中美微积分教材内容建构比较与启示——以“微分”为例

王彩芬，曹荣荣，张 丽，傅海伦

中美微积分教材内容建构比较与启示——以“微分”为例

王彩芬1，2，曹荣荣1，张 丽2，傅海伦2

（1．青岛大学 数学与统计学院，山东 青岛 266071；2．山东师范大学数学与统计学院，山东 济南 250358）

从数学教育心理学和教学论的角度对中美两国微积分教材进行对比研究，发现中美两国教材在内容建构方式与建构策略、目标等方面有很大的差异，差异的背后是教育理念的不同和教学价值取向的分歧．通过对中美微积分教材内容建构的比较，得出重要启示：教材内容建构的价值取向应由教材走向学材，其建构策略应围绕学生的数学思维发展和创新能力的培养为核心而展开．

教材比较；微积分；内容建构；价值取向

数学教育国际比较研究（如IAEP、TIMSS、PISA等）表明，课程和教材对学生的学习和成就有重大影响．研究显示，“学习机会”是影响学生数学成就的一个主要因素，而课程设计与教材编写又是影响“学习机会”的重要因素[1]．因此，对中美两国微积分教材的比较研究，不仅可以窥探两国微积分教材编写背后的理念差异及其对学生的“学习机会”影响，同时也可以对中国微积分教材的编写以及微积分课程的发展起到重要的借鉴意义．

开始于20世纪80年代的美国微积分教学改革运动，对美国以及其他国家的微积分课程与教材建设都产生了深远的影响．在20世纪90年代，国家教委关于“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”项目开始实施．经过二十多年的实验与修订，各国的微积分课程和教材已趋稳定．

近几年，国内学者对中美两国不同版本、不同层次的微积分教材从教材内容、习题设计、编写特点等方面做了许多研究，取得了一定的研究成果[2-9]．文[2-3]从教材内容和案例选取、教材结构顺序以及教材表达方式等方面进行了比较研究，认为美国的微积分教材在语言表达风格、教学案例和习题设计以及教材配套服务等诸多方面值得中国教材学习与借鉴．文[4-5]对中外微积分教材的内容选择、编写特色等进行了比较研究，认为“中国教材比较注重逻辑的严谨和表达形式的数学化，而美国教材则比较注重实用性和表达形式的生动”，在利用现代信息手段、与其它学科的联系以及应用方面有重要的借鉴作用．以上研究主要是对教材文本的分析和比较，并没有深入挖掘教材作为课程载体所包含的深层次的内容[10]．这里将聚焦微积分教材编写背后的理念差异及其对学生学习机会的影响，以期对中国大学数学教材的编写以及相关课程的发展起到借鉴作用．

在下文中，将从微观角度，以微积分教材“微分”一节为例，从两个方面对教材内容的建构差异进行比较研究．第一，着眼教材文本本身，从数学教育心理学的视角对教材文本建构方式进行解读；第二，着眼于课后习题，从教学论的视角对学生的认知建构目标与过程做一番剖析．

用作比较的美国微积分教材是2004年Finney等的（以下简称美国教材），这一教材在西方教坛极负盛名，美国许多高校（例如麻省理工）的微积分课程都将其作为教材[11]．中国微积分教材是同济大学版的《高等数学》第七版（以下简称中国教材），也是由高等教育出版社出版，是中国“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，并多次获奖．其内容广度、深度与美国的Thomas微积分教材比较匹配，因此这两本教材具有较强的可比性．

1 教材文本建构方式的差异——数学教育心理学视角下的解读

课程内容是按逻辑顺序组织还是心理顺序组织，或许是教育史上争论最激烈的课程问题，也是所谓的“传统教育”与“新教育”的最大分歧所在[12]．“传统教育”主张根据学科的逻辑顺序来组织课程内容，强调学科固有的逻辑顺序的排列，至于这种逻辑对学生有什么意义则不属考虑范围．“新教育”则强调学生是课程的中心，是目的，要根据学生身心发展的特征，以及他们的兴趣、需要、经验背景等组织课程内容．对于微积分课程来说，由于其固有的学科逻辑特点，无论中国教材还是美国教材，在课程的核心内容及其编排次序等宏观层面表现出高度的一致性，课程内容都是按照微积分学科的逻辑顺序（极限、连续、单变量函数的导数、微分、积分、多变量函数的微积分等次序）进行组织．但在微观层面上，内容的构建是按照逻辑顺序还是心理顺序组织，中美微积分教材却存在着巨大差异．下面将从概念引入方式和教材内容组织方式两个方面加以阐述．

