赋s范数的Orlicz函数空间的单调性

王俊明 佟秋谊

摘 要：单调性是Banach空间几何学的重要内容。研究赋s-范数Orlicz函数空间的单调性，并给出s-范数的一些基本性质。在此基础上，得到了赋s-范数Orlicz空间严格单调性和局部单调性的判据。

关键词：s-凸函数;Orlicz空间;单调性

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.021

中图分类号： O177.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）03-0140-07

Monotonicity of Orlicz Function Space-equipped with S-norm

WANG Jun-ming， TONG Qiu-yi

（Department of Applied Mathematics， Harbin University of ScienceAnd Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Monotonicity is important to Banach space geometry.In this paper， the monotonicity of Orlicz spaces equipped with the s-norm are dicussed. First， we gave some basic properties of the spaces. Using these properties， we obtained the criteria for strict monotonicity and upper local uniformly monotonicity in Orlicz spaces equipped with s-norm.

Keywords：s-convex function; Orlicz spaces; monotonicity

0 引 言

众所周知，Banach空间的单调性是Banach空间[1]几何理论重要内容之一，而Orlicz空间作为一类特殊的Banach空间，1932年波兰著名数学家W.Orlicz[2]給出了Orlicz空间[3]LΦ的定义并引入了Orlicz范数[4]。自此之后，经过越来越多的人对其研究，Orlicz空间理论[2-7]得到了长足的发展。自1999年，刘延明等[5]给出了Orlicz函数空间的一致单调性与严格单调性的判据。人们在此之后又对单调性进行深入研究。例如：2004年，H.Hudzik、刘新波等[8]讨论了赋Luxemburg范数的Musielak-Orlicz函数空间的单调点。2005年，崔云安、H.Hudzik等[9]给出了赋Amemiya范数的Musielak-Orlicz空间具有严格单调性、一致单调性、上（下）局部一致单调性的判据。与此同时得到了许多重要的结果。近年来，Orlicz空间的单调性在各个领域的应用越来越广泛。迄今为止，关于赋Orlicz范数和Luxemburg范数[2，5]以及p-Amemiya范数[10-11]的Orlicz空间性质的研究已经相对成熟。本文研究具有比上述三种范数有着更广泛意义的新范数s-范数的Orlicz函数空间的单调性问题。主要给出其单调性判别准则，并据此得到赋s-范数Orlicz函数空间的严格单调性等问题。

X是线性空间，设（G，Σ，μ）是有限、无原子的测度有限的测度空间。L0（E）表示E上的可测实函数全体。

1 预备知识

定义1 称Φ：R→R+=[0，+∞）为s凸函数s∈（0，1]是指：对于λ∈[0，1]u，v∈R，有

Φ（λu+（1-λ）v）≤λsΦ（u）+（1-λ）sΦ（v）。

当s=1时，s-凸函数就是通常意义下的凸函数。

定义2 设L0表示定义在E上的可测实函数全体，定义s-凸模IΦ（·）：L0（E）→[0，+∞]如下：

IΦ（u）=∫EΦ（u（t））dt，u∈L0（E）。

记

LΦ={u∈L0（E）：λ>0，IΦ（λu）<∞}

及

EΦ={u∈L0（E）：λ>0，IΦ（λu）<∞}

则LΦ或EΦ是关于Luxemburg范数

‖u‖s（Φ）=infk>0;IΦuks≤1，s∈（0，1]

构成的s-范数Banach空间，称为赋s-范数的Orlicz空间。

记为（LΦ，‖·‖sΦ）。

定义3 设（X，‖·‖）为Banach函数空间。若|f（x）|≤|g（x）|，且存在一个eE满足：μ（e）>0，|f（x）|<|g（x）|，x∈e，有‖f‖<‖g‖。称（X，‖·‖）是严格单调的。

定义4 称Banach格X具有下局部一致单调性，如果对任意的x∈X+，‖x‖=1及任意ε>0，存在δ（x，ε）>0，使得对于任意的y∈X+，‖y‖≥ε，有

‖x-y‖<1-δ（x，ε）

有关赋Orlicz范数、Luxemburg范数的Orlicz空间的各种单调性的研究结果请参看文[12-20]。

2 主要结果及证明

类似于Orlicz空间的定义。定义s-Orlicz范数如下。

定理1 设所研究的新范数的定义为

‖u‖sΦ=inf1ks（1+IΦ（ku）），s∈（0，1]

