实施单元整合重构 实现数学深度理解

温展钜

北京师范大学刘月霞、郭华在《深度学习：走向核心素养》一书中指出：“深度学习，是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。深度学习过程着眼于学生对所学内容的整体理解，促进学生的知识建构和方法迁移。”北师版《义务教育教科书·数学》五年级下册“分数的再认识”单元内容包含了整体“1”的再认识、分数单位、真假分数、带分数、分数与除法的关系等知识，虽然对分数进行了“较全面”的再认识，但这些知识点之间的内在联系不够紧密，不利于学生在学习的过程中进行“整体认识”。我在教学这一单元时，将“分数与除法的关系”与“真假分数的认识”以及“带分数与假分数的互化”进行整合重构，将这几个知识点放在同一教学情境中，让学生经历“操作、分类、辨析”等数学活动，体验知识发生、发展的过程，充分感悟知识之间的内在关联。

一、动态情境，整合贯通

数学教学强调学生对知识的“再发现”与“再创造”，而数学情境则是数学知识“再发生”和“再创造”的重要载体。北师版教材中，设计了“分饼”与“分数与除法”两部分内容，包括“带分数、真分数、假分数”和“分数与除法的关系、带分数与假分数的互化”。教材中有两个情境，前面是“分饼”，后面是“分蛋糕”，前一节学习带分数和假分数等概念，后一节进行带分数和假分数的互化，在认知上容易产生割裂。

教学实践中，我把“分饼”的情境进行了扩充，以“唐僧师徒取经途中化缘”的故事，动态化地呈现出对不同饼数进行平均分的题组，引导学生从整数的等分除法，过渡到分数的除法，将分数除法与整数除法打通。

师：话说唐僧师徒四人前往西天取经，路上经历了各种磨难，就连每天吃饭都不容易。他们化缘得到的食物有时候多，有时候少，但他们师徒总是平均分配食物。这一天，化缘得到8张饼，分给师徒4人，平均每人得多少张饼？

生：总数是8张饼，平均分成4份，求每份數，8÷4=2（张）。

师：总数除以份数等于每份数，所以列式8÷4=2。

师：如果只有4张饼，平均分给4个人，平均每人分得多少张饼？

生：4÷4=1（张）。

师：如果只有1张饼，平均分给4个人，平均每人分得多少张饼？

生：1÷4=[14]（张）。

师：说一说这里的[14]表示的意义。

生：把一张饼平均分成4份，其中的1份，就是一张饼的[14]，也就是[14]张饼。

师：如果有5张饼 ，平均分给4个人，平均每人分得多少张饼？

生：5÷4=1（张）……1（张）每人分得1张饼多。

生：5÷4=1.25（张）。

在数的认识中，自然数的认识是在数的基础上建立的，分数的认识是在分的基础上建立的，而平均分又与除法有着紧密联系。因此，在本课“唐僧师徒分饼”的情境中，学生借助“平均分”的熟悉模型，从整数除法过渡到了小数除法、分数除法。分得的结果从整数张到不能用整数表示，也不能用真分数表示，从而引出了学习带分数、假分数的必要性。在这个认识过程中，不仅能分出带分数和真假分数，还能在分的过程中发现分数与除法的关系，达到整合贯通的目的。同时，“平均分饼的情境”还能让学生体会到团队合作的重要性。此外，“艰难的取经生活”和“虔诚的求学精神”也是对学生进行思想教育的好素材。

二、多元表征，深度理解

在前面学习的过程中，都是对真分数进行认识，把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份是几分之一或几分之几，而从本课开始出现了分子比分母大的情况，这是本课学习中的一个难点。因此，我利用操作“分饼“这一环节，让学生建立了比一张饼再多[14] 张的表象，引导他们从感观上开始认识带分数。

师：前面我们学习过用小数表示，这节课我们一起研究用分数表示。现在给每个小组5个圆片代表5张饼，平均分成4份，看看每份是几张饼？请大家动手分一分。（学生小组讨论、操作）

