立足旧教材 探讨新高考——高一立体几何复习课案例

潘小平

(江苏省灌云高级中学 222200)

高一数学课堂在复习到立体几何时，必定绕不开垂直问题，包括线线垂直、线面垂直和面面垂直.复习课时,学生对立体几何中定理的理解和记忆已经初步形成，这时就需要对垂直问题进行归纳整理，让学生在听懂会做的基础上，建立发散思维习惯和锻炼学生的空间想象力.下面我就通过在复习课上的一道书后习题和大家共同探讨立体几何中的垂直问题.

例1 (苏教版高中数学必修二51页第15题)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，问：在棱AA1上是否存在一点M，使平面MBD⊥平面OC1D1?如果存在，求出AM∶MA1的值；如果不存在，请说明理由.

这道题目学生自己处理的效果不理想，学生对于空间中给定位置直接证明垂直已经没有问题了，但是这道题是一道探究题，对于找到点M位置无从下手，联系面面垂直的判定定理，知道要找到线面垂直，可是点M不确定，肯定没办法直接找到的.问题出来了，这时引导学生看教材的封面图形，如图2所示，探讨下面的问题.

问题1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，先试一试如何证明A1C⊥BD?直线A1C能不能与平面BDC1垂直呢？

学生很快就能把问题1的证明过程书写出来，如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC.因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD.又四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.由线面垂直的判定定理，得BD⊥平面AA1C,A1C⊂平面AA1C，则A1C⊥BD.那么我们只要再证明A1C垂直于BC1或者DC1即可，证明方法如上.这时再回到例1，发现我们需要找到点M，使得两个平面垂直，只有线面垂直还不够，那么从图2中我们还可以发现，过直线A1C的平面ACC1A1⊥平面BDC1，由公理2可知两个平面的交线为C1O(O为BD、AC的交点).两个平面的交线C1O找到了，只要再在平面ACC1A1中找到和OC1垂直的直线就行.

问题2 如图3，能不能在棱AA1上找到一点E，使得EO⊥平面BDC1呢？

由面面垂直的判定定理我们已经证明了平面ACC1A1⊥平面BDC1，而且平面ACC1A1∩平面BDC1=OC1，那么由线面垂直的性质定理(如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面)，就可以知道只要找到OE⊥OC1，即可得到OE⊥平面BDC1，顺理成章地将空间问题平面化了.那么我们只要在长方形ACC1A1中，通过三角形相似或者勾股定理(平面问题在这里就不讲解了)就可以得到OE⊥OC1.这时点E应该是棱AA1的中点，而且我们可以从图3中清楚看出OE是△AA1C的中位线，那么必然可以证明出OE⊥平面BDC1.有了这个点E，就可以连接EB,ED构造平面EBD.

问题3 若点E为棱AA1的中点，如何证明平面EBD⊥平面BDC1.

因为问题2中已经证明了OE⊥平面BDC1,而且OE⊂平面EBD，由面面垂直的判定定理很轻松就能证出结论来.那么同样的，平面EBD⊥平面BDC1，且平面EBD∩平面BDC1=BD，OC1⊂平面BDC1，且OC1⊥BD，由面面垂直的性质定理，很显然OC1⊥平面EBD.这时我们再回到本文开头的例1中，就不难发现OC1⊂平面OC1D1中，由面面垂直判定定理可得平面EBD⊥平面OC1D1，从而可以知道例1中的点M就是这里的点E，即AM∶MA1=1.

那么下面就可以给出例1具体的解答过程：

问题4平面OC1D1与正方体ABCD-A1B1C1D1表面的交线怎么画?

回顾公理3和推论3，经过两条平行直线有且只有一个平面，从而确定过点O作直线PQ∥CD,分别交AD、BC于点P、Q,那么我们就可以确定如图4的平面PQC1D1，而由公理2知，由PD1与MD的交点N与点O的连线ON就为平面MBD与平面OC1D1的交线.在作出平面PQC1D1后，通过分析探讨可以发现PD1⊥MD，PQ⊥MD，那么我们可以证明出MD⊥平面PQC1D1，从而也可以得到例1中要证明的结论，此解法作为解法2.

新高考政策已经势在必行，通过对新教材以及全国卷的分析，我发现立体几何的证明在解答题中已经有所弱化，取而代之的是求角和距离的问题，高一还没有学习空间向量，所以只能运用综合法来求解，这时证明的重要性就又突出了.所以我们再进行教学和学习的时候要因事而为，加大对空间角和距离的求解.

问题5 当点M为棱AA1中点时，求直线MC1与平面MBD所成角的余弦值.

那么如果条件给出线面角的值，能不能找到点M的位置呢？或者求平面OC1D1与平面MBD的二面角大小，还有空间中的体积问题也可以研究，如：当点M为棱AA1中点时，求三棱锥M-BDC1的体积.那么一系列的问题下来，学生对于立体几何中的垂直问题的理解会更加透彻，并且也理解到“立体图形平面化”的关键所在.而且也对综合法求空间角和距离有了一定的认识，一定要“一作二证三求解”，关键的步骤还是在于证明，只有证明出线面垂直才能找到角和距离，所以立体几何中的垂直问题不是弱化了，而是藏得深了，大家要擦亮眼睛，先找到垂直，再利用定理证明，而不是单单地给出结论证明了.

对于本文中的例1，新教材中已经不再出现了，本人研究了新教材中立体几何在线面关系和面面关系这一块更加重视角和距离的求解，对于直接证明垂直的问题有所弱化了.但是通过本文的学习，我们可以发现垂直问题的证明是研究综合法求空间角和距离的关键，所以建议各位新高一的老师在教学到立体几何的垂直问题时能把此类问题进行补充练习，以增加学生对于垂直问题更深层次的理解，并且在解决立体几何的问题时能有思考的方向，从而完整且快速地解决这类问题.