基础，精心设计了如上所分析的三个教学任务. 在教学实施的过程中，学生参与度较高，有较多时间和机会进行探究、表达和分享，课堂氛围轻松活跃. 在时长约45分钟的课堂教学中，有约28分钟用于学生的讨论、分享和展示（任务1，17分钟;任务3，11分钟），有约8分钟用于师生问答共同完成任务2的指对幂运算题，剩余的9分钟则用于教师的引入、讲解（包括任务1数学运算内涵的呈现和解释），以及最后的小结和作业布置. 尽管学生活动在整节课中占据了大部分时间，教师讲授的时间相对较少，但教师实际上一直在关注学生的学习表现，并能据此做出相应的教学調整. 例如，在进行任务1，即对测试题进行分类的小组活动时，执教教师在巡视中发现有的小组从指数、对数等知识内容的角度对测试题进行分类，并不符合预设的对数学运算内涵的探索方向. 于是，执教教师让讨论方向符合预设的小组代表分享他们小组是如何对测试题进行分类的，这一干预有助于全体学生明确探索方向，为提炼数学运算的内涵铺设台阶、打下基础.

四、问题讨论

就本节课的设计和实施而言，有以下两个问题可供进一步探索. 第一，需要明确指对幂运算的测试题与构建的数学运算能力水平框架之间的细目关系，即每道测试题考查了数学运算能力水平框架中哪个维度下的哪个类别？这道测试题真的考查了该类别吗？该类别还可以通过其他测试题来考查吗？等等. 换言之，即要通过科学手段建立测试卷的信度和效度，使测试卷的结果能如实反映学生在指对幂运算上的表现. 第二，该堂课是以指对幂运算为载体，将数学运算的内涵本身作为独立教学内容的教学尝试. 尽管我们从目标定位、数学任务和教学法这三个方面对本节课进行了分析和肯定，但该节课的实际教学效果究竟如何还得学生说了算. 学生明白数学运算的内涵了吗？他们会运用数学运算的内涵进行运算操作和反思纠错了吗？数学运算内涵的显性化与学生实际的数学运算能力之间有关系吗？这种关系有多大的关联强度呢？这些问题需要通过设计测试卷和访谈提纲，在数据收集和分析的基础上获得解答，而这些问题的解答应该有助于教师反思和改进本节课的教学设计和实施.

如果我们把数学运算从指对幂运算拓展到更大范围的数学内容中加以考虑，则会出现更多值得讨论的问题. 例如，如果从数的运算延拓到符号的运算，那么以数学运算为主题的课堂教学的目标定位、数学任务和教学法会有什么不同？如果从针对具体对象的运算延拓到针对抽象对象（如抽象函数）的运算，那么又该如何进行教学呢？更为宽泛的问题还包括：该如何来理解运算本身？运算作为一种对象，它在数学课程中发生、发展的过程是怎样的？数学运算的学习进阶又是怎样的？希望这些问题能引发数学教育教学工作者的思考和研究，以期达到抛砖引玉的效果.

参考文献：

[1]李文林. 算法、演绎倾向与数学史的分期[J]. 自然辩证法通讯，1986（2）：46-50，79.

[2]章建跃. 高中数学教材落实核心素养的几点思考[J]. 课程·教材·教法，2016，36（7）：44-49.

[3]顾泠沅. 教学改革的行动与诠释[M]. 北京：人民教育出版社，2003.