小组1：先拿出4张饼，每人分得1张饼;剩下一张饼再平均分成4份，每人再分得其中的1份。合起来就是1张饼，再多[14]张饼。（5人小组上台演示，1人负责边分边讲解）

小组2：先拿出一张饼，把饼平均分成4份，每人分得[14]张饼，照这样分，分5张饼，每人分得5个[14]张，就是[54]张饼。（5人小组上台演示，1人负责边分边讲解）

生：把每张饼都平均分成4份，就有20个[14]张，20÷4=5，每个分得5个[14]张，就是[54]张。

师：大家的分法主要有两种，一种是把每张饼都平均分成4份，每人分得每张饼的[14]，有5张饼 ，每人就分得5个[14]，就是[54]张饼。

另一种是先分4张，每人分得1整张饼，再把剩下的1张饼平均分，每人再分得[14]张，合起来是1张饼再多[14]张饼 ，可以用1[14]来表示。这里的1表示1整张饼 ，[14]表示[14]张饼，1[14]表示1+[14]的意思。读作：一又四分之一，像这样的分数叫做带分数。你知道它为什么叫做带分数吗？

生：带有整数的分数。

师：对，带分数就是带有整数的分数。左边是整数部分，右边是分数部分。它们的分法不同，得到的结果相同吗？（指着1[14]和[54]）

生：两次分到的结果是一样的，因为第一次分到的[54]，可以把其中的4个[14]看成一张饼，就是1[14]张饼。

师：[54]表示5个[14]，你能在1[14]中找到5吗？（动态演示）

生：整数部分的1可以看成是4个[14]，分数部分一个[14]，合起来就是5个[14]。

师：1[14]= [54] ，那么 2[14]是四分之几呢？

生：[94]。

师：这是怎么得到的呢？

生：2×4+1=9，就是[94]。

师：为什么要2×4+1？

生：2就是2个1，1可以看成4个[14] ，2就是8个[14] ，合起来就是[94] 。

师：你知道[64]是几又几分之几吗？[84]呢？

本课是在认识“真分数”“假分数”的概念前，借助“分饼”的操作过程，用不同的分法得到大小相等的两种结果“1[14 ]张饼和[54]张饼”。虽然分法不同，但学生亲自参与了分的过程，自然知道两个分数的大小相等。借助学具的操作和PPT的演示，学生聚焦带分数和假分数的本质联系：[54]是5个[14]，其中的4个[14]可以拼成一整张饼，也就是带分数1[14]的整数部分1，剩下[14]就对应1[14]的分数部分[14]。将带分数化为假分数则是把整数部分的饼分成与分数部分相同单位的若干份，再相加。

学生在观察、思辨的过程中，结合操作表征、图象表征、语言表征等多种表征方式对假分数和带分数的本质进行深度理解，逐步建构出带分数与假分数互化的算理，并总结出了简便的算法。

三、整体把握，有效建模

在北师版教材中，利用“分蛋糕”的情境，引出两条算式“1÷2=[12] ，7÷3=[73] ”让学生观察发现分数与除法的关系。在小学数学找规律的教学中，经常用到不完全归纳法，虽说是不完全归纳，也要保证类型和例子要能覆盖到不同的类型。我认为，教材只用两条算式不足以看出其中的规律，而且只涉及到了分数的除法，在类型上也不全面。因此，进行了如下调整。

师：回顾分饼的过程，4÷4=1张饼，能不能把1张饼也写成分数呢？

生：1=[44]（板书）。

师：2张饼呢？（[84]）如果有6张饼呢？ 6÷4= [64]（张）;7张饼呢？7÷4= [74]（张）;13张饼呢？13÷4= [134]（张）;50张饼呢？50÷4= [504]（张）。

