低年级小学生对位值概念理解及影响因素的探析

王一敏，孙兴华

(东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024)

人们认为位值表示法是人类最富创新的发明之一(1)Ross S H.The Development of Children’s Place-value Numeration Concepts in Grades Two through Five.Concept Formation.1986,p.51.。位值是计数系统一个非常重要的概念，也是小学阶段数的认识与运算的基本原理。数字有两个值，即数字值与位置值，数字值是数字本身所表示的值，位置值是数字本身与其位置结合起来所表示的值，一个数字表示什么数值，要看它在什么位置上，这就是位值的含义。研究发现，理解位值概念对于学生获得良好的数感、估计和使用数学技能以及理解多位运算非常重要(2)Ross, S.R.Research, Reflection, Practice: Place Value: Problem Solving and Written Assessment.Teaching Children Mathematics.2002, 8(7),pp.419-423.；早期位值概念理解缺失会对未来更复杂的运算过程产生不利影响(3)K.Moellera,S.Pixnerc，J.Zuberb,et al.Early Place-value Understanding as A Precursor for Later Arithmetic Performance—A Longitudinal Study on Numerical Development.Research in Developmental Disabilities.2011，pp.1837-1851.；位值概念还是区分数学困难儿童和非数学困难儿童的重要因素(4)Becky Mee-yin Chan，Connie Suk-han Hob.The Cognitive Profile of Chinese Children with Mathematics Difficulties.Journal of Experimental Child Psychology.2010,pp.260-279.。因此，探析小学生对位值概念的理解与影响因素，有助于发展其四则运算能力，能为教师进行位值相关内容的教学提供指引。

一、位值的产生、内涵及理解

(一)位值的产生

数，是对事物存在方式的表达。当要表达的存在方式变得有限时，人们就给它们每个取一个单独的名称，例如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。然而，存在方式无穷无尽，不可能用无穷无尽的单独符号名称去表达它们，于是产生了位值制记数法。位值制记数法能用有限的符号名称与无限的有序空间位置的组合来表达无穷多的存在方式。用空间位置的无限性，对应存在方式的无穷尽，从而避免对无穷多存在方式给出无穷多单独命名的麻烦。位值制中，使用的有限符号名称在一个位置上不够用时，就把没有命名的部分记录在更高一级的位置上。相邻的两个数位间，级别较高的数位上每增加1，就相当于级别较低的数位上能容纳的最大数(9)加上这个级别较低的数位上的“1”。例如，十进制记数法中，由于对超出“9”的部分没有单独的符号名称来表达，所以将“6+7”超出“9”的部分写在十位上，最终描述为“13”。

现在采用十进制是通用的印度—阿拉伯数字体系，即“逢十进一”，因为人有十根手指，人们习惯于十个一组，最终十进制就形成了。随着十进制的形成，位值逐渐被发明。一个数字表示的数要根据它的位置而定，即使较高的单位也不需要去创造新的符号，仅通过将符号放在不同的位置上就可以表示不同的含义。完整的位值制要包括0，0不仅是数字符号，还表示占位符号，0的出现使得自然数体系完备建立，位值记数法得到广泛流传。十进位制自然数的关键是十个数字符号和数位，其中的度量单位为“1”，因此，自然数是一个一个累计起来的。其度量单位还可以为“10”，遵循十进制中“满十进一，退一当十”的性质。省略计数单位是阿拉伯记数法的本质特征，如：365(省略计数单位)和三百六十五(未省略计数单位)，365是阿拉伯记数法，其特点就是省略计数单位。

(二)位值制的内涵

位值制是确定数字值的一种原则，指计数系统中出现多位数时，每个数字因其所在位置的不同而产生不同的数值，数值是由数字的面值(Face value)和位置所代表的值而定的。位值制即每个数字所表示的数值，不仅取决于这个数字本身，而且取决于它在记数中所处的位置。比如在十进位值制中，同样是一个数字“5”，放在个位上表示5，放在十位上就表示50(5×10)，放在百位上就表示500(5×102)，放在千位上就表示5000(5×103)。从上面的例子可以看出，记数极为重要的概念即是位值，位值包含了表记和数值两个原则，表记原则是指在数字符号中每个阿拉伯数字所在的位置各有其指定的数值；数值原则是指在数字中，相邻的两个数字的幂次关系决定数字中各个数字的位值，所以位值记数法主要指十进位制计数法。就小学学习的整数而言，十进位制自然数的关键是十个数字符号和数位，把一个正整数从右到左分成个位、十位、百位、千位等，每个数位的计数单位分别为一、十、百、千，十进位记数法就是以10为基底位值制记数法，遵循十进制中“满十进一，退一当十”的性质(5)胡重光:《十进位制计数法的本质特征》,《第一师范学报》2000年第2期,第40页。。

