让思维插上科学的翅膀

张鹏 曹永芹

摘  要：思维的价值在于它是探寻本质的方法，是获得结果的过程，更是潜能发展的必需. 近几年来，教学中越来越注重对学生思维能力的培养. 文章以一道解析几何试题为切入口，通过周密审题、思路探究、解题策略、深度思考四个方面，浅谈对培养学生科学思维能力的一些思考.

关键词：科学思维;周密审题;思路探究;解题策略;深度思考

科学思维，也叫科学逻辑，即形成并运用于科学认识活动、对感性认识材料进行加工处理的方式与途径的理论体系. 它是真理在认识的统一过程中对各种科学的思维方法的有机整合，是人类实践活动的产物.

思维的价值在于它是探寻本质的方法，是获得结果的过程，更是潜能发展的必需. 近几年来，教学中越来越注重对学生思维能力的培养. 随着我国教育体制改革的推进，以及社会对人才素质要求的提高，对学生综合能力和素质的培养提出了更高要求，所以教师在教学上应该加强培养学生严谨的科学思维能力.

数学题目中包含着典型的数学思想和深刻的数学思维. 教师精选出富有探究性和能够切实提升学生思维能力的典型题目，经过适当的推广、变式、转换、分解等立体式的精心设计，在深度上挖掘“资源”的深刻性，在广度上拓展“资源”的功能性. 进而在课堂教学中引导学生揭示问题的本质，从不同角度发现问题的真谛. 这样，方能有效拓宽学生的解题思路，培养学生的探究能力.

笔者以一道解析几何题目作为切入口，通过周密审题、思路探究、解题策略、深度思考四个方面，浅谈对培养学生科学思维能力的一些思考，期盼能够启发学生思维，使学生的思维更具深度，进而产生触类旁通、举一反三的教学效果.

一、重周密审题，促進思维发展

审题是对题目中原有条件的正确理解、合理改造和深入加工. 很多错解产生的根源就在于审题能力不足. 例如，审题不清而看错信息，审题不严而遗漏信息，审题不准而“想当然”地加工信息，审题不深而找不出条件间的必然联系. 可见，细致周密的审题是解题成功必须具备的前提条件. 波利亚认为，学生没有弄明白问题就开始演算与作图是解题中最糟糕的现象. 因此，波利亚的《怎样解题》将解题这一过程进行了步骤的分解，其中，“弄清问题”这一步便是要求学生从多角度进行题意的观察，使得问题的实质得到洞察并因此确定解题方向. 由此可见，审题对于学生思维的启动是最为关键的.

1. 抓题中“几何动作”，按“动作”顺序作图

解析几何的研究对象是几何图形，故而充分理解和深入挖掘几何图形的特征和性质应优先于代数的运算，即先用几何眼光观察，再用坐标法解决.

有些学生一看到解析几何题目就束手无策，这都是因为“无形”. 图形在求解解析几何问题中起着非常重要的作用，教师着重于在教学中渗透数形结合思想，培养学生的几何直观能力. 几何直观本质上是一种通过图形所展开的想象能力，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探究解决问题的思路、预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用.

在此题中，我们可以抓住以下“几何动作”理解题目.

通过从几何直观的角度审视题目，将文字描述语言形象化、图象化表达，有助于学生进一步理解和分析问题，有助于培养学生的形象思维，意在做题之前做到胸有成竹.

2. 几何条件代数化，点线关系不缺失

正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”，几何条件代数化就是借助数的精确性和规范严密性来阐明图形的某些属性，通过数理论证、数量刻画，以获得结论，即以数为手段、以形为目的.

在此题中，我们可以将一些几何条件用相应的数学符号或数学表达式进行表达，即将几何条件转换为代数关系.

（3）将条件“直线[AP]与椭圆[C]交于另一点[B]”表达成“交点[B]（联立方程组可得其坐标）在椭圆上，满足椭圆[C]的方程”.

（4）将条件“判断直线[AB]与直线[OP]的位置关系”表达成“[kAB=kOP]”.

