精研命题方向 助力高考备考——基于“八省(市)联考”数学试题的分析与解读

河北 徐 丹

2021年1月23日，由教育部统一命题进行了2021年新高考八省(市)模拟演练的联考，联考试题坚持以核心素养为导向，传承高考改革理念，突出以简致繁能力，聚焦开放命题趋势，具体而言，在引入新鲜元素的同时更多地秉承了新高考素养导向、能力为重的命题思路，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.突出考查学生的理性思维和探究创新能力.试题从基础性、综合性、应用性和创新性的角度进行了精心的设计，彰显了综合运用数学思想方法发展“四能”的意识.试卷充分体现了稳中有变、稳中有新的命题特点，助力课改突破应试教育.

一、试题总体分析

八省联考试题在题型变化上延续了对试卷内容和形式的优化，结构微创新.具体表现为两方面：一方面，与现有多选题相比，少选漏选的分值由3分变为2分，区分度更加明显；另一方面，虽然没有结构不良试题，但是第3题是逻辑推理题、第14题是一题两空、第15题是开放性试题、第16题是跨学科的推断试题；至此，新题型已全部出现.

在考查设问上，试题语言简洁，特色鲜明，言简意赅，回味无穷，以全新的角度引出问题，重点考查学生对问题的理解能力，且渗透创新应用意识和探究理解能力.多选题第10题,各选项关系并列，汇总了共轭复数和模的性质,知识覆盖面是单选题远远达不到的，意在考查复数四则运算和模的性质与实数的联系和区别，在思维定式带来的负迁移处设计干扰项；多选题第12题，同一个大背景下对多个结论进行判断，函数结构呈分式结构，启发构造几何意义和求最值；填空题第15题，开放性问题，考查学生对高中阶段函数模型的性质理解，由传统的输入变为输出；填空题第16题是探究性问题，要求学生在准确理解正态分布和设计者意图的基础上，综合运用数学思维方法分析和解决问题.

二、命题维度分析

(一)知识组合角度

试卷注重对高中基础内容的全面覆盖，主干模块的概念、公式、定理等在选择题、填空题中得到了有效的考查,其中第1题考查集合补集、包含关系和子集性质；第6题考查二项式定理和组合数公式；第10题考查共轭复数、模的性质和推演；第11题考查圆台体积公式.可以看出我们要全面把握知识，深入概念；要重视冷点知识，加强学生对抽象知识的理解，没讲透的不能避重就轻，避而不谈，将双向知识和能力细目表运用起来，加快知识循环.

(二)情境选择角度

延续了高考于情境处考查深刻、精准地反映学生分析问题、解决问题能力的风格，但略有差异，相比于2020年全国卷Ⅰ理科真题(3个)、新高考Ⅰ卷(供山东省使用)(6个)，联考试题社会实践情境(2个)减少，增加了探索创新情境和课程学习情境的比例，这是目前情境题目过热的一种冷处理，也启示教师对于新高考试题不能内容大于形式，内在重于外在.

(三)能力立意角度

高考评价体系构建的三个学科素养群，学科素养是考查理念和总体要求，关键能力是学科素养的细化和具体体现，在命题中，关键能力是具体的考查目标，是实现学科素养考查目标的手段和媒介.

联考试题延续了高考从解决常规问题转变为考查五大关键能力的风格，全面体现了评价体系的各项能力要求，运算求解能力贯穿试卷始终，逻辑思维能力(推理论证能力、抽象概括能力、语言表达能力)依然是考查的重点，直观想象能力、创新能力考查具有一定深度，在区分考生时起到重要作用.

1.逻辑思维能力

对逻辑思维能力考查的更加全面、深入.逻辑思维能力可以通过学生能否选择合适的论证方法和途径，能否用准确、严谨的数学语言表述论证的方式进行考查.如2020年全国卷Ⅰ理科12题，考查考生通过构造函数来实现恒等变形；11题，通过直观感受或是严谨推理来找到最值条件，由此实现对批判性思维能力的深入考查.全国卷Ⅲ考查的比较大小问题，突破的方向就是指对互化，要求学生进行联想，依据解题经验，在具体情境中去运用对数运算、基本不等式.可以看出命题加强了对逻辑思维能力的考查，对论证方法的适切性、严谨性、简洁性提出了更高的要求.