(三)位值概念理解

很多学者对位值概念理解进行了研究，位值概念理解主要指明确位值制中的数字构成实质。约翰·范德瓦尔(John A.Van De Walle)(6)John A.Van De Walle，张英杰，周菊美译：《中小学数学科教材教法》,五南出版社2005年版，第308页。提出对位值概念理解主要包括三个方面：知道位值是由以“十”为单位的分群组构成；能以口述和书写相结合的形式表达“十”为单位的群组概念；能用“一个一个数”、“十和一”、“群组和个别的单一数”三种方式来计数。罗杰(Roger H)(7)Roger Howe.Learning and Using our Base Ten Place Value Number System: Theoretical Perspectives and Twenty-first Century Uses.FIZ Karlsruhe.2018，51,pp.57-68.提出位值制中包括加法和乘法。十进制隐含着每个数都表示为特殊数之和：如352=300+50+2，各数字是位置值部分的总和；位值制还具有乘法结构：如300=3×100，50=5×10，2=2×1。罗斯(Ross)(8)Ross, S.R..Place Value: Problem Solving and Written Assessment.Research，Reflection，Practice.2002,pp.419-420.提出阿拉伯数字系统理解位值概念可以从四个方面入手，即：位置性、十进制、加法性以及乘法性。巴图罗(Baturo)(9)Baturo，A.R..Construction of A Numeration Model:A Theoretical Analysis.In J.Bana & A.Chapman, Mathematics Education beyond 2000(Proceeding of the 23rd Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia.Fremantle,WA:MERGA.2000,pp.95-103.也提出位值概念理解主要指从理解位置知识、基底知识、次序知识，逐渐发展成理解位值的特性，即加法性、乘法性以及单位转换知识。综合上述学者的研究发现，位值概念理解主要涉及位置知识、群组知识、分割知识、数字对应知识。如果进一步细化，包括位名认识、位置理解、数字大小、数位转化、倍数关系、典型分割、非典型分割、具体数字辨识、抽象数字辨识。

二、低年级小学生对位值概念理解的表现及错误类型

为更好了解低年级小学生位值概念的认知发展情况，以及学生对位值概念容易产生哪些错误？本研究以问卷形式对小学一、二年级440名学生进行了调查，有效问卷427份。根据罗斯(10)Ross, Sharon Hill.The Development of Children’s Place-Value Numeration Concepts in Grades Two through Five.Mathematics Education Research.Mathematics Education Research.1986，p.128.提出的位值概念发展特征的五个阶段，及凯伦·弗森(Fuson)(11)Karen C.Fuson.Conceptual Structures for Multiunit Numbers: Implications for Learning and Teaching Multidigit Addition, Subtraction, and Place Value.Cognition and Instruction.1990，7(4)，pp.343-403.的位值制理解的发展模型等设计调查工具。问卷结构设计从“数的认识”和“数的运算”两个方面入手。在“数的认识”中主要划分为四个维度，包括位置知识、群组知识、分割知识、数字对应知识，再进一步细化为九个子维度，包括位名知识、位置理解、数字大小、数位转换、倍数关系、典型分割、非典型分割、具体数字辨识、抽象数字辨识。数的运算测试分为加减法两大类型，包括常规题和非常规题两部分内容，其中常规题和非常规题又包括有无进位和借位情况。统计分析发现低年级小学生对位值概念的理解呈现不均衡样态，存在不同类型的错误。

(一)低年级小学生对位值概念理解的表现情况

1.一年级学生对位值概念理解的表现情况

以“数的认识”为考察内容，利用平均值或中位数来描述学生对位值概念理解得分的情况，描述统计分析见表1所示，四个维度平均值由大到小排列情况为：位置知识、群组知识、分割知识、数字对应知识，整体平均分有3.66分之差。位置知识平均值为22.68，正确率为75.6%，正确率较高，大部分学生位置知识能够达到满分，学生对于个位、十位、百位的位名认识清晰，并且能够对数字与数位进行准确对应，对于数的大小关系以及数的组合关系掌握较好。群组知识均值为20.24，正确率为67.5%，明显偏低一些，学生主要是对不同计数单位之间转换的掌握不佳。分割知识均值为20.05，正确率为66.8%，学生典型分割是将“25分割为20和5”，而非典型分割是“将25分割为10和15”。数字对应知识平均值为19.02，均值最低，正确率为63.4%，说明学生对于数的乘法性质掌握困难，例如“243=100×2+10×4+1×3”，学生在具体和抽象数字对应表现不佳，说明其对数字对应知识掌握较弱。

