新集合概念的应用与学生创新思维的培养

郑修才， 黄宗媛， 吴 臻

(山东大学 数学学院，济南250100)

1 引 言

普通集合(有限普通集合，无限普通集合)及其运算是大学数学课程中的重要内容，无论是数学专业还是工科类专业学生，在数学基础课程的学习中都会遇到.不仅如此，集合这一概念在计算数学、运筹学等其他数学分支中也占据着十分重要地位，因此对集合概念的理解与应用成为基础数学教学中的重要环节.

给定一个有限普通元素集合X={x1,x2，…,xn}，在X内潜藏着以下特征：Ⅰ集合X表示的概念内涵与外延清晰(表示非此即彼概念)；Ⅱ集合X是精确的；Ⅲ 集合X是静态的，不允许X内的元素从X内迁移到X外，也不允许X外的元素进入到X内.特征Ⅰ-Ⅲ刻画了有限普通元素集合X的本质.

随着应用科学与技术的进步，不断涌现的新问题或研究领域，常常需要用数学语言给出刻画与描述.对于集合(普通集合)而言，在实际应用中往往会遇到一些问题，例如：

(i)A={a1,a1,…,an}是“老年人”构成的集合，ai今年74岁是“老年人”，aj(i≠j)今年70岁，是不是“老年人”？用普通集合概念无法给出确切的答案，理由是：集合A表示的概念是内涵清楚，外延不清楚(表示亦此亦彼概念)；

(ii) 以等价类[x]作为元素构成集合B，B的边界不规则，用普通集合概念精确表达B有困难；

(iii) 集合C中的元素xi在一定条件下从C内迁移到C外，C外的元素xj在一定条件下从C外迁移到C内，用普通集合的静态性不能确切表达C.

问题(i)-(iii)在信息科学，信息工程的应用研究等领域及大数据分析中经常遇到，对这些问题的研究与认识一直困扰着相关使用者，也迫使人们寻找新的集合概念给予刻画和表达.

1965年，美国学者L.A.Zadeh教授提出模糊集合[1]的概念并给出模糊集合的结构与特征，为研究一类内涵清楚而外延不清楚的问题提供了数学理论支持.目前，模糊集合已被广泛地应用于模糊控制、模糊决策与模糊识别等众多领域.1982年，波兰人Z.Pawlak提出粗集合[2]的概念并给出粗集合的结构，用下近似R-(X)与上近似R-(X)共同近似表达边界不规则的普通集合X，为研究一类近似问题提供了方便.2008年史开泉教授提出P-集合[3，4]的概念并给出其结构，为研究一类动态问题提供了新的思路.模糊集合、粗集合与P-集合都是由普通集合改进得到的，在一定条件下，它们可以被还原成普通集合.

本文作者将这些新集合概念渗透到本科生、硕士研究生的基础数学教学中，实践证明应用问题研究与新集合概念生成对学生的创新思维培养，研究能力提升效果明显.

2 有限普通集合特征与新集合概念生成

给定有限普通元素集合X={x1,x2,…,xn}⊂U,X具有三个特征：

(i)X表示的概念边界确定(或概念的内涵外延清楚)，元素x与X的关系满足特征函数：

图1 集合X的特征函数图像

(ii)X是精确的.X内有5个元素xi，一个不能多，一个也不能少；

(iii)X是静态的.X内有5个元素xi，不允许5个元素xi中任何一个离开X，也不允许X之外的任何一个元素xj进入X内.

特征(i)-(iii)潜藏在现代数学与工程技术领域具有广泛应用的有限普通集合X内，在现行教材中并没有给出讨论.

2.1 用“边界不确定”代替“边界确定”与模糊集合生成

一个事实：xi今年78岁，定义xi是一个“老年人”.人们自然要问xj今年72岁，xk今年77岁，xj，xk算不算“老年人”？显然“老年人”构成的集合A的边界是不确定的(模糊性的)，不能说“xi是老年人”“xj不是老年人”，或者不能简单的用“非此即彼”回答这个事实，只能用xi，xj，xk关于A的“老的程度”回答，更不能绝对的用“0”或绝对的用“1”回答.这类事实在信息(数据)识别，目标辨识与智能系统中经常出现，而用有限普通集合的概念刻画和表达却遇到困难.L.A.Zadeh在[1]中提出了模糊集合(Fuzzy set)概念，定义映射

图2 元素xi与A的关系

模糊集合A的一般形式是

2.2 用“近似性”代替“精确性”与粗集合生成

图3，4给出两个直观表示.

图3 元素x1,x2,…,x8构成的有限普通元素集合 图4 元素x1,x2,…,x8构成的新集合

令X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，图3中集合X的边界是规则的，用粗实线表示.图4中集合X的边界(细实线表示)是不规则的,R-(X)是X的下近似，R-(X)是X的上近似.图中每一个小方块是R-等价类，R是X上的等价关系.比较图3与图4容易得到：

(i) 任意有限普通元素集合X={x1,x2,…,xn}都能用图3的方法给出直观表示，X的边界是精确的；

(ii) 任意一个边界不规则的集合X无法用有限普通元素集合的方法表示，只能用X的下近似R-(X)和X的上近似R-(X)共同近似的表示.这种方法与积分学中曲边梯形面积的逼近思想类似，但利用图3给出图4的表示在理解上遇到了困难，1982年 Z.Pawlak在文献[2]中提出了粗集(Rough set)概念.

给定有限普通集合X，R是X上的等价关系，[x]是R-等价类，X的R-粗集的形式

R-(X)=∪[x]={x|x∈U,[x]⊆X}，

R-(X)=∪[x]={x|x∈U,[x]∩X≠∅}，

BnR(X)=R-(X)-R-(X)

是X的R-边界，由R-(X)与R-(X)构成的集合对(R-(X)，R-(X))称作X的R-粗集.

