题目分析

徐勇

摘  要：在评讲例、习题时，我们不应仅满足于得到答案，或停留在纠错的层面，还应该根据题目特点进一步挖掘与探究，努力从做对走向探究，拓展学生思维的深度与广度，从而提升学生的探究意识和思维能力.

关键词：数学思维;数学探究;学习力

做数学题，学生常常满足于快速得出答案，这在限时考试环境中无可厚非，但在平时的学习中，我们对一些题目的解答不应仅满足于得到答案，或是停留在纠错的层面，可精选部分题目进行进一步的挖掘与探究.

数学探究是《普通高中数学课程标准（2017年版）》特别安排和提倡的一种学习形式，是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程. 通过数学探究能培养学生主动思考、敢于质疑、勇于创新的思维品质. 基于探究的数学课堂，会有广阔的思维空间，常现鲜活的思维火花.

在一次模拟考试中，有一道解析几何题学生得分较低，试卷提供的参考解答学生能看懂并理解，但若按参考答案评讲试题，似乎不能充分挖掘其中的价值. 这道题中的椭圆定点、定值问题是一个很适合进行数学探究的素材. 于是在實际教学中，笔者引导学生对这道椭圆综合题进行了深入探究.

师：总体来说，大家没解好此题的原因有二：一是“惧”于大的运算量，信心不足;二是“碍”于思路不清，没能打通条件到目标的思维通道.

二、调整视“序”得另解

师：以上参考解答中，点[M，N]是由直线[l]与椭圆相交得到的，我们调整点线形成顺序，想一想还可以将点[M，N]看成是怎样形成的.

师：这种解法虽然计算量很大，但是思路清晰，只用一个变量[k]来表示所用到的点，直接运用求根公式，想法简单直接，但需要敢于运算. 还能变换为其他的视角求解吗？

三、简化条件悟本质

师：在解法2和解法3中，既没有用到斜率[k，] 也没有用到[t，] 即直线[l]是冗余条件，将它去掉可能更简洁、处理起来更简单.

师：椭圆具有对称性，题中涉及两个焦点，也有平行关系，能否从椭圆的对称性角度对题目中的条件进行简化？

生5：因为平行关系，我想将线段[F1M]平移到与线段[F2N]共线，这样就不需要左焦点，问题变成常见的焦点弦问题.

师：利用对称性，减少一个焦点，条件变成过右焦点的一条直线与椭圆形成的两个点，问题就变成了典型的焦点弦问题，这样使用根与系数关系就比较顺畅，简单易操作，运算成本更低. 此时，问题可以简述为：过右焦点的直线与椭圆交于两点，这两点与椭圆右顶点连线的斜率乘积为定值. 为了进一步弄清问题的本质，试继续探究这个定值与椭圆的方程有什么关系，这个定值又该如何表示.

师：这样，我们就清楚了问题的来龙去脉. 椭圆中的定值与定点问题是个经典问题，我们能否对此问题进行逆向思考呢？

四、增加设问用信息

师：再回到原题，既然上述问题都可避开点[T，] 那么如何设问，才能切实地用上点[T.] 为了简化，不妨将椭圆标准方程直接给出，在保留原题目第（2）小题的基础上，在第（2）小题前再添加一道小题，将题中条件用足、用好.

涂荣豹教授提出“教会思考”，即教会学生提出问题，教会学生寻找方法，以及教会学生研究问题的“一般方法”. 在数学探究活动中学思考，有利于让学生学会如何想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 简而言之，数学思维宜在数学思想活动中学会，数学素养宜在数学探究活动中形成. 数学探究活动并非一定要在每节课中都进行，我们可以针对学情灵活地选取合适的素材进行适时探究.

参考文献：

[1]涂荣豹. 数学教学设计原理的构建：教学生学会思考[M]. 北京：科学出版社，2018.

[2]祁平. 基于探究的数学教学的哲学思索[J]. 数学通报，2014，53（8）：22-28.