表1 一年级学生对位值概念理解描述统计分析表

从上述研究结果看，与巴图罗(Baturo)所提出的位值概念理解的三个层次以及罗斯(Ross)提出的位值概念理解的五个阶段的研究结果具有一致性。同时基于访谈也发现，学生对于位值连结数字和位置所代表的值，以及有关位名顺序的知识掌握较好，很少出现错误；而对辨识多位数个别数字所代表数值的知识理解困难，存在不同的迷思。另外，如图1所示，九个子维度由高到低排序为数字大小(13.29)、位名认识(10.85)、倍数关系(10.19)、非典型分割(10.15)、抽象数值辨识(10.13)、数位转换(10.05)、典型分割(9.90)、位置理解(9.89)、具体数值辨识(8.89)。

图1 一年级学生位值理解子维度得分折线图

由上可知，一年级学生对于数的大小比较、位置名称认识维度掌握情况较好，能够较好地对具体实物数量和抽象数的大小进行比较，通过数的方式来识别个、十、百位，能根据数位上的数字提示进行组合。对于常规分割单位以及具体的数值辨识理解存在困难，非典型分割好于典型分割，这是研究未预期到的结果，根据对学生进行访谈发现，对于常规分割一部分学生是由于学习习惯不佳，马虎急于求成作答导致错误，另外一部分学生是因为对于分割知识理解不清晰，对于知识的掌握仅停留在死记硬背层面，具体应用时很容易出现错误。具体数值辨识维度，对于数与数量的对应和转换方面，很多学生分不清“22”颗糖果中的两个“2”各代表多少糖果，访谈过程中，给学生单独呈现22，学生可以说出22是由2个十和2个一组成，说明学生对于位值内容实际的灵活运用表现不佳。

2.二年级学生对位值概念理解的表现情况

二年级学生以“数的运算”为主要考察内容，包括加法运算和减法运算两个维度，描述分析情况如表2所示：

表2 二年级学生对位值理解描述统计表

从表中可以看出二年级学生对加法运算掌握较好，均值为39.67，正确率较高为79.34%，并且大部分学生得到满分，且波动较小。说明学生对于加法运算方面的列式解题以及运算方法掌握较好。对学生进行访谈发现，其解题思路比较顺畅，对于常规习题的错误能够主动修改。而在减法运算中学生掌握情况相对存在困难，均值为33.23，正确率为66.46%，大多学生处于40分左右，在问卷调查过程中发现学生减法运算的做题速度明显偏慢，并且对于设未知数填数的问题做答困难，基础不扎实的学生解题思路不清晰，整体逆向思维较弱，存在问题也较多。加减运算两个维度之间平均分存在6.44分的差距，说明学生对于加减运算掌握差距较大。

从图2可知，无论是加法还是减法运算，学生对常规问题的掌握优于非常规问题，并且差距较大，很多教师平时重视对学生常见题目的训练，而很少练习逆向思维的题目，所以学生对于这类题目几乎没有思路，也同时说明学生对于知识本身的掌握不熟练。加减法运算两个维度之间分数差为11.84分，说明其加减运算理解存在的困难并不一致。通过学生对数的运算作答情况可以发现，他们擅长常规题目的运算，而对变式题目存在较大困难，其逆向思维和位值知识理解能力有待提高。

图2 二年级学生对位值理解维度得分柱状图

从上述描述统计分析综合来看，基于“数的认识”内容，一年级学生对于位值概念各维度掌握最好的是位置知识，对其理解一直保持着较高的水平，说明学生对于位名认识、位置理解和数字大小比较等方面理解相对深刻，为学习其他位值方面内容提供了较为扎实的基础；其次是群组知识，大部分学生能够熟练掌握“满十进一”的算法，并且知道十进制有着“习惯、便捷、继承古代计数”的优点，但大多数学生只停留在口中，不明白十进制的真正意义，很多学生都以“2、3、5、9”等进行分组；接着是分割知识，学生善于抽象数字的典型与非典型分割，但与实际问题相结合容易出现错误，说明学生还不理解这部分内容的现实意义，大多是靠算法来支撑；最后是数字对应知识，学生对于知识掌握表面化，仅改变问题的形式，就导致考察同样知识点的题目有了不同的结果。基于数的运算内容，二年级学生对于位值概念理解各维度均值由高到低排序为：加法常规问题、减法常规问题、加法非常规问题、减法非常规问题，说明学生对于加法运算掌握较好，而对于逆运算减法掌握存在较多困难，并且更习惯于常规问题的呈现方式，对于非常规问题并未建立起数学思维。