下面我们来证它是一个s-范数。

证明：首先证明新定义的s-范数满足范数的条件。

1）正定性：

因为

‖u‖sΦ=0inf1ks（1+IΦ（ku））=0

从而存在kn∈R+满足

1ksn（1+IΦ（ku））→0

因为（1+IΦ（u））≠0，于是有1kn→0。从而kn→∞。假设u≠0，则存在一个a>0满足m（{t∈E：|u（t）|≥a}）=δ>0。因为Φ（u）是一个s-凸函数，所以我们对于任意的α∈（0，1），有

Φ（αu）=Φ（αu+（1-α）0）

≤αsΦ（u）+（1-α）sΦ（0）=αsΦ（u）。

从而对于任意0<α1<α2，我们有

Φ（α1）=Φα1α2α2≤α1α2sΦ（α2）

则

Φ（α1）αs1≤Φ（α2）αs2

即F（u）=Φ（u）us关于u是单调递增函数。由单调有界原理知：

1ksn∫EΦ（ku（t））dt≥1ksn∫{t∈E：u（t）≥a}Φ（ku（t））dt≥

Φ（ka）ksnm（{t∈E：|u（t）|≥a}）≥

Φ（ka）ksnδ=limu→∞Φ（u）us>0

与inf1ksn（1+IΦ（ku））=0矛盾。即此范数满足正定性。

2）s-齊次性：对于任意实数a∈R，

‖au‖sΦ=inf1ks（1+IΦ（kau））=

inf|a|s|a|sks（1+IΦ（kau））=

|a|sinf1|a|sks（1+IΦ（kau））=

|a|s‖u‖sΦ

易知此范数满足s-齐次性。

3）三角不等式性：对于任意u，v∈LΦ，由‖u‖sΦ，‖v‖sΦ的定义：ε>0，k>0，h>0

‖u‖sΦ+ε≥1ks（1+IΦ（ku））

‖v‖sΦ+ε≥1hs（1+IΦ（kv））

则

‖u+v‖sΦ≤（k+h）skshs（1+IΦ（khk+h（u+v）））=

（k+h）skshs（1+IΦ（hk+hku+kk+hhv））≤

（k+h）skshs（1+hs（k+h）sIΦ（ku）+ks（k+h）sIΦ（hv））=

1ks（1+IΦ（ku））+1hs（1+IΦ（hv））≤

‖u‖sΦ+ε+‖v‖sΦ+ε=‖u‖sΦ+‖v‖sΦ+2ε

由ε的任意性知‖u+v‖sΦ≤‖u‖sΦ+‖v‖sΦ。

因为新定义的范数满足范数成立的3个条件，于是s-范数是范数。

下面证明{LΦ，‖·‖sΦ}是完备的。

任取{LΦ，‖·‖sΦ}的一个Cauchy列{xn}∞n=1。我们首先证明{xn}∞n=1依侧度收敛的Cauchy列。

任取kn，m>0满足：

1ksn，m（1+IΦ（kn，m（xn-xm）））-1nm≤‖xn-xm‖sΦ

‖xn-xm‖sΦ≤1ksn，m（1+IΦ（kn，m（xn-xm）））

则

ksn，m→+∞，limn，m→∞IΦ（kn，m（xn-xm））ksn，m=0。

若{xn}不是依测度收敛的Cauchy列，则存在δ>0，ε>0满足：

m（{t∈E：|xn（t）-xm（t）|≥ε}）≥δ（n≠m）

从而

limn，m→∞∫EΦ（kn，m（xn（t）-xm（t）））dtksn，m≥

limn→∞m→∞∫{t∈E：xn（t）-xm（t）≥ε}Φ（kn，m（xn（t）-xm（t）））dtksn，m≥

limn，m→∞Φ（kn，mε）δksn，m=εδlimu→∞Φ（u）us>0

产生矛盾。

由Riesz定理，存在一个可测函数x（t）满足xn（t）依侧度收敛于x（t）。

下面我们证明x（t）∈LΦ。

利用{xn}+∞n=1是Cauchy列，则对于任意的可测子集e，我们有{xnχe}+∞n=1也是Cauchy列。从{xn}+∞n=1有等度连续积分。故{Φ（xn（t））}+∞n=1也具有等度连续积分。又因为{xn}为Cauchy列，故存在M>0，满足‖xn‖sΦ≤M，因此显然有‖xn‖s（Φ）≤‖xn‖sΦ，故‖xn‖s（Φ）≤M。从而IΦxnMs≤1。

