“对数函数的概念”教学设计与反思

李晶

摘  要：教材将对数函数的概念提炼为一个独立的课时，强调对数函数概念的建构. 因此，本节课强调通过情境的创设和问题的提出来引导学生思考“为什么引入对数函数概念”“如何构建对数函数概念”“对数函数的引入能做什么”，以便学生能在构建概念的过程中理解概念引入的必然性，发展发现问题、提出问题的自我探求知识的能力.

关键词：概念课教学;对数函数;演绎推理;类比;问题链

一、教学内容分析

本节课是人教A版《普通高中教科书[·]数学（必修）》（以下统称“教材”）第一册第四章第4节的内容：是在学生学习了函数的概念和性质，经历了幂函数、指数函数的学习方法和过程，掌握了对数的定义及运算的基础上引入的一类新的基本初等函数;是对函数的概念、性质本质的再认识;是基本初等函数类型的再拓广;是研究函数路径“背景—概念—图象与性质—应用”的再强化;是后续学习反函数的关键概念和必备知识;是分析和解决大量数学问题和实际问题的重要工具.

教材将仅有400多个字符的对数函数概念的抽象概括设立为一个独立课时，更强调对数函数概念的建构和动态生成，既要考虑概念的存在性与引入的必然性，又要考虑新概念与旧知识间的相互关联和印证，对已储备知识进行搭桥式联系. 与指数函数的抽象概括过程不同，本节课强调通过对函数定义本质的挖掘，演绎推理、抽象概括出对数函数的定义. 在学习过程中渗透数学运算、数据分析、数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养，培养学生的理性思维和科学精神.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）通过解决具体实例中的指数函数已知[y]求[x]的问题，感受对数函数的实际背景，感悟对数函数概念引入的必然性，夯实提出问题、分析问题、解决问题的学习能力.

（2）通过经历对数函数概念的构建过程，让学生感悟研究函数的方法，理解对数函数的概念，体会数形结合、类比、从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，促进演绎、归纳法的内化，渗透逻辑推理、数学抽象、直观想象的数学学科核心素养.

（3）通过应用，掌握对数函数解析式及对数型函数定义域求解;感悟指数函数和对数函数是从不同角度研究同一类问题变化规律的两大基本初等函数类型，渗透数学建模、数学运算素养.

三、学生学情分析

1. 学生已具备的知识基础

（1）学生对函数的认识要经历三个阶段.

经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄增长，我的个子越来越高”等.

形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“[y]随[x]的增大而减小”，即“变量说”.

抽象概括阶段（高中及以后），能脱离具体和直观对象，进行抽象化、符号化的概括与操作，即“集合-对应说”.

（2）学生学习了指数函数的相关知识，能进行指数与对数的运算.

2. 学生已具备的能力基础

学生经历了幂函数、指数函数的学习方法和过程，体会了研究一般函数的方法，具备了一定类比、数形结合的数学思想，积累了从具体到抽象、从特殊到一般的数学活动经验，学生已具备了自主生成对数函数定义的基本认知基础.

3. 学生可能存在的认知困难

（1）学生在碳14衰减问题中，由指数和对数的关系，容易根据死亡生物体内碳14残留量[y]经运算推理得到生物死亡时间[x]的关系式，但是想到用函数刻画[y]和[x]之间的关系是其认知困难之一.

（2）指数函数的概念是由具体实例观察抽象得到的，而对数函数概念的构建是需要利用函数的定义，通过演绎推理论证的. 因此，如何将“似乎显然”是函数的结论推理到“确实显然”是其认知困难之二.

基于以上分析，本节课根据思维最近发展区理论，在学生已有的认知经验中寻找新知识的生长点，以概念同化的形式进行教学.

由此确定本节课的教学重点为对数函数的概念，教学难点为利用函数定义演绎推理对数函数的概念.

四、教学问题诊断

教学问题1：为什么引入对数函数概念？

一个新概念的引入要先考虑概念生成的合理性和必然性. 因此，本节课要解决的第一个问题就是为什么引入对数函数.

解决方案：先通过对实际案例中数据的运算、分析，发现对数式中两个变量之间的关系，再借助数据的无限性和运算的有限性之间的矛盾，引导学生考虑用函数刻画两个变量之间的关系.

教学问题2：如何构建对数函数概念？

在数学概念的教学中，不但要使学生掌握单个概念，而且要使学生掌握概念体系，构建良好的数学认知结构.

从最近发展区的角度考虑，学生已有的经验是函数、指数函数知识体系的构建. 基于这些因素，确定问题的解决方案：本节课教学，由对数运算入手，通过设置问题链挖掘函数本质，借助函数定义进行演绎推理，再类比指数函数从特殊到一般，抽象概括对数函数的定義;单元教学，类比指数函数知识体系构建对数函数知识体系，即对数函数的概念、后续课程中对数函数的图象、性质及应用等.

教学问题3：对数函数的引入能做什么？

每个新概念的引入还需要考虑它是否能产生新的方法，或者为其他问题的解决带来便利.

