从一道题目的探索思考教学思路的调整

朱利文

(福建省厦门市思明区松柏中学 361012)

一、写此文的灵感

回顾笔者在抛物线教学中，鉴于抛物线在考试中出现的位置和考查形态，在常规教学里，解题熟练度与计算效率的训练时间的比重偏大.但若过于频繁受限于此，容易造成知识模块的疲惫，不利于该模块的教学活动深入.笔者也在努力地探索与尝试，诚然对思维训练方面，刷百题不如“吃透”一题.有一次在课间看见一个学生在写物理作业，学生画着抛物线.我一问之下，得知学生在写平行板电容器里带电粒子偏转的作业，而其中的类平抛运动轨迹不正是抛物线么？同时想起有这么一道题，难度不大，却不禁发人深思.于是写下这次的探索过程.

二、问题呈现

例题已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛线C上.在△EFP中，若sin∠EFP=μsin∠FEP，则μ的最大值为____.

解析△PEF中，通过正弦比容易联想到边之比，结合抛物线的定义，又是最值问题.所以基础解法很自然地想到列出关于μ的函数关系式求最值.又由于抛物线和坐标轴的对称性，在本文的处理中，都把点P记在第一象限.

图1

三、探索

1.规规矩矩学科内

探索切线的方法：

2.逐渐跨学科

方法三我们先看一个引理

图3

引理1如图，过抛物线C：y2=2px上一点P(x0,y0)作切线交准线于点A，过A作直线交抛物线C于点B、C，过点B、C、P作准线的垂线BM、CN、PH，垂足为M、N、H.则有FA为∠AFB的外角平分线，且AF⊥FP.③

∴2δ+∠BFC=180°,现固定点A逆时针旋转直线ABC，点B与C靠近，∠BFC减小.

当临界状态点B与C重合于P时，∠BFC=0°.此时δ=90°，即AF⊥FP.

另外，记直线n为切线AP的法线，∵△PFA≌△PHA(AAS)，∴上图中φ=θ=γ，进而i=r.

联想到“一面二角三线”以AP为镜面，FP为入射光线，n为法线.则由光的反射定律，知PD为即为反射光线.

拓展至三维空间，对于旋转抛物面镜，通过焦点，经过镜面反射后的光线都平行于对称轴.③

回到原题，对于此题，即该图的点A与E重合，则∠PHE=∠HEF=∠EFP=90°，又PF=PH

∴PHEF为正方形，以下同方法一.

方法四让我们再看一个引理

图4

引入运动学知识，是为了利用一个非常有效的现象结论：那就是质点做曲线运动时，轨迹的切线方向为该点处的瞬时速度方向，也为改点处的实际运动方向.

回到本题.由运动结论知OA(即OA为△EFP的中位线)又为正方形，以下同方法一.

四、总结与反思

研究后，想起自己一开始面对此题的错误认知，明白不应该去轻易地小看一道经典问题.诚然在最开始看待这个问题的时候，笔者只是想着如何解决问题，能不能有什么拓展结论方便之后的使用.当发现此题的结构太过特殊以至于难以得到推广结论时，就开始有些轻视了.但出于不甘心，也出于相信经典题之所以能成为经典，一定有它的不同之处.于是静下心琢磨，发现此题的一些内涵，便写了此文.

通过化归与迁移，明白这道小题本身或许不方便做拓展推广，但在解决它的过程中，却可以融合多个知识的应用.放在复习中，这样关联多个模块，能做到中心开花的效果.通过该题的总结，可以促进发散性思维养成与关联复习，同时还有助于激发学习兴趣，并强化提升学生的记忆效率.

在①处体现的是均值不等式的味道.在②处体现抛物线的一般切线方程的形态.在③处为抛物线的光学性质.④处体现的是匀变速曲线运动的正交分解法，是高中物理解题的基本功之一.

在总结反思后，让自己对这类问题有了更深的认识.整理整理，再规划好如何引导学生.循序渐进地启发学生要如何操作，才能思考到这些环节.写下此文，也是一次记录，告诉自己得再接再厉.题型强练的传统模式得逐渐转化成思维引导以学生为主体的多元化教学模式，才能从根本提升教学品质.这不是三分钟热度就能搞定的事，需要长期一步一个脚印去踏实行动才能实现.共勉之……