师：请同学们仔细观察我们刚才通过分饼得到的除法算式和商。你发现了什么？

生：除數就是分数的分母。

师：谁能明白他的发现？

生：被除数就是分数的分子，商就是分得的张数。

（PPT出示，全班观察：除法的被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线，这就是分数和除法的关系）

师：（板书）被除数÷除数=[被除数除数] 。（除数不能为0）

师：A张饼平均分给B个人呢？每人分得几张？

生：A÷B=[AB]（张）。

师：要满足什么条件？

生：B不能为0，因为除数不能为0。

分数与除法的关系是连接分数意义与等分除法意义的重要规律，也是分数、整数、小数三者之间转换的桥梁。因此，在数量上要给学生提供丰富的材料，让他们充分体验、感受并利用不完全归纳的方法发现分数与除法之间的关系。同时，在材料的类型上要包含能分出整数的、能分出分数（小数）的情况，分数中还要包含真分数和假分数。只有在类型全面的材料中，才能让学生把学习过的关于平均分的所有除法都纳入到发现的规律之中，从而打通了整数除法、小数除法与分数除法的联系，进而理解了本节中分得的商，可以在整数、小数、分数之间的相互转换，达到对分数意义的整体认识。

四、多维辨析，提升思维

北师版教材采用举例的方式得出真、假分数的概念。学生能很快得出真分数和假分数这两个名称，通过教师的引导，也能发现真分数的分子和分母之间的关系以及真假分数的大小关系，但对带分数、真分数、假分数这三个概念以及它们之间的关系区别不够清晰。

新课教学前，学生对分数的认识不是一张白纸，有的学生在平时生活中已对真假分数有了一定的认识。课前访谈中我发现，有些学生只是知道真假分数的名称，部分学生虽知道真假分数的分子和分母的大小关系，但对真分数、假分数及带分数的分类不清晰。因此，本课需要让学生通过对不同类型的分数进行分类、辨析，借助符号化的理解和表达，对三类分数进行深层辨析。

师：仔细观察这些分数的特征，把下面分数进行分类，并说一说你是怎样想的？

[84]，[44]，[14]，[114]，[54]，[64]，[134]，[504]

生：分为真分数和假分数。

师：哪些是真分数呢？

生：分子小于分母的分数是真分数，有[14] ，分子大于分母的是假分数，有[84]，[54]，[64]，[134]。

生：分子等于分母的分数也是假分数，[44] 是假分数，1[14]是带分数。

师：分子小于分母的分数叫做真分数，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。

生：可以把1[14]分为一类，因为这个分数有分子和分母还有整数;其它只有分子和分母的分数分为一类。

师：从形式上还可以把带有整数部分的分数分为一类，不带整数的分数分为一类。能不能把[114]也按分子和分母的大小来分？它属于真分数还是假分数。

生：1[14]等于[54]，所以1[14]也可以算是假分数。

师：[ab]是什么分数？为什么？

生：当a大于或等于b时，[ab]是假分数，当a小于b时，[ab]是真分数。

师：你能比较它们的大小吗？出示：[ab]1。

生：当a大于b时，[ab]>1;当a等于b时，[ab]=1;当a小于b时，[ab]<1。

师：真分数小于1，假分数大于或等于1。

思维的独立性意味着不为情境的暗示所左右，不人云亦云，不盲从附和，严格地估计思维材料和精细地检查思维过程。思维的独立性是批判性思维的重要特点。在本课中，我首先让学生对课中所得出的各种不同类型的分数按不同的标准进行分类，通过分数让学生观察不同类型分数的特征，并在真分数假分数的分类中打破学生原有的浅层认识“带分数不属于假分数和真分数”，重构对分数的分类，达到对分数分类的全面认识，培养了学生的批判思维能力。

本节课通过对分数与除法、真假分数带分数等知识的整合重构，创设动态化情境，促进了学生整体把握、深度理解，培养了批判性思维。

（责任编辑：杨强）