由Vifali定理知

limn→∞∫GΦxn（t）Msdt=∫GΦx（t）Msdt

即有

∫GΦx（t）Msdt≤1

从而x∈LΦ。所以（LΦ，‖·‖sΦ）是一个完备的s-范数空间。

定理2 赋s-范数的Orlicz函数空间的严格单调性。

证明：为了方便不妨设0≤x（t）≤y（t）。且存在eE，m（e）>0满足x（t）

下面证明‖x‖sΦ<‖y‖sΦ。不妨设‖x‖sΦ=1，取k>0满足：

‖y‖sΦ=1ks（1+IΦ（ky））=1ks（1+∫GΦ（ky（t））dt）=

1ks（1+∫G/eΦ（ky（t））dt+∫eΦ（ky（t））dt）>

1ks（1+∫G/eΦ（kx（t））dt+∫eΦ（kx（t））dt）≥

‖x‖sΦ=1

若k（y）=，则‖y‖sΦ=A∫E|y（t）|dt。事实上k（y）=表明：

‖y‖sΦ=limk→∞1ks（1+IΦ（ky））=

limk→∞∫EΦ（ky（t））ksdt=

limk→∞∫supp（x）Φ（ky（t））ks|y（t）||y（t）|dt=

A∫supp（x）|y（t）|dt=A∫E|y（t）|dt

在k（x）=的情形下。若k（y）=，则：

‖x‖sΦ=A∫E|x（t）|dt

若k（y）≠，则存在一个k>0满足：

‖y‖sΦ=1ks（1+IΦ（ky））=

1ks（1+∫EΦ（ky（t））dt）=

1ks（1+∫E|eΦ（ky（t））dt+∫eΦ（ky（t））dt） ≥

‖x‖sΦ

证毕。

定理3 1）IΦx‖x‖1s（Φ）≤1（x≠θ）;

2）IΦx‖x‖1s（Φ）=1，对一切x≠θ成立的充要条件是Φ∈△2。

证明：1）由‖·‖1s（Φ）定义，存在an↓‖x‖1s（Φ）且IΦxan≤1。令n→∞，由Levy定理，即得

IΦx‖x‖1s（Φ）≤1

2）因IΦxk1s作为k>0的函数在其定义域内连续，而当Φ∈△2时LΦ=EΦ是线性集，故此时IΦxk1s的定义域为（0，∞）。

由连续函数介值定理，存在k0>0，IΦxk1s0=1，由Luxemburg定义知k0=‖x‖Φ，s。从而IΦx‖x‖1s（Φ）<1是不可能的。反之若Φ△2，存在uk↑∞使得Φ1+1ks·uk>2kΦ（uk）（k=1，2…），不妨设Φ（u1）≥1mesG0，选G的一个互不相交的子集列{Gk}使得

Φ（uk）mesGk=12k（k=1，2，…）

定义

xn（t）=∑∞k=n+1ukχGk（t）（n=0，1，2…）

其中χE（t）表示集合E的特征函数，则n≥0

IΦ（xn）=∫GΦ（xn（t））dt=

∑∞K=N+1Φ（uk）mesGk=12N

但对任何l>1，取n0充分大使1+1n0≤l，则n≥n0时：

IΦ（lxn）=∑∞K=n0+1Φ（luk）mesGk>

∑∞k=n0+1Φ1+1kukmesGk>

∑∞k=n0+12kΦ（uk）mesGk=

∑∞k=n0+11=∞

故‖xn‖s（Φ）≥1l。由l的任意性‖xn‖s（Φ）≥1。又IΦ（xn）≤1知‖xn‖s（Φ）≤1。从而‖xn‖s（Φ）=1但IΦ（xn）→0。这说明对任何n∈N，xn∈LΦ＼EΦ。则存在xn（t）∈EΦ，IΦ（xn）=12n，但对任何IΦ（lxn）=∞（λ>1），由‖·‖s（Φ）的定义可知‖xn‖s（Φ）=1，矛盾。