2.3 用“动态性”代替“静态性”与P-集合生成(P=Packet)

首先注意到集合的“动态性”特征存在的客观事实.例如：设X={x1,x2,…,xn}是准备乘坐某列火车回家过春节的旅客构成的集合，因为某些原因，X内的一些旅客不能按时乘坐本次列车，集合X变成

另有一些旅客因未能买到本次列车的车票，只能上车补办车票，集合X变成

XF={x1,x2,…,xr}，n

(1)

为X生成的内P-集合.

若记X生成的F-元素补充集合为X+={ui|ui∈U,uiX,f(ui)=x′i∈X,f∈F}，且的属性集合αF满足

αF=α∪{α′i|βi∈V,βiα,f(βi)=α′i∈α,f∈F}，

(2)

则称

XF=X∪X+

(3)

为X生成的外P-集合.

(4)

图5 P-集合的直观表示

3 新集合概念的应用

随着计算机科学的迅速发展，数学兼有了科学与技术的双重身份.在信息化发展的大数据时代，科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是运用数学思想和方法.下面结合实例给出新数学概念P-集合、粗集合的简单应用.

3.1 P-集合在优秀学生选拔中的应用实例

设x1～x10是山东大学数学学院2017年入学的本科新生，x1～x10构成有限普通集合

X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10},

记α1为数学成绩，α2为语文成绩，α3为英语成绩，α1,α2,α3构成X的属性集合

α={α1,α2,α3}.

∀xi∈X，xi同时具有属性α1,α2,α3；用数理逻辑中的合取“∧”表示，xi的属性αi满足αi=α1∧α2∧α3.

按照学校的培养模式，数学学院每年要从本科新生中选拔“泰山学堂”新生进入拔尖人才培养计划，力争通过本科阶段的强化教育，结合本-硕-博一站式培养，使学生具备优异的数学综合素质和活跃的数学思想，成为数学研究领域的杰出人才.因此，要对x1～x10进行筛选.利用(2)式在属性集合α内补充属性α4=数学能力面试，α5=创新思维问卷，α变成αF，

αF=α∪{α4,α5}={α1,α2,α3,α4,α5}.

由(1)式得

αj=(α1∧α2∧α3)∧α4∧α5.

3.2 粗集合在数据智能挖掘中的应用实例

粗糙集理论和应用的研究已成为智能信息处理领域的热点问题, 是近年来出现的处理模糊和不确定性问题的有力数学工具，现已成功应用于人工智能的许多领域.本文以实例给出在数据智能挖掘中的简单应用.

将集合X的下近似R-(X)记作[x]，即[x]=R-(X)称作数据，∀xi∈[x]称作数据元，R是[x]上的等价关系构成的集合：

[x]={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},R={R1,R2,R3,R4}.

给定等价关系集合

R*=R∪{R5,R6}={R1,R2,R3,R4,R5,R6},R⊂R*，

则存在数据[x]*≠∅，R，R*，[x]与[x]*满足粗推理：

若R⟹R*， 则 [x]*⟹[x],

这里“⟹”与“⊆”等价，R⟹R*称作推理条件，[x]*⟹[x]称作推理结论.在R⟹R*的条件下，数据[x]*被智能挖掘-获取：[x]*={x2,x4,x7}.

4 教学效果

创新思维是一切创新活动的核心与灵魂，其主要包括抽象思维、类比思维、求异或发散思维、逆向思维、直觉思维等，而创新实践则是在客观需要的推动下，借助于创新思维获得灵感而创造出新方法、新概念、新思想，从而突破性地解决实际问题.

本文作者在面向控制科学与工程专业“模式识别与智能系统”方向研究生延伸开设的“数学分析选讲”中，通过智慧教学创新充分再现数学发现的思维过程，运用归纳和类比引导学生进行直觉思维，鼓励学生突破常规思维定式，倡导学生养成逆向思维、发散思维的习惯，结合智能系统的动态性特征、模糊或不确定性领域的热点问题引入新数学概念P-集合、粗集合的简单应用，使学生真正地接受创新思维能力的培养和训练.

为确认新集合概念的渗透、融合教学效果，我们对2016-2018级来自控制专业“模式识别与智能系统”方向的硕士研究生进行了如下教学尝试：将每届硕士研究生分成A、B两组，教学中A组学生的数学分析选讲内容以常用数学方法的应用为主，B组学生除此之外还介绍新集合概念提出的背景、与普通集合的关系、新集合的某些简单应用.连续三年硕士毕业论文开题综合评价结果发生了明显变化，具体统计如下：

表1 硕士研究生毕业论文开题综合评价成绩

图6 硕士研究生毕业论文开题综合评价成绩柱状图

其中A组学生在毕业论文选题、开题时，一般选用常规方法和手段解决问题，明显感到创新性不足，理解应用粗浅.而B组学生多数能够运用新集合概念、特征刻画智能系统的动态性和不确定性领域的模糊问题，进而给出一些创新性研究思路和预期结果.因此，我们在大学数学教学过程中更加注重对学生进行创新思维的培养，善于给学生提供创新实践的机会.

5 结 论

本文2中给出的几种新集合概念、结构、特征及其直观表示均来自于实际应用领域，当今信息科学、系统科学，人文、社会学科及其他“软科学”的数学化、定量化趋向是它们产生的直接动力.应用问题的研究是新集合概念形成的依据，是新集合概念孕育生长的沃土；应用问题的再分析、再认识诱导出新集合的结构与特征.研究性实践表明，新集合概念与基础数学教学渗透、有机融合既是对集合概念的丰富、发展、完善，更是提升研究生发散思维、创新思维能力的有效途径.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.