(二)低年级小学生对位值概念理解错误的类型

通过对问卷调查结果进行统计发现，根据位值内容的划分依据，低年级小学生对位值概念理解主要出现以下五种类型的错误：

1.位置知识错误

这种类型错误率相对较小，主要表现为有很少一部分学生不能准确无误地知道个位数、十位数、百位数所代表的数字，对于哪个数字在个、十、百数哪个数位上还存在问题，给出位名所代表的数字，学生不能准确写出组合数字，对于数的大小和排序的比较上还存在问题。学生对于数位、数字、数量的对应过程掌握不佳，对于题目的理解仅停留在表面，并未意识到位置不同，决定的数值也不一样，因而作答错误较多以及学生对组合数字数位意义的掌握还不够扎实。此外，学生对于“0”的意义理解不清，“0”不仅可以表示为数字，意为“没有”；“0”还可以做占位符号。虽然十位上为“0”，但并不意味着十位上没有数字，很多学生却忽视了“0”可以作占位符号。

2.群组知识错误

主要指学生对于不同数位之间的单位转换存在问题，尤其是不相邻单位换算，如1个百=100个一。学生不能明确相邻单位呈现10的次方关系，比如对于10个一=1个十，10个十=1个百。“1个十”换成“10个一”为高阶向低阶转换，“10个一”换成“1个十”为低阶向高阶转换，学生不能理解其中数值不变，单位发生了改变。学生对群组知识的掌握水平偏低，说明其对高低单位关系的转换，以及转换后数值变化的掌握不佳，群组知识的学习有待加强。访谈过程中发现学生对于知识的掌握仅停留在表面，极容易受题目提问方式和迷惑选项的影响，说明其对知识本身并没真正理解。

3.分割知识错误

根据数字所在位置，进行不同单位之间转换以及数的分解与组成(非普遍分割模式、最普遍分割模式)出现错误，说明学生对数位转换并没有准确掌握。其中学生对非典型分割下的数字转换为常规数字出现错误率较高，并且与计数器相联系时出现困难。

4.数字对应知识错误

此类错误率最高，学生无法辨别多位数中个别数字所代表的数值的知识(图像)，辨别多位数中个别数字所代表的数值的知识(文字)能力弱，说明学生对于数字所在位值进行单位间的转换，以及进行“数”的分解与组成知识的整体表现较差。

5.运算性错误

是指在答题过程中，已经找出问题与已知条件的逻辑关系，在列式和进行计算时出现错误，一方面是因为学生对于此类题目不熟悉，另一方面是计算掌握不佳。学生运算性错误占较大比例，达到30.57%，运算性错误主要包括列式错误、计算方式出现错误等方面，说明学生出现列式困难、无法将题意与问题连结以及滥用已知条件。计算方式出现错误较多，首先口算出现错误最多，其次是脱式计算，比较而言，竖式计算出现错误较少，说明学生对于基础运算仍然存在一定的问题。

三、影响低年级小学生位值概念理解的主要因素

通过调查显示，影响低年级小学生对位值概念理解的主要因素包括三个方面：位值概念结构、教科书内容和教师教学。

(一)位值概念结构

位值是计数系统中的重要内容，也是培养数感的重要途径，它简化并规范了数字符号系统和运算方式，但其内容最初理解相对抽象，尤其是面对处于具体形象思维阶段的小学生，这就意味着早期位值内容的教学充满挑战，大多数学生对于知识的掌握不具备系统性，因此对于位值概念的理解也较为模糊。可以从计数知识、数概念和数字对应知识来看位值概念的对学生理解的挑战性。

1.计数知识。对于大小、颜色等认识可以通过各种感官进行直接感知，但是对于数的认识需要进行由具体到抽象、再由抽象返回具体的过程，因为数并不是某个东西的名称，而是对于事物之间的逻辑关系。在此过程中，学生在理解对应、系列、包含等逻辑关系后才能够进行正确的计数。通过计数的学习，逐渐学会数的表示，再通过数的表示去理解数的意义，所以理解数的意义的整个过程对于学生来说较为复杂。

2.数概念。皮亚杰认为数作为一种逻辑数学知识，是指利用心智将事物之间的关系建构起来，来源于构建式和沉思式的抽象。(12)Jean Piaget.Cognitive Development in Children.Journal of Research in Science Teaching, Research Gate. net.1964,p.428.国内有学者研究认为数概念主要包括数的前置概念、数的起始概念、内嵌数概念、合成巢状数和测量单位数五个方面的内容，因此，首先要处理学生的合成、分解、比较等问题；其次，注重数列和分类的特征；再次，更加重视连续性，明白整体和部分的关系；最后是强调学生由部分向整体的转化，更加清晰“十”与“一”的结构关系。各个层面都较为抽象，并且要在前面理解消化后进入后一个层面才能够有效进行，环环相扣。

