数学育人作引领 经典问题创新意

陈昕

摘  要：“等差数列的前[n]项和”是一节较为经典的数学规则课. 本节课的教学设计和实施能较好地遵循数学规则“习得”和“转化”两个阶段的基本要求，情境引入较有创意. 在新颖的情境下数与形相互印证，多种思路殊途同归. 在教师的引导下，数学探究学习贯穿了整堂课教与学的过程，提高了学生的“四基”“四能”，发展了数学学科核心素养，数学育人潜移默化、水到渠成.

关键词：规则课型;创新情境;公式推导;数学探究

“等差数列的前n项和”是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》第2章第2节“等差数列”第3课时的内容，主要内容是用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式，与通项公式一起揭示五个基本量“知三求二”的思想方法. 求和公式的探究过程体现了“特殊到一般”的问题解决路径，有助于对学生数学抽象和逻辑推理素养的培养.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对“等差数列的前n项和”的要求是探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 对公式的“探索”这个要求比较高，需要学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程;对公式的“掌握”要求学生不仅要理解公式，还要达到熟练应用的程度. 另外，对已经学习的等差数列的通项公式的知识和后续等比数列的知识，要能站在函数和单元设计的角度有一个整体性的把握.

数学课型按教学内容和形式分类，可分为概念课、规则课、解题课、复习课等，“等差数列的前n项和”是一节典型的规则课，内容非常传统，是很多优质课评比参赛教师喜欢选择的课题. 下面就执教教师的授课过程，从高中数学规则课的视角谈谈笔者的看法.

一、关于数学“规则课”

掌握和运用规则是人类发展历程中非常重要的一种智慧型技能，属于学习过程中的程序性知识. 同样地，数学规则也应该作为程序性知识来学习.

高中数学规则课一般是指将高中数学中的法则、公式、定理和数学基本题的解法等数学规则的教学作为任务的一类课型. 数学规则课的课堂教学应该能让学生通过较多的例证来说明规则反映的关系，以及运用规则在适用的不同情境中灵活解决问题. 一般来说，要经历“数学规则是什么和为什么是这样”的理解过程，还要明确相关数学规则之间的关系，这其实就是对规则的理解. 最后还要能“用规则去办事”，这就是将习得的数学规则运用到具体情境中去分析问题和解决问题，是数学规则的迁移和应用.

规则课教学一般有三个阶段：习得阶段、转化阶段、迁移阶段. 下面主要从习得阶段和转化阶段对本节课进行阐述.

二、本节课的“习得阶段”

这一阶段主要解决规则是什么，为什么是这样，以及它与相关规则之间的关系.

1. 探索求等差数列的前n项和公式的方法

规则的发现和证明过程中蕴涵着丰富的数学方法和数学思想，也包含着数学家的智慧.

（1）从阅兵队形到点阵.

本节课的情境创设匠心独运、颇具创意. 通过让学生观看阅兵训练视频，以现实情境激发学生的爱国之情. 引导学生用数学眼光观察视频中的队形，从中抽象出“点阵”，进行数学建模. 整个过程让情境中的形与数相互印证，贯穿着师生、生生的相互探究，使问题的发现和提出都有着几何背景的支持与验证.

（2）从多种方案到首尾配对.

在构建等差数列模型之后，继续内化等差数列中的基本要素，引出求和的概念. 在探索求和方法的过程中，尝试多种方法，深入分析问题本质，追根溯源.

这个过程中经历了拆式（留中间一项或留末尾一项）、添项（补齐偶数项），甚至可能引发奇、偶项分类讨论等，给了学生提出问题和分析问题的机会，利于形成基于数或形视角的多个方案，上述方案都体现了化归思想，核心方法还是为了配对，本质是将等差数列转化为常数列，相对应于图形，则是补形，转化为常见的矩形. 执教教师能以学生为主体主导课堂教学. 从以上开放式的探究活动中，回归到问题解决的优化，从数的运算角度考虑运算策略，带领学生体验数学思考历程，最终达到形散而神不散的教学效果，从而提出解决问题的一般方案，即倒序相加法. 学生的数学运算素养得到了很好的发展.

2. 等差数列的前n项和公式的理解和变形

规则的理解阶段是从多角度阐释、内化规则原理的过程.

（1）从“知三求一”到“知三求二”.

经历探索等差数列的前n项和公式的过程后，公式的得出已经是水到渠成，但本節课并未停止探究，而是回到特殊数列基本量的问题分析上来，既延续了等差数列通项公式的知识，也为后续等比数列的学习做好铺垫. 通过给出条件“ 已知a1，an，n”“已知a1，d，n”分别让学生自主推导等差数列的前n项和公式，既回顾了之前的“知三求一”，更突出“知三”的意义所在，并拓展到“知三求二”，其推导过程中隐含了前n项和与通项的关系，从而加深了学生对公式的理解.

（2）从代数形式到拓展理解.

等差数列的前n项和公式推导得出之后，为了寻求数学规则的多角度理解，本节课继续对公式的两种代数形式设计一连串的拓展性问题. 例如，“能否从几何角度找到公式的直观解释”“你能指出两个公式之间的关系吗”等. 强化公式的几何理解，突出公式的函数理解，体会数学的整体性，也使数学规则通过问题思考和形式转化的方式得到了内化.

三、本节课的“转化阶段”

这一阶段主要解决规则如何由第一阶段习得的陈述性形式转化为程序性形式，也就是解决“怎么办”的问题. 重点在于明确在一些典型情境中运用规则办事的程序和步骤.

“知三求二”，选择公式，优化解法，追求简约.

例2  求出图1、图2中各区域的总人数.

回归“情境”，解决实际问题.

通过练习使学生巩固对公式的理解和应用，体会从一般到特殊的过程.

以上例题和练习题甄选了典型题目，让学生明确了等差数列的前n项和公式运用的程序和步骤，同时也能回归到引入的情境，前后呼应，引发学生的共鸣. 不足之处是练习题没有引入变式习题，应该通过变式练习，提高学生的公式运用能力，帮助学生掌握使用数学规则解决问题的技能.

四、总结

本节课的教学过程围绕提升学生数学学科核心素养，在等差数列的前n项和公式的发现、证明、理解、运用中，将知识点教学转化为数学思维的训练和数学思想的渗透.

1. 独具匠心，经典问题创新意

引入情境以阅兵视频为背景，视频中队列的变化带来强烈的视觉冲击，激发了学生的民族自豪感. 基于情境从数学角度发现问题、提出问题，贯穿了整节课的探究活动过程，让等差数列的前n项和这个经典课题的设计和实施都具有了新的创意.

2. 问题引领，探究学习溯本源

教师截图提取特殊队列，设计问题串引领学生进行探究，用数学眼光进行观察，经历了队列到点阵的变化，进而提出课题进行自主探究. 在教学过程中，让学生体验了求和的各种路径，方法灵活多变，最终殊途同归，培养了学生的创新意识.

3. 数学育人，发展素养水到渠成

整节课是执教教师引导下的学生不断发现问题、提出问题、探寻方法、拟订方案、实施践行、评估成果、优化选择的过程，较好地落实了“四基”，提高了“四能”，发展了学生的数学学科核心素养. 数学育人潜移默化、水到渠成.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.