球面平均值函数及其微分方程的推导

蔡 俊，李 敏，王 群

(江苏师范大学 物理与电子工程学院，江苏 徐州 221116)

三维波动初值问题(柯西问题)是数学物理方法课程的重要教学内容[1-8], 该问题的求解为物理学后续课程中讨论电磁波的辐射[9]等问题提供了数学基础. 数学物理方法教材中，该定解问题常见的求解方法包括球面平均法[1-5]、傅里叶变换法[6]、一维-三维类比法[7，8]等. 泊松最早提出利用球面平均法求解该问题. 求解过程中, 将三维问题巧妙“降维”为一维问题来求解, 体现了高超的数学思想与求解技巧.

在求解三维波动初值问题前, 教材已经对一维无界与半无界波动初值问题进行了讨论, 这为三维问题的求解提供了借鉴. 然而在三维问题讨论中, 维度的增加导致问题复杂性陡增, 学生往往不易领会球面平均法的求解要领. 深入理解球面平均法, 有利于突破高维坐标系下求解数学物理方程的学习障碍.

教学过程中, 我们发现对球面平均值函数定义的阐释, 以及对平均值函数满足的微分方程的推导, 是理解球面平均法的关键. 本文讨论球面平均值的定义, 阐明球面平均值对多个变量的依赖关系, 并在教材常见推导方法基础上, 提出一种更简洁的推导方法. 通过本文的讨论, 可以澄清球面平均值函数的定义, 为理解球面平均法以及球坐标系下数学物理方程的其他讨论提供参考.

1 球面平均值的定义

三维波动方程初值问题表示为

(1)

这里u(x,y,z,t)表示空间坐标为(x,y,z)的M点在t时刻相对平衡位置的波动位移；φ(x,y,z)和ψ(x,y,z)分别为初始时刻的波动位移和波动速度的大小.在球对称情形, 三维问题可以简化为一维半无界波动问题[4].一般性的三维波动初值问题没有球对称性.受波的传播具有球对称性的启示, 泊松引入球面平均值来处理该问题[5].球面平均值定义为

(2)

图1 球面示意图

以M点为坐标原点, 建立球坐标系M-rθφ, 易知

(3)

球面上面积元dS=r2sinθdθdφ=r2dω, 这里dω为立体角元, 也即单位球面上的面积元.代入式(2)后, 球面平均值的定义也可写成

(4)

(5)

(6)

对直角坐标的运算也可以类似给出

(7)

2 建立球面平均值方程的新方法

(8)

等式的左边, 交换对空间坐标积分与对时间偏导的运算顺序, 并代入球面平均值的定义, 得到

(9)

在等式的右边, 为了代入球面平均值的定义, 需要应用高斯定理, 经整理后可得(具体过程参考教材[1,2])

(10)

左右联立, 得到

(11)

因上式左边仍包含对参量r1的积分, 为此将等式两边同时对r求导, 再移项得

(12)

上式右边对球面平均值的运算, 即为球坐标系下拉普拉斯算符中对径向坐标r的运算算符.可见球面平均值满足球对称情形球坐标系下的三维波动方程.为进一步化简, 对坐标r的运算可改写成

(13)

整理后得到球面平均值满足的一维波动方程:

(14)

(15)

在上式左边, 交换运算顺序, 并代入球面平均值的

定义, 得到

(16)

在式(15)的右边, 包含对Δu的球面积分运算.拉普拉斯算符为求导运算算符, 考虑到求导运算是局域运算[10], 与坐标原点位置的选取无关, 因此可将Δu在M为坐标原点的坐标系进行运算而不影响计算结果.此外, 考虑到积分在球面上进行, 显然应用球坐标系较为方便, 因此我们将式(15)右边在球坐标系M-rθφ中表示出来

(17)

上式右边的被积函数中, 包含u对r,θ,φ三个坐标分别进行的偏导运算.对被积函数的这三项分别积分, 计算如下

(18)

(19)

(20)

(21)

联立式(16)与(21), 也得到球面平均值满足的式(14).

以上推导中, 在球坐标系下将拉普拉斯算符代入, 对Δu的球面积分进行了直接计算.由于避免了对径向坐标r进行重复性的积分与求导运算, 因此比教材中的推导更加简洁.此外, 该推导过程有利于学生熟悉球坐标系下拉普拉斯算符的运算以及球坐标系下函数的自然周期性, 为后续学习球坐标系下数学物理方程的分离变量埋下伏笔.

3 总结

本文讨论了球面平均值函数的定义, 阐明了该函数对球心M点的位置坐标(x,y,z)、球面半径r、时间变量t等5个自变量的依赖关系.为建立球面平均值满足的方程, 本文梳理了教材中的推导, 在此基础上提出在球坐标系直接完成球面积分, 从而更简洁地建立球面平均值满足的方程.本文的讨论有利于理解球面平均法求解三维波动初值问题的数学思想和求解过程, 并为球坐标系下数学物理方程的其他讨论提供参考.