1.1 概念引入方式的差异

概念引入方式是引起中美微积分内容建构差异的一个重要因素．对于抽象概念的学习，高等数学思维研究显示向学生提供合适的“认知根源”（或“认知基础”）[13]（cognitive root）非常重要．一个好的“认知根源”能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则，即借助于所说的“认知根源”，学生可十分顺利地去做出相应的发现[14]．中美微积分教材在“微分”一节，都引入了具体的问题情境来帮助学生理解微分思想的来源．

中国教材的概念引入比较简单．首先，引入一个具体问题——求金属薄片受热后的面积改变量，其次，简单地分析了面积该变量的构成成分，接着给出微分概念的形式化定义（如图1所示）．至于微分公式是怎么来的，为何要如此定义相关的概念，教材都没有交代，从而导致抽象的微分概念与个体已有的认知结构没有产生联系．一些学者认为，此处的引例属于“特例教学，然后将特例的结论形式推广至一般函数”[2]．而特例并不具备“自动地指明相关概念的基本性质或运算法则”功能．它所体现的个体心理活动过程如图2所示[15]．

图1 中国教材的微分概念引入结构

图2 概念学习的心理活动

美国教材的概念引入则比较复杂．首先提出情境问题——如何解决复杂函数的计算问题，并分析了解决此问题的思维过程——用简单易算的切线近似复杂函数，并以学生熟悉的直观例子（局部范围内，每一条可微曲线的性态就像一条直线）展示了微分思想产生的“源”——局部线性化．其次，概括提升其中的数学思想并给出了一个过渡概念（线性化），同时教材采用图像图形、数值计算、符号推理和语言描述等多种表征方式多角度、多方位地对思想和概念进行了解释说明．最后，给出“微分”概念．其框架结构如图3所示．它所对应的心理活动过程如图4所示[15]．

从上面的分析可以看出，中美教材都试图通过学生熟悉的具体问题引出微分概念产生的认知根源，在此基础上抽象出微分概念并给出形式化定义．

图3 美国教材的微分概念引入结构

图4 概念学习的心理活动

相对于美国教材来说，中国教材给出的微分概念的定义逻辑上更加严密，表述上更加严谨．但从个体的认知方式上来看，其引入方式与个体已有的数学经验和基础缺乏合适的联系，忽视了个体的心理顺序与认知规律，导致学生很难在心理上正确建构微分概念．

美国教材的概念引入更多地考虑了个体的认知规律，采用了心理顺序组织内容．教材提供的情境问题（如何解决复杂函数的计算问题）是学生在数学学习中面临的实际问题，从情境问题的提出到“切线近似曲线—局部线性化思想—线性化概念—微分概念”这一连串的概念与思想将微分思想的演变过程完整地展现了出来．抽象的微分概念与个体已有的认知结构建立了充分的联系，这为学生在心理上正确建构抽象的微分概念提供了可能．

1.2 教材内容组织方式的差异

现代课程论认为，课程内容的组织不应该“固执一端”，应该注重“学科的逻辑顺序与学生的心理顺序的统一”．因为，一方面，课程内容应该考虑到学科本身的体系．学科体系是客观事物的发展和内在联系的反映．每门学科各部分内容之间都有其内在的逻辑关系，某一部分内容总是既以另一部分内容为基础，同时又作为其它部分内容之基础．一门学科本身就是一个概念体系．另一方面，课程内容是为学生安排的，如果不符合学生认知的特点，学生就难以接受，那么再科学的内容也是无效的[12]．