3.数字对应知识。位值概念主要从数的认识、数的运算两方面来展开，数与运算可以帮助学生培养数感，从而运用灵活的方法去做出数学判断，解决复杂问题，因此需要间接促进学生对位值的理解，能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择恰当的方法(如心算、笔算、使用计算器)实施计算的经验，这个过程比较艰难。

因此根据对计数知识、数概念和数字对应知识三方面的分析，可知位值内容本身的难度与抽象程度，是导致学生解题困难的一大原因，位值内容不利于低年级心智水平较弱的学生掌握。根据学生在解题方面的表现可以看出，学生对于计数知识、数概念和位值概念等概念性理解不佳，大多是通过记忆算法和形式，对于位值概念和算理的理解有限，并未对知识有根本性理解，大多停留在表面记忆的层面。

(二)教科书内容

位值内容并不是精确地归结为某一部分，而是渗透于数学的方方面面，教科书编排数认识这部分知识时，主要通过数的意义、多元表征、大小与排列组合、数字对应组合来渗透学生对于位值内容的学习，对应了问卷调查的四个维度：位置知识、群组知识、分割知识和数字对应知识。很显然教科书暗线渗透的培养目标要求学生掌握数的不同意义、数的多元表征方式以及数与数位、数级的对应关系等。教科书作为教师教学的主要内容，其中介作用显得尤为重要，教科书的目标要求过于遵循课程标准，而对于教师教学并非具有可操作性，导致教学实施效果不佳；其次不同版本教科书的编排结构和呈现方式不同，因此对于学生教学的侧重也有所不同。例如，人教版“11—20各数的认识”在读数与写数的过程中渗透着数位“十”和“一”的学习，开始引入计数器，将小棒、计数器与数字相对应。在学习数的认识过程中涉及数的组成，两位数中数的组成就是由几个十和几个一组成，更进一步巩固了数位的学习。在数的顺序和比较大小中，学生能够根据计数器中不同数位中的个数，来判断大小。在数学广角内容学习中，通过数字在不同数位上进行搭配，可以组成不同的数，也进一步加深了学生对于位值的理解。北师版教材渗透较多位值内容，从一年级就以古人计数的方式去渗透1颗大石头代表十，一颗小石头代表一，1根竖条代表十，1根横条代表一，以找规律的方式向学生渗透十进制的思想，为以后的正式位值概念学习做铺垫。北师版重视多元表征的展现，除了古人计数以外，还呈现珠子、积木、木棒和计数器，都在说明共同的特点，即十个为一组的特征。

不同的编排结构和呈现方式对于学生存在影响。比如，教科书结构偏向于纵向型内容，每一单元内容都是通过单纯的知识点陈列出来，各节内容之间会呈现孤立状态，某种程度上割裂了知识的整体性；对于内容编排过于紧凑，导致学生没有消化的时间，但也可能存在着很多学生过渡困难，影响学生以往认知，导致数的运算掌握不佳。在教科书编排内容方面，划分较粗略，一年级安排较少内容，导致二年级运算内容过多，教科书内容分配使学生难以达到最近发展区，不利于其对于运算内容的掌握等。

(三)教师教学

凯米(Kamii,C.)(13)Kamii, C..Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget’s Theory.Books.google.com.1999，p.323.认为数概念的理解取决于学生是否了解数字位值，即不同数位的意义，并能够再构建出相似系统。通过数数、记数多少可以抽象出数与数之间的关系,如大小、顺序、分解与组合等，概括出数的运算规律，对数运算的意义及运算律的理解也需要与实际背景相联系。这些条件的满足很大程度上取决于教师的知识水平与教学策略。

第一，教师的位值认知水平具有显著差异，很多教师知其然不知其所以然。虽然教师在课堂中都能进行位值内容的教学，但是对于位值的理解程度有限，仅限于认识到理解位值能为以后的学习奠定基础，但没能准确和清晰地解释位值含义。

第二，教师在实际教学中都普遍重视位值概念的教学，也认识到位值概念的地位和重要作用，但不同教师的教学理念和教学方法也是不同的，大多数教师按照自己对于位值知识的理解和网上教学资源，以及教师参考用书的辅助，去进行教学设计，缺乏对位值概念本身的求知与探索，以及自身对于学科知识的理解，认知水平呈现窄而浅的特点，导致位值内容的教学策略与方法也比较单一。