一节课，一道题，一次高三数学试卷讲评调研

祝霞

[摘  要] 试卷讲评课是高三数学后期教学的一种重要课型，教師需要遵循其备课四原则，设计出行之有效的教学方式和策略，打造高效的教学课堂，实现提升学生综合运用知识的能力，以及促进学生数学核心素养发展的目的.

[关键词] 试卷讲评课;高效课堂;师生互动;核心素养

测试是检测学生知识掌握程度的一种非常有效的途径.通过分析学生的答卷情况，可以及时了解到学生目前的学习状况以及已有的学习能力，锁定学生的问题所在，测试以后要针对学生暴露出的问题进行及时讲评. 试卷讲评课具有目标定向的激励功能、概念纠错的诊断功能、方法提炼的示范功能和知识拓展的补偿功能[1]. 通过讲评试卷能够帮助学生弥补弱点，突破难点，熟练技能，拓宽思路，进一步提升综合运用知识的能力，促进学生数学核心素养的全面发展.一般情形下，教师准备好一节试卷讲评课需要遵循其备课的四原则 ——及时性原则、针对性原则、试卷量化分析原则和延伸拓展性原则[2].

在高三数学复习的最后阶段，试卷讲评课是教学的常态课，是尤为重要的一种课型. 2020年4月30日，笔者本人非常荣幸被市教科院调研一节试卷讲评课，下面结合这一节课的课前分析、课堂实况及课后研讨反思，谈谈自己的体会.

[?]课前分析

认真仔细批阅完试卷后，笔者全面细致分析了答卷的情况，发现问题主要集中于三道题目：首先是填空题的第14题，涉及的内容是向量、解三角形、函数的相关知识的融合;其次是解答题的第19题，考查函数的零点;最后是解答题的第20题，考查新定义数列.针对向量与三角以及函数的结合是江苏高考数学填空题的热点内容，常出现在第12、13、14题的位置，并且近几年江苏高考数学试卷填空题的第13、14题的难度略呈下降趋势，结合我们班级学生的实际情况，笔者决定在讲评课上对第14题进行详细地探究.

[?]课堂实况

试卷的第14题：在△ABC中，∠A=，点D满足=，且对任意x∈R，

x+

≥

-

恒成立，则cos∠ABC=________.

师：大家回顾一下考试时做这一题的思路是什么，自己又是在哪一个环节卡住了呢.

生1：我的想法是首先将不等式中的两边进行平方.

师：那你得到的不等式是什么？

生1：我在式子运算中遇到了困难，没有做出正确的答案.

师：有没有同学跟他是一样的想法？能够解决一下他的难点吗？

生2：选择和为基底，将不等式中的换成，然后平方进行运算.

师生共同运算化简到bx2+cx+c-b≥0.

师：你是如何处理不等式对任意x∈R恒成立的？

生2：利用Δ=c2-4b

c-b

≤0.

师生化简得到

c-b

≤0，即c=b.

师：得到两条边b，c的等量关系，你准备如何求解cos∠ABC？

生2：利用∠A=，c=b，对∠A使用余弦定理先得到a=b，然后可利用余弦定理求出cos∠ABC等于.

师：很好，我们大家一起来梳理一下做题的几个步骤：第一步，选定基底，利用数量积（平方）将向量式转化成数量式;第二步，利用Δ处理关于x的二次不等式在R上恒成立;第三步，借助余弦定理求出cos∠ABC.那么我想问问大家除了选择和作为基底来解决这道题，还有没有其他的途径呢？

生3：坐标化，如图1，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴建系，可设B（m，0），C（n，n），则D

，

，代入不等式

（nx，nx）+（m，0）

≥

，

-（m，0）

，化简得4n2x2+2mnx-

-

≥0. 因为不等式对任意x∈R恒成立，则Δ=（2mn）2+16n2

-

≤0，即

-m

≤0，即=m.

师：得到m，n的关系后，你打算利用什么方法求∠ABC的余弦值？

生3：用n表示△ABC各边的长度，然后用余弦定理求cos∠ABC.

师：很好，这是一种正确的途径，你既然都算出了各个点的坐标，那可不可以借助别的工具求∠ABC的余弦值？

生4：想到了数量积公式cos∠ABC=.

师：这也是很好的一种途径，我们求夹角的余弦值，可借助余弦定理，也可借助向量的数量积. 对于向量式的转化我们可以选择用基底法，也可以直接坐标化，将向量式向数量式转化. 我们再观察不等式

x+

≥

-

，左右两边涉及的是向量和的模、向量差的模，你还可以从什么角度去处理？

生5：借助向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法则. 如图2，设x+=，则

≥

，所以⊥. 设CD=t，由题可知AD=2t，AC=3t，BD=2t，BC=t，在△ABC中利用余弦定理求cos∠ABC.