八省联考试题对逻辑推理能力进行了全面深入的考查，体现在第3题逻辑推理、第17题数列、第20题立体几何.第3题相互矛盾或联系点是以逻辑推理为切入点，试题面向全体考生,体现公平，与2016年全国卷Ⅱ和2017年全国卷Ⅱ相似，说明逻辑推理已经放到非常突出的位置,并且难度逐渐上升；第17题数列问题，可以利用二阶线性递推求通项公式，利用构造方程组，或是数学归纳，或是化为一阶线性递推求通项公式，为不同层次的考生提供多种途径，与2020年全国卷Ⅲ第17题一致；第20题立体几何，学生从实物图抽象为几何图形，从特殊情况上升为一般结论(归纳推理)，从直观感受上升为理性推理，从正四面体、四棱锥类比入手帮助考生理解多维图形.这是研究数学对象的基本之道，而破解此题的关键在于找到“棱数、面数”之间的关系,观察就会发现每条棱被两个平面占用.可以看出命题一方面对知识的本质理解提出了更高要求，让学生建立起知识间的内在关联，达到触类旁通，另一方面，培养学生的推理能力，提升创新思维水平.

2.抽象概括能力

在抽象概括方面，联考对抽象符号理解与表达考查的更加丰富、多维.第10题复数，尝试用代数化方法解决并不简洁，用共轭复数和复数的模的性质解决起来较为方便；第16题考查对正态分布符号的理解；第20题立体几何问题，考生通过引入变量，正确运用抽象的数学语言和求和符号进行表达.可以看出命题要求考生对问题进行实质性分析，有较强的即时获取新概念、信息转译能力和严密表达的能力，由输入变为输出.

3.空间想象能力

空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.高考命题加强了对空间想象能力的考查，对学生画图，识图，析图，用图提出了较高要求.第11题是正方体的平面展开图，需要我们折图还原图；第20题，用大兴机场的实物图引出弯曲空间和曲率；除此之外学生仍至少需要自己动手完成16个图：如第1题venn图；第4题、第21题椭圆焦点三角形、双曲线中三角形图；第5题向量分解图；第7题圆和抛物线斜率加和为0图；第8题、第9题、第12题、第22题构造函数图象；第13题画出球和圆台图；第14题、第20题正方体图、三棱锥、四棱锥、多面体示意图；第16题正态分布密度曲线图；第18题平行四边形和圆的图.可以看出我们要教会学生做图，做图比识图更需要重点培养.

三、命题理念分析

本次考试从考查专题的套路模式化转变为核心理念和通性通法，知识只是能力的载体，专题怎么考查都可以.再来看这几个题目的考查范式：17题数列，以构造性问题为载体，考查一阶、二阶线性递推数列通项公式；20题立体几何，以探究性问题为载体，考查线面关系、立体图形平面化；21题解析几何，以双曲线为载体，考查代数化思想、角度关系转化为斜率关系的转化能力.12、22题导数，以指数、三角函数为载体，考查函数与三角函数图象和性质、导数基本研究方法的理解.

从变化最大的圆锥曲线来看，课程标准对双曲线的定位是了解，但并不代表不考.本题并不超纲，因为代数化思想就是解析几何这一学科的核心思想，坐标化表示几何问题，用斜率关系表达角度关系的转化就是解决问题的关键，一是我们应该淡化技巧，赋予数学运算以合理优化之生命，提升数学思维的活力；二是在几何和代数双重视角下看“圆锥曲线”，数形结合，多管齐下；三是观念转变，圆锥曲线作为高考的主干内容，它的考查注定是灵活的、综合的，这就意味着我们不可能看过一切结论，也不可能依靠题海战术穷尽一切题型，只有把握它的本质，深入进行剖析，在扎实的理解算理和解题工具的基础上，提升运算素养，用有限的数学思想方法去应对无穷的题目，才能以不变应万变！

1.解答题顺序发生调整

本次考试17题数列难度起点较大，18题解三角形,19题概率统计难度下降回归传统，20题立体几何,21题圆锥曲线,22题导数，接连三个压轴大题，难度上升，对解答题大家的反应比较大，谈得比较多的是17题难度大的放在前面了；立体几何不是想象的那种，解析几何考查的是双曲线.其实这种迹象早有预兆，因为19年高考已经有了这样变革，心理已经有了预期，是可以接受的.要打破对六个解答题的出题位置、难度、综合程度的固定的传统的看法，不再区分保分和压轴，命题人通过调整难度比例和组合顺序，可以达到任何位置、任何模块都足以压轴的目标.但关键看专家想怎么考查，专家赋予本模块什么样的测评价值，专家认为学生对于这个模块的学习必须掌握到什么层次，以及该模块在整个试卷的比重.可见，切忌押顺序押难度，正确全面对待每一个模块复习.

