2020年北京卷解析几何试题高等几何背景探究

北京 苏汉杰

2020年是北京新高考文理合卷的第一年，从整套试卷的试题结构和灵活性来看，与往年相比有一些创新，但是北京卷的整体命题思路没有改变，一些优秀的方面得到了很好的传承.比如第20题解析几何，既有高等几何的背景，又重点考查了先猜后证、化归与转化的数学思想和用坐标方法解决几何问题的基本解题思路，是一道非常好的题目.下面笔者对这道题目进行探究.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

第(Ⅱ)问中，变化量是过点B(-4，0)的直线l的斜率，其他的量都可以由其导出，所以运算的思路非常清晰.我们不妨设直线l的方程为x=ny-4，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆C与直线l的两个交点，直线MA，NA以及点P，Q都可以用点M和点N的坐标来表示，并最终在运算过程中替换为n的表达式，达到化简求值的目的.

详解：(Ⅰ)把A(-2，-1)代入椭圆方程，

(Ⅱ)当直线l的斜率为0时，即直线l：y=0，

当直线l的斜率不为0时，设其方程为x=ny-4，M(x1,y1),N(x2,y2)，

又x1=ny1-4，x2=ny2-4，

将①式代入，得yP+yQ=0，

第(Ⅱ)问这种变化中的不变性是射影几何的基本性质，是北京卷和其他高考试卷解析几何试题的重要背景.这些知识是高等几何的知识，考生在高中阶段是不要求掌握的.但是作为教师，如果能够掌握相关的知识，就能够做到不但知其然，还知其所以然，能够站得更高，看得更远.下面笔者来给出相关的定义、定理和有关推论：

1.交比

2.调和共轭

给定二次曲线C与点P，Q，如果P，Q两点的连线与二次曲线C交于两点M，N，且(PQMN)=-1，则称P，Q关于二次曲线C调和共轭；

(2)性质：不在二次曲线上的一个定点P关于一条二次曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线.

3.极点、极线

(1)定义：不在二次曲线上的定点P关于该二次曲线的调和共轭点的这条直线，叫做点P关于此二次曲线的极线，P为这条直线关于此二次曲线的极点.

如图，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.同理PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.△MNP称为自极三角形.

(2)性质

①如图，设点P关于有心圆锥曲线C(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，直线PQ经过圆锥曲线的中心，则有OR2=OP·OQ；反之，若有OR2=OP·OQ成立，则点P与Q关于圆锥曲线C调和共轭.

(以上一些定义、定理和性质的证明过程略，感兴趣的老师可以查阅相关资料了解详细证明过程.)

在此基础上，我们从极点、极线理论的角度来看看2020年北京高考解析几何题的高等几何背景，如图所示.

设点A，M，N关于x轴的对称点分别是A′，M′，N′，AA′与x轴的交点是B′，因为a2=8，B(-4，0)，B′(-2，0)，所以由性质①可知，点B与点B′关于曲线C调和共轭，由极点、极线的定义可知，B′是MN′与M′N的交点，B是MN与M′N′的交点，由性质②可知，直线x=-4是点B′关于曲线C的极线.下面我们需要说明直线A′M′与直线NA的交点与点Q重合，因为直线AA′与直线M′N的交点是B′，所以A′M′与NA的交点与点B′关于曲线C调和共轭，所以交点在直线x=-4上，也就是点Q.因此，由直线AM与直线A′M′的对称性可知，|PB|=|BQ|.

了解了这道题的高等几何背景到底有什么帮助呢？可以把这个结论进行迁移和一般化，这是解析几何命题经常用的方法.以下面几道北京卷解析几何试题为例来探析这几个不同题目的相同几何背景.

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；

(Ⅱ)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

分析：此题大家非常熟悉，就不再赘述其详细分析和解答过程，下面来看看它的几何背景，如图所示.

由极点、极线定义及性质①可知，M，N是一对位于椭圆的对称轴上的共轭点，|OM||ON|=a2=2，所以“存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ”.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设O为原点，直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

分析：此题可以说与上一题的背景完全相同，椭圆的方程也完全一样，只是把2015年试题中的所求|OM|·|ON|=2改成了已知.所以只有当直线l经过的定点为原点时，直线AN才能对称到AN′，此时M，N′是一对位于椭圆对称轴上的共轭点，能满足|OM||ON|=a2=2.

3.(2019·北京卷理·18)已知抛物线C：x2=-2py经过点(2，-1).

(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；

(Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

分析：理科的这道题是把圆锥曲线由椭圆换成了抛物线，求证“以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点”即证“在y轴上存在点P，使得|FP|2=|FB||FA|”当然，在计算的过程中，我们也可以转化成斜率来表示这个关系.其几何背景是|FB′||FA|=|FR|2=4，如图，B′是点B关于y轴的对称点，R是直线y=-1与抛物线的一个交点.

这三道题其实是一个几何背景，把二次曲线由椭圆换成抛物线来考(其实也可以换成双曲线)，或者对条件和结论进行变换再考，是在一个背景下考查用解析几何的方法证明同一个几何性质.由于高中阶段没有学习过高等几何的相关知识，所以对于考生来说，没有雷同之嫌，都是新的题目，这些题目都考查了解析几何中探索实践、先猜后证和化归与转化的基本思想方法.

经过这样一番对比研究以后，对2020年北京卷解析几何试题有没有什么新的想法呢？可以继续探究下去，看看还能得出哪些结论和性质，能够变换出哪些不同的题目.

变式探究：

(2)把椭圆的方程换为双曲线或者抛物线的方程，结论仍然成立；

(3)更一般的结论：在求方程时用了点A的坐标，其实在第二问时完全可以不用椭圆上的点A，而使用椭圆外的点，只要点A在点B对应的极线上，结论也是完全可以成立的.这一步的引申与前两个相比不是那么显而易见.

如图，AM与椭圆的另一个交点为E，AN与椭圆的另一个交点为F，MF与EN的交点为R，则R与A调和共轭，又因为点B对应的极线是过点A与x轴垂直的直线，所以△ABP是自极三角形，所以点B，E，F三点共线.

如图，点E关于x轴的对称点为E′，点F关于x轴的对称点为F′，点B与点B′调和共轭，所以E′，B′，F三点共线.

如图，易知M′，B′，N三点共线，因为E′F与M′N交于点B′，所以E′M′与NF的交点在点B的准线上，也就是点Q.因此，此命题成立.

(4)由上面的结论，如果把|PB|=|BQ|当成已知，就可以求证点A在一条定直线上，这又是另外一个题目了.