将题目中的几何条件转化为数学符号，是学生具有抽象化思维的具体体现. 符号是数学的基本工具，也是学习数学的主要内容. 熟练掌握用数学符号表达数学对象有助于学生对题目信息的加工和处理.

对于点[A]和点[B]，我们应有充分的理解. 点是解析几何中最基本的元素，对点的认识与表征是否到位，在解析几何问题的解决上有着重要的意义，即要认清点的多重身份. 学生都很清楚“若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程”，而“点又可以看成是曲线的交点”，对于点的这一重身份的认识与运用，学生就显得相对薄弱. 波利亚在其著作《数学的发展》第一章“双轨迹模型”中列举了大量的例子，足以说明几何中对点的这一认识的重要性. 在教学中，教师有必要让学生对点与曲线的关系有这样的辩证认识. 而且在解析几何问题中，点在某曲线上往往是直接给出的，然而要把点看成是曲线的交点，有时需要一定的分析才能显现出来，这又加大了问题解决的难度.

因此，对题目条件进行不同角度的分析与挖掘，将对点[A]和点[B]的身份有不同的认定. 这样多角度地思考问题，既会产生不同的解题方法，又有利于提升学生科学严谨的思维能力.

二、重思路探究，体验思维过程

大家往往会认为平面解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题，其过程中的运算要有毅力. 笛卡儿将坐标法引入几何，解决了“形缺数时难入微”的问题，而且实现了“以算代证”的算法统一，但是这并不意味着要抛弃传统的挖掘几何图形性质的研究方法.

对题目中的信息进行分析、整理、合成，这是思维的过程. 教师引导学生多角度、纵深交错、逆向、高位地分析信息间的内在联系，使学生充分体验研究问题的思维过程，在一系列的思维活动中，培养和提升学生的科学思维能力.

在分析题目第（2）小题时，教师可以对学生提出如下问题，让学生进行思考.

问题1：试猜想直线[AB]与直线[OP]有怎样的位置关系？有何根据？

问题2：如何理解题目中的“对称”关系？它有怎样的几何或者代数的等价转换？

问题3：如何理解点[B]？它是椭圆[C]上的点还是几何图形的交点？将点[B]与其他几何图形一起分析，又能带来怎样的几何或者代数的等价转换？

问题4：经过上面的深入思考，如何确定直线[AB]与直线[OP]的位置关系？是“从条件谈起”还是“从结论入手”？

问题5：尝试理清其中的逻辑关系，以流程图的形式呈现解题思路.

解题思路流程图能够清楚地展现解题的逻辑思维，能将解题策略以流程图的形式具体表现出来，能帮助学生理解题目中条件与结论之间的内部关系. 对于题目的第（2）小题，给出如下两种解题思路及对应的解题思路流程图.

思路1：从条件谈起.

题目条件中的“几何动作”详细地描述了几何元素之间的关系. 因此，我们可以从条件出发分析题目，设计解题流程图. 我们由图1易知直线[PB]和直线[PA]关于直线[l]对称，因此这两条直线的斜率互为相反数. 故而，只需将两条直线中的一条与椭圆联立方程求解得出交点坐标，另一交点坐标可由斜率关系得到. 可以看出，求解点[A，B]的过程是一样的、相关的，因此，在设计解题流程时可以“并行”设计. 这样，就能顺利得出直线[AB]的斜率[kAB，] 进而与直线[OP]的斜率[kOP]进行比较便可得证. 解题流程图如图2所示.

【评析】解法1重点研究了“对称”关系，具体体现为对称直线的斜率关系和隐去点[A，] 将点[A]的作用转嫁到点[B]. 进而灵活运用根与系数关系，得出直线[AB]的斜率，省去了很多运算过程.

思路2：从结论入手.

