让学生学会研究函数的一般方法

董志军

摘  要：函数是高中阶段的重要内容. 一些学生只是记住了学过的函数的图象和性质，对函数概念的理解不够深入，这就导致学生在研究陌生函数时无从下手. 结合具体实例，给出高中学习函数的三个阶段进行教学设计的方法，以期提高学生研究陌生函数的能力.

关键词：函数图象;函数性质;教学设计

函数是新课程的主线之一，对函数的研究是高中数学教学的重中之重. 本文从一道填空题切入，探讨在教学过程中培养学生研究陌生函数的方法.

很多学生不能准确解答此题，究其原因是面对一个陌生函数，学生无从下手. 如何解决这个问题呢？还得从函数的教学说起. 笔者整体考虑高中三年的函数教学，分为三个阶段，设计如下.

一、感受利用函数性质作图

在高中初学函数时，无论哪个版本的教材，都是先学习函数的定义和表示方法，然后学习函数的性质（如单调性、奇偶性、零点等）. 在实际教学中，笔者也是按照这样的教学安排授课，但是由于没有让学生充分体会学习函数性质的必要性，导致学生在遇到陌生函数时，不能灵活运用函数的性质作图. 为了改变这种现象，笔者将函数教学设计改进如下.

面对陌生的函数，学生刚开始可能没有思路，只能运用描点法作图. 但是在描点的过程中，学生慢慢感悟到了经验，对函数的性质也有了直观的认识.

对于函数①，学生在描点时发现，点的横坐标不能取负数，函数只在区间[0，+∞]上有图象，进而体会定义域对图象的影响. 继续分析，可得[fx≥0]，所以除了原点，其余的图象一定在第一象限，那么这部分图象该怎么画呢？在描点的基础上，学生总结出[y]随[x]的增大而增大，所以图象从左往右看是上升的.

对于函数②，学生在描点时发现，若点[2， 15]在图象上，那么点[-2， 15]一定也在图象上. 进而发现，若点[x0，y0]在图象上，则点[-x0，y0]一定也在图象上，所以函数的图象一定是关于[y]轴对称的. 然后学生就发现函数③④与函数②一样，函数图象都是关于[y]轴对称的.

对于函数⑤，受前面解决问题方法的启示，学生能够发现，若点[x0，y0]在图象上，则点[-x0，-y0]一定也在图象上，所以函数的图象一定是关于原点对称的. 然后学生就会发现函数⑥与函数⑤一样，图象都是关于原点对称的.

教师适时点评，像②③④这样图象关于[y]轴对称的函数叫做偶函数，像⑤⑥这样图象关于原点对称的函数叫做奇函数，稍后我们会学习. 如果函数具有這样的性质，那么我们只需重点研究[y]轴一侧的函数图象即可得到完整的函数图象.

经过这样的探究过程，使学生对函数的探究有了一定的感悟，为之后学习函数的性质（单调性、奇偶性、零点等）奠定了基础，对于研究函数是很有必要的. 同时，经过一段时间的训练，学生能够掌握陌生函数的研究方法，即从定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等方面入手来研究.

二、借助三角函数，学习利用周期性和对称性作图

正弦函数的教学安排一般是先学习正弦函数的定义，再利用单位圆内的正弦线作出图象，然后研究正弦函数的性质. 在实际教学中，笔者发现很多学生学习完正弦函数之后，常常不理解为什么正弦函数有多条对称轴和多个对称中心. 遇到一个陌生函数时，也不能正确判断函数是否具有对称性. 为此，笔者将正弦函数教学设计改进如下.

在作出正弦函数的图象后，学生肯定会发现图象有对称轴和对称中心. 如何证明呢？笔者在习题课上安排时间引导学生进行研究.

经过这样的探究过程，让学生慢慢体会到，遇到一个陌生函数，如何猜测这个函数是否有周期性和对称性，并学会证明自己的猜想.

三、借助超越函数，学会合理利用导数作图

经过前两个阶段的学习和训练，相信学生在探究这两个函数图象的时候，已经能顺利判断出每个函数的定义域、奇偶性和零点等性质. 但是在探究单调性和极值（最值）的时候，肯定会遇到困难. 教师适时引入导数，给学生展示由导数判断函数单调性的过程. 学生会惊讶于这么简洁的过程，从而激发学生进一步学习导数的兴趣，也使学生能够实实在在地感受到导数的作用. 通过后续学习，学生还会慢慢体会到：面对一个陌生函数，不一定要马上求导，可以先研究这个函数的初等性质，如果有需要，再求导.

经过以上三个阶段的学习，再辅之以一定的练习，相信学生再遇到陌生函数时，会有信心、有方法去研究. 更重要的是，学生会逐渐掌握研究陌生函数的一般方法.

对本文开头引用的题目，分析如下.

这样，选出此题的答案②③，就很容易了.

根据学情不断进行教学改进与优化，必将换来学生分析问题和解决问题能力的提高. 教师通过教学设计有意识地引导学生，使学生不仅知其然，还能知其所以然，学生分析问题能力的提升也会水到渠成.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.