中国教材的编写秉承了苏联数学教材“理论体系严谨，形式抽象”的典型特点，基本按照“定义—定理—证明—例题（简称DTPE）”的单一模式撰写，突出知识的逻辑性与系统性，逻辑推理严密，数学概念与定理叙述抽象、简洁、干练，向读者呈现的是一个“静态的、完美的逻辑演绎体系”（如图5所示）．

图5 中国教材的编写框架

美国教材并不拘泥于数学概念以及逻辑上的严谨，而是重点突出数学思想的来龙去脉以及数学概念的实际应用（如图6所示），即更多地考虑个体关于数学概念的心理建构．美国教材比中国教材多了一个“线性化”概念，没有它，对微积分逻辑体系的完整性来说，毫无影响，但对学生理解抽象的微分概念来说，并不是可有可无的．借由“线性化”概念，学生可以毫无障碍地理解微分概念中微分公式的由来及其相关的基本性质或运算法则．如此的内容组织方式，表面上看繁琐、冗长，但实际上是充分考虑到了数学概念在学生心理上的认知建构顺序．

图6 美国教材编写框架

单一的DTPE编写模式往往放弃学生已有的经验与基础，排除一切不必要的与生产生活（现实数学）相联系的问题情境．就微分概念这一节而言，中国教材虽然向读者呈现了一个静态的、完美的逻辑演绎体系，但是概念背后的数学思想是怎么来的，为什么要用这种数学思想去处理此类问题，分析解决此类问题的思维方式是什么，微分概念在个体心理上的“心理对应物”又是什么，这些抽象的微分概念与个体已有的认知结构的联系与“固着点”都被删节了，因为没有它们，微分概念的逻辑体系一样完整．在单一编写模式中，数学内容的逻辑体系的完整性与严谨性是得到了保留，但是由于删节所造成的数学知识与现实生产生活的隔膜，加大了“填鸭式”灌输说教的力量，无形之中为个体建构数学概念与认同教材提供的数学思想制造了障碍．

美国教材的内容组织兼顾个体的心理顺序，凸显了数学概念发生发展的整个“数学化”过程．它强调的是“动态性”“过程性”，这与直接呈现一个“静态的、完美的逻辑演绎体系”有本质的不同．数学概念发生发展的“数学化”过程借助于学生的生活经验和认知基础，让已经存在于学生头脑中的非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，“帮助学生实现对数学的‘再发现’”．这个过程本身不仅帮助学生“学会数学地思维”“学会数学地去观察世界、解决问题”[16]，更重要的是，潜意识里向学生传达了一种不断探索、求知、创新的信念．教材的这种内容建构方式因而有可能超越灌输说教走向数学教育的“再创造”．

2 教材建构策略与目标差异：教学论视角下的解读

运用练习巩固学生对基本知识、基本技能的掌握，提高学生解决问题与综合应用的能力，增强学生的创新意识与数学素养，这是中美微积分教材共同的追求．但是，由于文化传统与教育观的差异，两者在练习的设计上迥然不同．这种不同突出反映了中美微积分教学价值取向的差异．

2.1 练习内容的差异

中国微积分教材的课后习题内容“比较单一，从数学上‘加工’得比较正规”，“就设计立意而言，中国教材的习题多以知识立意为主，立足于对所学的知识进行复习、巩固和推广，比较严谨”[3]；题量少，共分两种类型，一种是基本知识与基本技能的训练，另一种是基本概念与定理的应用．以“微分”这节为例，课后共有12个题目（如表1所示）．课后所有的题目都是数值计算题，其设计意图是对微分概念的记忆与理解，计算公式、运算法则的操练以及简单的数学应用．数学概念的应用一般都局限于数学领域内，与实际生产生活的本质性联系较少．

美国教材的课后习题体系较为庞大，练习内容丰富，具有多样化、多端性的特点．在设计意图上，习题立足于“能力立意，更注重应用数学能力的培养，比较活泼”．中美两国教材中“微分”一节的课后练习内容比较如表1所示．

