选取角为自变量解题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

选取以角为自变量解题，是高中数学解题的一种常用方法，但多数同学往往想不到、用不上.选取以角为自变量的解题方法，有着十分广泛的应用.如求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值)，求圆锥曲线离心率的取值范围(最值)，求三角形的边长、面积、周长的取值范围(最值)，求三角形的两边之和或之差或之积或之商的取值范围(最值)，求多面体的体积的取值范围(最值),求平面凸多边形的边长、面积、周长的取值范围(最值)等.如何选取角为自变量进行解题研究，以下举例说明，旨在抛砖引玉，以飨读者.

一、选取角为自变量求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值)

例1 (2014年高考全国Ⅱ卷·理16)设点M(x0，1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是____.

分析选取∠MNO为自变量，记∠MNO=α，应用正弦定理建立x0与α的关系式，问题转化为求角α的三角函数的值域问题.

解析因为点M(x0，1)在直线y=1上运动，记∠MNO=α，如图1，则∠MON+α=135°，所以0°<α<135°.又因为MO≥ON，所以在△MON中知，α≥45°，于是45°≤α<135°.

从而x0的取值范围是[-1，1].

二、选取角为自变量求线段长度的最值(取值范围)

例2 在边长为2的正△ABC的边AB，AC上分别取M，N两点，点A关于线段MN的对称点A′正好落在BC边上，则AM长度的最小值为____.

分析连接A′M，如图2，因为AM=A′M，所以问题转化为求A′M长度的最小值.在△BMA′中，因为∠B=60°，又设AM=x，则A′M=x，BM=2-x，选取∠BA′M为自变量，记∠BA′M=θ，运用正弦定理建立x与θ的关系式，问题又转化为求x关于角θ的三角函数的最值问题.

三、选取角为自变量求平面凸多边形的边长的取值范围(最值)

例3(2015年高考全国Ⅰ卷·理16)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是____.

在△BDC中，因为∠C=75°，所以∠DBC+θ=105°.

又0°<∠DBC<75°，所以0°<105°-θ<75°.

于是30°<θ<105°.

四、选取角为自变量求平面凸多边形面积的取值范围(最值)

例4 如图4，圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.

解析选取∠AOB为自变量，记∠AOB=x，则

=sinx.

在△AOB中，由余弦定理，得

AB2=12+22-2×1×2cosx

=5-4cosx.

保健食品备案双轨制、婴幼儿配方乳粉严格注册及监管、特殊医学配方食品参照药品管理……都在推动着特殊食品行业提质增效，为消费者提供更加安全的产品。边振甲表示，在“健康中国”指引下，面对巨大消费市场以及快速变化的时代，中国特殊食品行业在2018年迈入了规范化管理、精细化运作、高质量发展的新阶段。

于是S四边形OACB=S△AOB+S△ABC

评注(1)确定点B位置的方法有两种，方法1是求点B的坐标，方法2是求∠AOB的大小;(2)由于要用变量表示四边形的面积，所以选取∠AOB为自变量求解较为便捷.

五、选取角为自变量求三角形面积的取值范围(最值)

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

解析(1)B=60°(过程略).

(2)角A，C都是变量，在这里选取角C为自变量.

由(1)知，A+C=120°.

由于△ABC为锐角三角形，

故0°

六、选取角为自变量求三角形两边之积的最值(取值范围)

例6 已知线段AB=24，直线l∥AB，且直线l到直线AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|PA|·|PB|的最小值为____.

解析选取∠APB为自变量，记∠APB=α，则运用三角形的面积公式，利用等面积法思维，建立|PA|·|PB|与角α的关系式，问题转化为求角α的三角函数的最小值问题.

如图5，根据三角形的面积公式，可得

即|PA|·|PB|sinα=24×5.

七、选取角为自变量求圆锥曲线离心率的取值范围(最值)

解析为了书写方便，不妨记|PF1|=m，|PF2|=n.选取∠F1PF2为自变量，记∠F1PF2=θ，则

评注用此法求解此题，不是最简捷，笔者认为运用如下性质求解速度快，|PF1|≥a+c，|PF2|≥c-a，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.笔者在这里用此法求解此题，旨在与同仁一道体验选取角为自变量来解题的过程.

八、选取角为自变量求多面体体积的最值(取值范围)

令sin2θ=x(0

令f(x)=x(1-x)3(0

究竟怎样选取自变量角解题？通过以上几例的解答，我们可以发现，要先找出题设中的变量，然后确定变量中的角为自变量，再从多个变量角中选取一个变量角为自变量，结合正弦定理、余弦定理、三角公式、三角形的面积公式、三角函数等相关知识点，建立所求取值范围(最值)的变量与所选取自变量角的关系式，由此把问题转化为求所选取自变量角的三角函数的值域(最值)问题，同时要注意所选取自变量角的取值范围.