引理1 若Φ∈△2，则对任何L>0，ε>0，存在δ>0，当IΦ（u）≤L，IΦ（v）≤δ时，就有

|IΦ（u+v）-IΦ（u）|<ε

证明：

IΦ（u+v）=IΦ（（1-β）u+βu+v）=

IΦ（1-β）u+βu+vβ≤

（1-β）sIΦ（u）+βsIΦu+vβ≤

IΦ（u）+βsIΦu+vβ=

IΦ（u）+βsIΦ2u+2vβ2≤

IΦ（u）+β2IΦ（2u）+IΦ2vβ2s=

IΦ（u）+β2sIΦ（2u）+IΦ2vβ≤

IΦ（u）+β2s∫GΦ（2u（t））dt+∫GΦ2vβdt≤

IΦ（u）+β2s∫GΦ（2u0）dt+

β2sk∫GΦ（u（t））dt+β2s∫GΦ2vβdt

記 L0=Φ（2u0）m（G）+kL≤

IΦ（u）+β2sL0+∫GΦ2v（t）βdt

取β0充分小使得：

β02sL0<ε2，β02≤1

再由Φ∈△2，v0>0，k1>0满足：

Φ2β0v0m（G）<ε4

及

Φ2β0v≤k1Φ（v），（|v|≥v0）≤

IΦ（u）+ε2+∫GΦ2β0v（t）dt≤

IΦ（u）+ε2+∫{t∈G：|v（t）|≤v0}Φ2β0v（t）dt+

∫{t∈G：|v（t）>v0|}Φ2β0v（t）dt≤

IΦ（u）+ε2+Φ2β0v0m（G）+k1∫GΦ（v（t））dt

取δ=ε4k1，则

≤IΦ（u）+ε2+ε4+ε4=IΦ（u）+ε证毕。

定理4 假设Φ∈△2.若IΦ（xn）→IΦ（x0）且xn（t）ux0（t）（依测度收敛）（n→∞），那么‖xn-x0‖sΦ→0（n→∞）。

证明：若x0=θ，则定理自真。

今设x0≠θ，由题设，{IΦ（xn）}有界。设L为其上界。由引理1可知存在δ>0，不妨认为δ<ε4，使得IΦ（x）≤L，IΦ（y）≤δ蕴涵

|IΦ（x+y）-IΦ（x）|<ε4

由积分的绝对连续性，存在δ1>0，使G0G，mesG0<δ1时∫G0Φ（x0（t））dt<δ。因xn（t）ux0（t）。由叶果洛夫定理，所以存在n1及E0G，mesE0<δ1，使n>n1。且