解决方案：本节课拟在运用演绎推理得到对数函数概念及利用对数函数解决实际问题两个环节中引导学生初步体会对数函数和指数函数互为反函数，它提供了一种与指数函数不同的角度去刻画同一个问题的变化规律.

五、教学过程设计

1. 创设情境，提出问题

情境：在周末参观古生物博物馆时，小明看着恐龙化石提了“我们怎么知道霸王龙是生活在白垩纪还是侏罗纪呢？”这样的问题，大家能回答这个问题吗？考古学家是如何利用遗址中的化石推断恐龙生活的年代的呢？

【设计意图】通过一个自然而真实的问题让学生感受对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系. 引导学生从另一个角度研究同一问题的变化规律，引导学生学会用数学眼光观察世界. 通过具体数据运算的局限性，引出用函数刻画死亡时间[x]与碳14含量[y]之间关系的必要性，体现对数函数概念引入的必然性，为抽象对数函数做准备.

2. 演绎推理，构建概念

问题3：你所学的数学知识中，有能用来描述两个变量所有取值之间的关系的吗？

追问1：死亡时间[x]是碳14含量[y]的函数吗？

追问2：数学是一门严谨的科学，你能找到依据进行严谨的推理判断吗？

问题4：函数的定义是什么？

师生活动：学生在教师的引导下想到利用函数来描述死亡时间[x]与碳14含量[y]之间的关系，进而想到通过函数定义论证死亡时间[x]是碳14含量[y]的函数. 通过对函数定义的回顾提炼出：函数是两个实数集之间的一种特殊对应关系. 函数有三个要点：两个非空数集[A，B;] 两个集合间有一个确定的对应关系;此对应关系要满足对于集合[A]中的任意一个数[x，] 按照确定的对应关系，在集合[B]中都有唯一确定的数[y]与它对应.

问题5：在对数式中，[y]和[x]对应的集合[A，B]分别是什么？依据是什么？

问题6：从集合[A=0，1]到集合[B=0，+∞]的对应关系是什么？

追问1：画哪个图象？

追问2：集合[A=0，1]中任意一个数[y，] 如何用图形刻画？

追问3：按照对应关系，在集合[B=0，+∞]中有唯一确定的[x]与[y]对应，又如何用图象刻画呢？

追问4：从图象直观感知两个函数图象的确是有一个交点，但仅凭指数函数部分图象，怎样说明[0，+∞]上不会再有其他交点？

师生活动：师生利用信息技术作图（如图1），一起检验函数定义的三个要点，论证死亡时间[x]是碳14含量[y]的函数.

问题8：如果将底数换成其他常数，[x]还是[y]的函数吗？如[x=log15y，x=log3y，x=lny，x=log12y.]

问题9：你能归纳这类具体函数的一般表示吗？

追问1：底数[a]有限制吗？

追问2：自变量是什么？因变量是什么？符合函数的表示习惯吗？可以怎么做？

追问3：此函数的定义域为多少？为什么？

追问4：类比指数函数给出对数函数的定义.

师生活动：学生从特殊到一般抽象概括出对数函数的一般表达，同时类比指数函数给出对数函数的定义. 教师板书对数函数的定义，强调对数函数的形式特点和定义域.

【设计意图】问题3的追问1一提出来，大部分学生都会下意识地回答“是”，但并没有经过严谨地思考. 实际上，基于已学的函数定义和指数函数、对数，此处可以采取概念同化的教学方式，通过验证对数式中死亡时间[x]与碳14含量[y]满足函数定义的三个要点，演绎推理出死亡时间[x]是碳14含量[y]的函数. 通过拆解函数定义中的条件，引导学生学习数形结合，体会数形结合思想方法，学习用数学的思维思考世界.

3. 例题解析，学以致用

例1  已知函数[fx]为对数函数，且[f3=1，] 则[f9]的值为        .

例2  求下列函数的定义域：

（1）[y=log3x2;]（2）[y=loga4-x a>0，a≠1.]

问题10：例2中的两个函数是对数函数吗？

师生活动：师生共同解答，教师点拨. 这两个函数不是对数函数，它们称为对数型函数. 对数函数的真数是自变量[x];底数是大于0且不等于1的常数;整体系数是1.

【设计意图】学生通过求对数函数解析式和对数型函数的定义域，理解对数函数的概念. 对于一个概念的完整理解，只明了本质属性是不够的，因此在教材的基础上增加了例1及问题10，意在让学生从正、反两个方面理解对数函数的内涵和外延.

例3  假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过[y]年后的物价为[x.]

（1）该地的物价经过几年后会翻一番？

（2）填写表2，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.

师生活动：依据题意，学生建立年数[y]关于物价[x]的对数函数，用Excel软件计算相应年数，填写数据如表3所示.