2.2 认知建构目标与过程差异

微积分教材上的习题与练习对于帮助和促进学生对数学知识的认知建构，提高学生对数学理性思维的认识与创新是至关重要的．

中国教材的练习设计意欲通过关于微分概念的“基本知识与基本技能的掌握以及相关知识的应用”来帮助学生熟练地掌握微积分课程的工具性功能：用数学知识来解决实际问题．

在美国教材中，学生的认知建构目标则比较复杂．从练习设计的整体来看，它期待学生能够形成一个具有使用数学工具解决实际问题且有数学创新思维能力的人的较为全面的认知图景．美国教材课后习题设计目标清晰，具有明显的多层次性，为学生的数学知识的认知建构提供了多极视角．1—32题是基本概念与基本计算技能的专题训练，其目标隶属于布卢姆教育目标分类学中的“记忆”与“理解”层次；33—42题是数学概念在生产生活以及其它学科中的广泛应用，属于教育目标分类学中的“应用”层次；43—54题的分析、讨论、探究、拓展等属于“分析”“评价”“创造”层次．

表1 中美两国教材中“微分”一节的课后练习内容比较

记忆、理解、应用3种认知过程，被称为“刚性过程”（crystallized process），其目的是对知识与技能的掌握．而分析、评价、创造则被称为“柔性过程”（flexible process），其目的是对创新意识和创造能力的培养．中国教材的课后练习设计突出的是刚性过程，柔性过程是缺少的．但柔性过程对培养学生的创新能力来说，不是可有可无的．在柔性过程中，知识探究与拓展为发展学生的创造能力提供了合适的脚手架，为学生提供了多次思考、多次自身反省的机会，为学生实现“分析、评价、创造”等高层次教育目标提供了可能．

3 中美大学数学教材比较之启示

3.1 教材内容建构的价值取向：由教材走向学材

随着数学教育理念与数学学习理论的发展，数学教材的编制要兼顾学生心理发展的规律，这个观念已经被越来越多的教育工作者所接受，毕竟教材的阅读对象是学生而不是数学学术研究人员．但是，真正要使教材成为学材，借鉴美国的经验，在大学数学教材内容的建构上需关注以下两方面．

3.1.1 关注学生的思维过程

从认知的角度看，高等数学学习的过程本质上是高等数学思维建构的过程．从具体的自然科学到抽象的数学，再从抽象的数学到具体的自然科学，学生每前进一步都是学生思维的“再创造”过程．这个“再”指的是人类的历史，也就是重复人类祖先发现他们所掌握知识时的思维历程．这个创造并非客观意义的创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看是创造．因此，学生问题解决能力的培养本质上是高等数学思维建构过程的培养．高等数学思维区别于初等数学思维的最大特点是“准确严谨的数学定义以及在此基础之上的逻辑演绎”[17]．它很少再表现出初等数学思维的直观与形象特点，更多的是逻辑演绎推理等抽象特性．

虽然大学生的思维已经具备数学抽象与逻辑演绎推理的功能，原则上他们也能形成抽象的、概括性的形式化数学概念，但这并不是说，教师和教材就可以忽略个体的数学思维发展规律，而把现成的、完美的数学逻辑体系生吞活剥地灌输给学生．相反，以学生已有的认知结构为基础，引导学生通过合理地分析、概括与抽象，正确地建构相应的数学概念，仍是教师和教材的重要任务．在个体的认知发展过程中，数学概念的抽象与数学思维的发展形成是一个连续的过程，从具体的问题情境开始到得出一个抽象数学概念的过程，犹如“流水那样连绵不断”．为了形成一个新的数学概念，从具体问题情境开始，分析解决问题，然后反身自省整个解决问题的思维方式，概括抽象出其中的数学思想，形成或者构造出新的数学概念，并用数学语言加以表述，同时还需要在新情境中加以应用．正是经由这样的过程，学生的数学思维从模糊到清晰，从具体到抽象得以发展起来，相应的抽象数学概念得以层层建构起来．美国教材“微分”一节清晰地展示了学生学习微分概念的思维过程（见图7）．要使教材成为学材，必须在这一方面做出努力．