师：非常好，从形的角度切入，大大地简化了我们的计算过程. 对于向量式我们可以选择的有形和数两个方向，我们选择形的方向会快捷很多.下面我们一起来看看几道变式题，你会选择什么途径去解决问题？

变式1：在△ABC中，若对任意t∈R，

-t

≥

-

恒成立，则∠ACB=________.

生5：从形的角度，如图3，设-t=，

≥

，⊥，∠ACB=.

师：很好，结合具體的问题选择适合的方法，能达到事半功倍的效果，请看下一道变式.

变式2：如图4，在△ABC中，AB=，AC=，=，=，M，N分别为DE，BC的中点，若MN⊥BC，则cosA=________.

生6：基底法，选择和为基底， =-=（+）-（+）=+. 由MN⊥BC，=-，则

+

·（-）=0，故cosA=.

师：在我们无法从形的角度切入时，抓住基底解决向量的相关问题. 请大家再看一道变式.

变式3：在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m-2）·+m（·）·（·）对任何实数a，b，c，d∈R都成立，则实数m的最大值是_______.

生7：代入坐标化简得a2+c2+b2+d2≥mac+mbd+mbc.

师：后面如何处理四元变量恒成立问题呢？

有学生说：一个一个地考虑.

师：可以，关于每个变量都是二次，那如何考虑？

有学生说：配方.

师：很好，大家观察不等式的右侧，变量a，d均只出现在一个整体中，我们尝试对哪些变量先配方呢？

学生：对a，d两个变量同时配方.

师生一起运算出

a-

+

d-

+

（b2+c2）-mbc≥0，得到

b2-mbc+

c2≥0.

师：下面还剩两个变量b，c，如何处理呢？

学生：一个看成变量，一个看成参数，利用Δ处理.

师：这一定是二次的不等式吗？

学生：分类讨论.

接着师生共同解决该问题（m的最大值是-1）.

师：遇到已经坐标化的向量问题，我们可以直接借助向量的坐标运算，转化为纯代数问题，对于多元变量恒成立问题，我们通过观察式子的结构特征，可以采用变换主元的思想一步一步地突破难点.

[?]课后研讨

关于如何打造高效的试卷讲评课，结合本节课，市教研员及听课教师达成了以下几个方面的共识：其一，虽然是试卷讲评课，但依然以学生为主体，启发并引导学生积极主动思考;其二，针对我们学校的文科普通班的实际情况以及近几年江苏高考数学试卷情况，选择第14题涉及的向量、三角以及函数进行突破是合理的;其三，在讲评过程中，我们提倡一题多解，发散学生的思维，还要比较分析方法的差异，对方法进行反思，促使学生遇到问题时能够合理地选择方法，同时要注重“通性通法”的渗透，多题一解也是讲评课中一个不错的选择;其四，针对学生容易出现错误或者疑难知识点，我们可以通过变式题来强化学生对知识点的理解，促进学生综合能力的提升;其五，对于填空题而言，我们还可以通过特殊情况或者赋值法以最快的速度得到正确的答案.

[?]课后反思

（1）试卷讲评课中，学生会想到一些出乎教师意料的想法，需要教师进行正确的引导，对于错误的想法要及时进行修正. 以学生的想法为本，进行探索与尝试，发散学生的思维[3].

（2）试卷讲评课中，应该注意一题多解与多题一解的结合，注重变式与归纳的结合，增强学生综合运用知识的能力[4].

（3）试卷讲评课是帮助学生进一步连通知识网络框架，让学生对自己的薄弱知识、模棱两可的知识重新审视分析的过程，教师不可操之过急，要帮学生搭建好适度的“脚手架”，一步步地引导学生深度学习，发展学生的高阶数学思维.

总而言之，高三数学试卷讲评课需要以生为本，多维对话，在互动交流中寻找突破;守住基本，收放相宜，在发散与收敛中融会贯通.

参考文献：

[1]  张国斌. 聚焦核心素养的高三数学试卷讲评课的教学设计[J]. 数理化解题研究，2019（21）.

[2]  孙将. 浅析高三数学试卷讲评课的六个环节[J]. 中学课程辅导（教师教育），2019（01）.

[3]  潘华东. 追求高效课堂 提升数学素养——一堂高三数学试卷讲评课的启示[J]. 中学数学教学参考，2019（02）.

[4]  苟知学. 高三数学试卷讲评课教学模式的实践与研究[J]. 中学数学教学参考，2018（11）.