论导数在高中数学解题中的应用

冯仰超

(江苏省徐州市第七中学 221011)

数学教学中为使学生能够灵活应用导数知识解答相关习题，应注重为学生细致的讲解导数的意义，使其牢记一些函数的求导公式，尤其应结合具体例题为其讲解导数的具体应用，为其高效的解题带来启示.

一、用于求解参数范围

求解参数的取值范围是高中数学的一类重要题型.应用导数解答该类习题时应认真审题，确定要求解的问题属于恒成立还是存在性问题.另外，解答该类习题常规思路是分离参数，具体是先分离参数还是求导后再分离参数需要视情况而定.比如下面的习题就是求导后再分离参数，因此，教学中应提醒学生应具体问题具体分析，不能局限于思维定势.

例1若曲线y=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负的切线，则实数a的取值范围为( ).

C.(0，+∞) D.[0，+∞)

该题目难度并不大，考查学生对切线概念的理解.解题的关键在于能够正确转化题干中的“不存在斜率为负的切线”这一条件.即，转化为在x>0时曲线的导数y′≥0恒成立.

二、用于比较数值大小

导数在高中数学解题中应用广泛，其也可用于比较数值大小.该类习题题型复杂多变，部分习题求导后便可分析出结果，但部分习题则需要二次求导以判断原函数的单调性.为使学生掌握运用二次求导解题的思路，教学中应注重筛选与讲解相关例题.如以下例题：

A.a>bB.a

题目涉及的函数为较复杂，无法直接判断其单调性.需要对其求导，通过分析导数能够确定其单调性，如不能需要继续进行二次求导.

三、用于判断函数图像

运用导数研究函数的图像是导数最为基础的应用.解答该类习题需要对导数与函数之间的关系有个深入的认识.即根据导函数的取值的正负可判断原函数的单调性.而根据导函数的变化趋势，则可进一步判断出原函数斜率的变化，更为细致的勾勒出原函数的图像.为使学生掌握相关解题技巧，可与学生一起分析如下习题：

例3如图1所示，为函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图像，那么y=f(x)，y=g(x)的图像可能是( ).

图1

该题目要求根据导函数判断原函数的图像，属于导数的灵活应用题目.解答该题需要深入理解导函数的图像与原函数的关系.观察图1内容可知，y=f(x)的导函数随着x的值增大而减小，表示原函数随着x的增大斜率逐渐变小，图像上凸.y=g(x)的导函数随着x的值增大而增大，表示原函数随着x的增大斜率逐渐变大，图像下凹，此时可排除A、C.又因为在x=x0处两个导函数相交，即在拐点处原函数具有大小相等的斜率.观察B、D两项中函数的图像，可将B项排除，故正确答案为D.

四、用于求解函数极值

求解函数极值时，为保证解题的正确性应遵循一定的解题步骤，先根据已知条件判断函数的定义域范围，而后对函数进行求导.令导函数的值为零求解其根.如含有参数需要对根的大小情况进行讨论，判断函数单调性找到函数的极值点，将极值点代入求解即可.为使学生感受解题过程，教学中可为学生讲解如下习题：

例4设f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3为公差为d的等差数列.若d=3，求f(x)的极值.

该题目是函数与数列的结合习题，考查学生灵活运用所学解题的综合能力.解题时需要吃透题意，充分运用已知条件，结合导数知识进行分析解答.

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值

导数在高中数学中占有重要地位，是解答函数问题的重要工具.为提高学生灵活运用导数解题的能力，教学中应围绕具体习题为学生认真讲解解答过程.同时，鼓励学生多进行训练、反思、总结，不断深化对导数知识的认识与理解，真正做到融会贯通.