问题11：你们从表格里可以发现物价具有什么变化规律？

追问1：除了物价随年数增长而增长的规律外，还有其他变化规律吗？如何让表中的数据更形象直观呢？

師生活动：画出表格中数据对应的散点图，如图2所示，横坐标是物价[x，] 纵坐标是年数[y.]

追问2：从图象上可以更加直观地感受到增长趋势，那么增长的快慢程度如何呢？

追问3：如何定量描述年数“增长得越来越慢”这个特征呢？

师生活动：学生通过观察散点图，得出物价大约每增加1所需时间在逐渐减少. 教师再将表3中的年数做差得到表4，从数据的角度体现此规律.

教师讲授：现在有两个角度可以描述物价的变化规律：一个是从物价[x]是年数[y]的指数函数的角度;另一个是从年数[y]是物价[x]的对数函数的角度. 这两个函数可以从不同角度描述同一个问题的变化规律：物价增长得越来越快！它们两者之间的关系，将在后续课程中研究.

【设计意图】学生通过解答例3了解对数函数的实际意义，并初步体会对数函数的增长特点. 再次体会指数函数和对数函数是从不同角度刻画同一个问题的变化规律，为后续学习反函数做铺垫. 在学习过程中，通过综合使用函数的三种表示——解析式法、列表法、图象法，帮助学生从定性的图象直观到定量的数量关系描述物价的变化规律，学会用数学语言表达世界.

4. 自主演练，巩固所学

练习1：求解下列函数的定义域.

【设计意图】学生通过解答练习题，再次理解函数表达式对定义域的限制：分母不为0，真数大于0. 再次强化函数的三要素对函数的限制：利用对数恒等式化简后的对应关系是一样的，但因其定义域是不同的，所以这是两个不同的函数. 因此，在研究函数时，不能随意化简表达式，应先求出定义域后再化简.

5. 课堂小结，作业布置

知识：对数函数的概念，对数函数的结构特征、定义域及应用.

方法：从实例中提出数学问题，利用已有知识对其进行推理论证，再从特殊到一般抽象归纳一类函数的概念.

作业1：通过类比，由特殊到一般推理论证[y=][logax a>0，a≠1]是函数.

作业2：类比幂函数、指数函数的研究方法，研究对数函数[y=logax a>0，a≠1]的图象和性质.

作业3：完成课后作业第3题.

【设计意图】学生通过回顾本节课构建的知识和应用的方法，积累研究数学问题的方法与活动经验，学会学习数学. 通过完成课后作业，学生将再次经历演绎推理的过程，再次体验类比方法的实用性，为后续对数函数图象和性质的学习做好铺垫.

六、教学反思

1. 关于设计的定位

教材为何要将“对数函数概念的抽象概括”设计为一个独立的课时？要怎样体现出设计的优越性？通过反复研读，笔者感悟到：学生在此前对数的学习中，已经掌握了指数和对数之间的内在关联，对数函数概念的抽象就应在此基础上展开，方能展现出这一节的独特魅力和与众不同. 因此，本节课最重要的两个环节为创设情境和构建概念.

首先，利用碳14指数函数创设情境，解决以下两个问题：学生通过运算感悟到已知一个[y]反过来可以计算[x]，得到对数式;利用数据的无限和运算的有限之间的矛盾，让学生想到用“函数”描述两个变量之间的关系.

其次，在构建概念中引导学生根据函数定义，进行严格的演绎推理，把一个“似乎显然”的问题推理到“确实显然”.

2. 关于遵循概念学习的规律

章建跃博士认为，从数学知识的发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，是落实数学学科核心素养的关键点. 本节课在具体教学中遵循以学生为中心，通过设置问题链引导学生参与到“为什么引入对数函数”“如何构建对数函数”“对数函数引入后有哪些作用”的新概念的建构过程中. 在知识的形成过程中遵循事物认知的一般规律，以情境问题引入，继而转化为数学问题，让学生在明晰问题产生背景的基础上从已有的数学知识入手分析问题、解决问题，从而将“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”落实到课堂的每一處.

3. 改进之处

（1）能正确处理“预设”与“生成”之间的关系，但对学生解答例3时出现的口误“建立了年数[y]关于物价[x]的指数函数”虽然有及时纠正，但是没有深入考虑口误产生的原因，此处的口误可能代表着学生对于描述两个变量间函数关系的规范表达有待提高.

（2）在引导学生自主构建概念的过程中，重视学生的生成性学习，但对于如何引导学生，何时介入学生的自主探究，是不是可以让学生更主动、更开放些等方面需要加强. 例如，提出研究“两变量之间是否为函数关系”的问题后，可组织一次数学活动，由学生分组合作探究讨论研究此问题的方法，由学生定下此节课的研究方案，师生共同验证;在例题的设置上，是否可以再大胆一些，多设置一些实际应用问题. 这些都是有待进一步尝试的.

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]何小亚，姚静. 中学数学教学设计[M]. 北京：科学出版社，2018.

[4]叶穗. 承概念教学，探数学本质：以“对数函数的概念”的教学为例[J]. 新教育（中旬刊），2020（5）：20-22.