从结论入手是利用分析的思维方法思考问题，将它运用到解析几何当中进行求解是常用的方法. 首先，我们猜测直线[AB]与直线[OP]的位置关系，并将此结论作为已知进行证明，进而得到与题目条件相符合的情况. 在此题中，由图1可以猜测直线[AB]与直线[OP]是平行的，故而两条直线的斜率相等，便知直线[AB]的斜率，得到直线[AB]的方程. 再由对称关系得到直线[PA]的斜率，得到直线[PA]的方程. 依照题目中的“几何动作”，我们将直线[AB]与直线[PA]联立求得点[B]的坐标，再将点[B]代入椭圆方程，成立即可. 解题流程图如图3所示.

【评析】解法2先假设两条直线平行，利用假设，求出点[B，] 再将点[B]带入椭圆方程，若成立，则假设成立. 其中，先利用“对称”关系求出点[A]的坐标，将点[B]理解为两条直线的交点，进而将点[B]带入椭圆方程，化简即可.

三、重解题策略，優化思维品质

思维是智力与能力的核心. 思维是人脑对客观事物的本质与事物内在的规律性关系的概括和间接的反映. 思维的本质是具有意识的人脑对客观事物的反映，它反映的是一类事物共同的、本质的属性，以及事物间内在的、必然的联系.

思维品质，实质是人的思维的个性特征. 思维品质反映了个体智力或思维水平的差异，主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性和系统性六个方面. 优秀的思维品质来源于优秀的逻辑思维能力. 良好的数学思维品质是高考考查的重点，尤其是对数学思维敏捷性的考查更加体现了高考命题的独具匠心.

有研究表明，中学生的数学学习选择能力是影响学习成绩的重要因素，两者呈现较高的正相关. 解析几何是用代数的方法研究几何问题，即通过引入变量建立方程或函数关系解决问题. 在具体的解题过程中设什么未知量是一个值得仔细考虑的问题. 很多学生做题时处于一种惯性状态，一有思路便立即进入运算阶段，而不去分析要算什么、怎么计算会更好，结果导致问题求解困难.

从例题两种解法的思考角度可以看出，解法1比解法2的运算要简单一些，思维上有“妙”之所在，抓住了解决问题的本质，恰当利用“对称关系”，巧妙算出点[B]的横坐标，使问题得到简化. 解法2虽然在运算能力上有一定的要求，但整体思路清晰明确，常规易想.《标准》强调，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.

两种解法在思维上都有可以借鉴之处，在解题教学中应该及时给予总结和突破. 解题教学不仅要教会学生解题，更重要的是思维层面的点拨与培养，这样便不失解题教学的意义. 因此，重解题策略的优化与选择，方能使学生思维的灵活性、广阔性和深刻性得到训练.

四、重深度思考，提升思维创新

一切问题的根源都在于思考，而更重要的在于深度. 这里的深度不仅指纵向的，也指横向的，或者说即综合了各种情况，又选取几种情况进行更进一步的挖掘. 深度思考的目的，是要解决问题，是践行三思而后行.

深度思考，方能完善认知、提升思维. 只有对数学思想和数学方法理解透彻、融会贯通，才能提出新看法、巧解法. 针对上述例题，笔者做出如下思考.

思考1：如果弱化第（2）小题中“点[A]为第四象限内一点”这个条件，我们能否判断直线[AB]与直线[OP]的位置关系呢？

在题目的探究过程中，逐步深入、环环相扣，运用多途径、多思维进行探究、拓展和变式思考，驰骋想象，纵横联想，观察分析数学问题的实质. 在挖掘问题及解决的过程中蕴含着数学思维和数学思想，同时猜想探求适当的数学规律. 这种回归问题本身的探究思考，既使得错综复杂的几何图形有了“四面湖山收眼底”的美感，又提升了学生的科学思维能力，能够引起学生对经典试题的重视，激发学生的学习兴趣.

参考文献：

[1]于洁. 思维的价值与美丽：例谈在小学《科学》教学中培养学生思维能力[J]. 新课程研究，2012（7）：145-146.

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[4]张先龙. 数学教育要培养理性思维素养[J]. 中学数学教学参考（上旬），2017（9）：10-13.