∫G＼E0Φ（xn（t）-x0（t））dt<δ

注意此时∫E0Φ（x0（t））dt<δ<ε4成立。我们有

∫G＼E0Φ（x0（t））dt=IΦ（x0）-

∫E0Φ（x0（t））dt>IΦ（x0）-ε4

当n≥n1时，由引理1得

∫G＼E0Φ（xn（t））dt=∫G＼E0Φ（[xn（t）-x0（t）]+x0（t））dt>

∫G＼E0Φ（xn（t））dt-ε4>IΦ（x0）-ε2

因IΦ（xn）→IΦ（x0）存在n0≥n1使n≥n0时

∫E0Φ（xn（t））dt=IΦ（xn）-∫G＼E0Φ（xn（t））dt<ε2

顾及∫E0Φ（x0（t））dt<δ，n≥n0时

∫GΦ（xn（t）-x0（t））dt≤

∫G＼E0Φ（xn（t）-x0（t））dt+

∫EnΦ（|xn（t）|+|x0（t）|）dt<ε4+

∫E0Φ（xn（t））dt+ε4<ε

这表明IΦ（xn-x0）→0。再由Φ∈△2得‖xn-x0‖sΦ→0。证毕。

引理2 若Φ是s-凸函数，则Φ（u）us是单调递增函数。

证明：对于任意的0

Φ（u1）=Φu2u1·u2≤u1u2sΦ（u2）

Φ（u1）us1≤Φ（u2）us2

下面我们来讨论s-范数计算公式：

情况1：limu→∞Φ（u2）us=+∞

则对于x≠0，k>0，满足：

‖x‖Φ，s=1ks（1+IΦ（kx））

证明：记F（k）=1ks（1+IΦ（kx）），由于Φ是s-凸函数，故F（k）在（0，θ（x））内是连续函数。

记

θ（x）=infλ>0：IΦxλ<+∞，

limk→0+0F（k）=+∞。

下面分两个情形讨论：

①limk→θ（x）-0IΦ（kx）=+∞

此时有limk→θ（x）-0F（k）=+∞，由连续函数的最小值定理k0∈（0，θ（x））满足：

‖x‖sΦ=F（k0）

②limk→θ（x）-0IΦ（kx）<∞，此时有

limk→θ（x）-0F（k）=1θ（x）（1+limk→θ（x）-0IΦ（θ（x）））从而F（k）在（0，θ（x）]上連续。

同样利用连续函数的最小值定理k0∈（0，θ（x）]，满足‖x‖sΦ=F（k0）。

由连续函数的最小值定理k0∈（0，θ（x）），满足：

F（k0）=min{F（k）：k∈（0，θ（x））}=

‖x‖Φ，s

情况2：若limk→+∞Φ（u）us=A<+∞则Φ∈△2。

证明：因为Φ（u）us↑A，A2<Φ（u）us≤A，u0>0，u≥u0，

A2us≤Φ（u）≤Aus

Φ（2u）≤A（2u）s=2sAus≤

2sAΦ（u）A2=2s+1Φ（u）。

若：

k（x）=，k（x）=k>0：1ks（1+IΦ（kx））=

‖x‖Φ，s则：

‖x‖Φ，s=limk→∞∫GIΦ（kx（t））ksdt=

limk→∞∫GΦ（kx（t））ksdt=

limk→∞∫Supp（x）Φ（kx（t））ks|x（t）|s|x（t）|sdt

由Lebesgue控制收敛定理

=limk→∞∫Supp（x）A|x（t）|sdt=

A∫G|x（t）|sdt

定理5 L+Φ上局部一致单调的充分必要条件是Φ∈△2。

证明：若Φ△2。由定理3（2）存在一个元素x∈LΦ，s，满足IΦ（x）=1，IΦ（λx）=+∞（λ>1）。

于是IΦ（xn）→0 ，其中：

xn=xχGn，Gn={t∈G：x（t）≥n}

及

IΦ（λxn）=+∞（λ>1）

从而

‖xn‖sΦ≤（1+IΦ（xn））→1

且

1=‖xn‖s（Φ）≤‖xn‖sΦ

即

limn→∞‖xn‖sΦ=1

又0≤xn≤x，‖x-xn‖sΦ≥‖x-xn‖s（Φ）=1

与LΦ是上局部一致单调矛盾。

设0≤xn≤x，limn→∞‖xn‖sΦ=‖x‖sΦ。我们将证明

limn→∞‖xn-x‖sΦ=0

为了方便，不妨设‖x‖sΦ=1。取kn>0，k>0满足：

‖xn‖sΦ=1ksn（1+IΦ（knxn））

‖x‖sΦ=1ks（1+IΦ（kx））

2←limn→∞2‖x‖sΦ=

limn→∞‖xn‖sΦ+‖x‖sΦ≥

limn→∞‖xn+x‖sΦ≥

limn→∞2‖xn‖sΦ=2

故limn→∞‖xn+x‖sΦ=2。

①接下来证明kxn-kxu0（依测度收敛）

由

1←‖x‖sΦ≤1ks（1+IΦ（kxn））≤

1ks（1+IΦ（kx））=1

知

limn→∞1ks（1+IΦ（kxn））=1。

假设kxn-kx不依测度收敛于0。则存在ε0>0，δ0>0，不失一般性，不妨设对任意的自然数满足：

m（{t∈G：kx（t）-kxn（t）≥ε0}）≥δ0（n=1，2，…）

从而

1←limn→∞1ks（1+IΦ（kxn））=

limn→∞1ks1+∫{t∈G：kx（t）-kxn（t）≥ε0}=G0Φ（kxn（t））dt+

∫{t∈G：kx（t）-kxn（t）<ε0}Φ（kxn（t））dt≤

limn→∞1ks1+∫G0Φ（kx（t）-ε0）dt+limn→∞1ks∫G＼G0Φ（kx（t））dt<

1ks（1+∫GΦ（kx（t））dt）=1

矛盾。

②IΦ（k（xn））→IΦ（kx）。

由于

limn→∞IΦ（kxn）=ks-1

及

1=‖x‖s（Φ）=1ks（1+IΦ（kx））

知

limn→∞IΦ（kxn）=IΦ（kx）

由定理4知‖kxn-kx‖s（Φ）→0即‖xn-x‖s（Φ）→0。

證毕。

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（编辑：温泽宇）