图7 掌握“微分”概念的过程

3.1.2 提供多种学习的脚手架

脚手架是教师帮助学生进行有效学习的有力工具．教材“通过搭建合适的脚手架可以降低学习任务的难度，帮助学生在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务”[18]．借由这种工具，学生可自主有效地学习“最近发展区”里的数学知识．“由于数学概念相对比较抽象，因此在数学概念的教学中最基本的搭建脚手架的方法是具体化”．在“微分”一节中，美国教材的编写设计了多种脚手架．为便于学生直观理解微分思想，教材引入了既具有研究性、探究性，又具有使用价值的情境问题（“如何计算复杂函数的数值？”）脚手架；为便于学生理解微分思想，教材引入“函数的线性化”脚手架．通过这个脚手架，学生就可以直观形象地理解函数的可微、微分等抽象的数学概念，以及函数可微的充分必要条件、可微的几何意义等严密的逻辑推理体系；为便于学生掌握微分概念的实际应用，教材引入了“在医学、物理学、航空航天等各种学科及生产生活中的种种应用”脚手架；为提高学生的数学思维能力与创新意识，课后练习设计了“自主探究与分析、利用计算机辅助软件探究的拓展小项目”，等等，以上各种脚手架的搭建为学生自主地完成学习任务提供了有力的支撑．教材如何突破思维定势，在教材内容中增加帮助和引导学生自主有效学习的脚手架部分，让大学数学教材从理念上、口头上的学材真正成为实践活动中的学材，真正成为学生所用的学材，真正能够促进学生数学素养的形成与创新精神的培养的学材，需要在借鉴国外经验的基础上做进一步的探索．

3.2 教材内容建构策略：以学生的思维发展和创新能力的培养为核心

微积分教材是学生学习微积分课程的最主要读物，对学生个体而言，它不仅担负着向学生传授基本微积分知识的任务，也承载着培养学生的创新思维与创新意识的功能．一本好的微积分教科书，不仅要关注数学逻辑演绎体系的完美呈现，还要关注个体的认知建构规律．要为学生的数学思维发展、问题解决的能力和创新意识的培养创造条件[19]．如果用这样的标准来衡量现有的中国微积分教材，那么可以说，现有的教材内容建构只迈出了一小步．要传授给学生的数学学术知识体系确定了，但是缺乏合适的概念引入与“认知根源”，数学概念的“空降”，数学思想生硬地灌输说教，课后练习缺少连续递进、有层次感的设计，如此种种因素，只会让学生感到数学的枯燥与难学，严重影响了学生学习的积极性．美国微积分教材内容建构的做法为中国提供了重要的启示，同样是微积分教材，他们并没有停留在简单地向学生灌输说教上，而是以数学思维“再还原”的方式来重现数学概念产生的来龙去脉，让学生经历数学知识“再创造”的过程，并设计了有利于学生逐渐递进地建构数学概念的多种练习与探究拓展项目，为学生的数学思维发展和数学创新能力的培养提供了可能，也较好地实现了微积分教材的功能．

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Content Analysis of Calculus Textbooks——A Comparison of Intended Treatment for the Concept of “Differential” between China and U.S

WANG Cai-fen1, 2, CAO Rong-rong1, ZHANG Li2, FU Hai-lun2

(1. School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Shandong Qingdao 266071, China;2. School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University, Shandong Jinan 250358, China)

This paper compared Chinese and U.S. calculus textbooks at the university level. It was found that Chinese and U.S. textbooks have great differences in terms of content construction and meaning construction goals. Differences included differences in educational concepts and disagreements in teaching values. The value orientation of the construction of university mathematics textbooks should be from teaching material to learning material, and its construction strategy should be centered on meaning construction and the cultivation of innovation ability.

textbook comparison; calculus; content construction; value orientation

G40–059.3

A

1004–9894（2021）04–0063–05

王彩芬，曹荣荣，张丽，等．中美微积分教材内容建构比较与启示——以“微分”为例[J]．数学教育学报，2021，30（4）：63-67．

2021–04–09

教育部人文社会科学研究项目——数学质疑式教学模式创新与实效研究（17YJA880020）；山东省高等学校人文社会科学研究重点项目——数学文化的拓展与应用研究（J17RA233）

王彩芬（1976—），女，山东高密人，讲师，博士生，主要从事数学教育研究．傅海伦为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、张楠]