2.解答题专题载体发生变化

本次考试17题数列，以构造性问题为载体；20题立体几何，以探究性问题为载体；21题解析，以双曲线为载体；12，22题以导数，指数、三角为载体.不为表面现象所羁绊，核心观念是关键.后面这三个题目释放了较强的反套路反押题信号，只要高中学过的，能用高中方法解决的都可能考查，是对高三备考盲目化、套路化、学生思维水平较低的局面的冲击.可见，切忌押内容押套路，高观点从数学的角度引领备考.难度上轮换模块出题，有意识地进行循环和利用周测细目表滚动顺序，让学生更加适应，解决学生畏难心理.

3.解答题区分合理呈梯度

解答题20题，用具体的正四面体举例将概念具体化，通过第一小问的搭建层层递进，由易到难，考查探索和换序重组求和.这题启示我们在探究能力和创新能力的培养上，不能太急功近利.教师以基础知识为载体的训练，目的在于培养学生的数学思维方式.应该是用四基四能的逐步夯实引发数学核心素养的提升，这才是根本路径.而探究能力的培养同样如此，本应该让学生经历的过程、自主探究出来的结论、探索出来的火花、暴露出来的问题，现在直接包办被二级结论、套路所替代，且造成了对老师的依赖，无法达到训练思维的效果，自然探究能力达不到要求.所以探究性能力的培养不能急功近利.实施探究案例的教学还要加强研究.

解答题22题，证明恒成立.指数函数结合两个三角函数，考查学生整体构造、合理放缩两大解题利器的理解运用.第一问考查学生如何优化解题结构、为何分段、怎么分段.充分运用三角函数有界性，选取证明方向，接下来第二段从导数突破，先看符号能否确定，若不能，再看单调性情况，推出导数的符号，再来得到函数的单调性和值域.分段的方法各有不同，言之有理即可；第二问有层次、有深度、有内涵，求的是a的值，两种途径，一种分类讨论，做出正确结果，另一种必要性探路，结合充分性证明，环环相扣，逻辑清晰.复杂在结构，突破在三角.需要培养学生具有较强的抽象概括、推理论证以及分析问题、解决问题能力.

通过这三个导数问题的演变可以发现，函数更加简单，由函数有参变为无参问题，本质都是函数最基本研究的方法.对高考研究分类不再是知识载体分类，而应该按照能力和思维方式分类.

我们要培养有数学灵魂的人，决定胜负的不在于题目的数量，而在于题目的质量和处理题目的水平，题不在多，有方法就行；题不在难，有思想就行.即使以后出现没学过的任意的一个曲线都可以研究，对高考题的研究不再是统计知识的载体模块，而应该分析处理问题的关键概念和学科理念.

综上发现，越是难题新题，越回归基础，大道至简，于平凡中见真功夫.在试题命题上注重解题思路起点低，入口宽，更加强调“通性通法”在解题中的运用，要求考生利用模块基本数学思想方法寻找解题思路，无论外化的载体是什么，其核心观念不变.

四、备考建议

2020年高考和八省联考给教学带来的不仅仅是题型改变，更重要的是理念全面革新，倡导以学生为主体，以问题为主轴，以能力提升为抓手，以素养提升为主线这样的育人观念，这在2020年高考已经逐步体现出来，这次考试也是对这一理念的继续贯彻落实和加深，坚定了我们复习备考的决心，就是思维引领课堂教学，学生思维点的生成，让学生自发思考和创新.

传统高三备考的套路和刷题正在与高考背驰，以往的机械模拟、盲目模仿将风光不再.这是对传统高考备考做法的提前预警，说明国家正在大刀阔斧地改变目前题海式的高考备考状况.新高考更注重考查考生的能力和其自身的综合素养.只要是课标要求的，都在考查范围之内.对学校来说，面对新高考，落实课程标准要求将是唯一正确的路径.

1.重视四基，需将基础夯实到位

复习中要安排回顾概念，紧扣教材，深挖概念的工作.保证学生并要求学生完全掌握，是什么就是什么，一清二楚，不存疑虑，应用准确.集合包含子集、极值点和最值、复合函数单调性、抽象函数定义域、概率统计模块的均值、方差、随机变量、超几何分布、二项分布、条件概率、贝叶斯公式、独立对立互斥、相关指数与相关系数、随机数模拟、K2统计意义、立体几何的截面、向量中的模和零向量、共轭复数和模.概念源自教材，复习过程中要回归教材.

2.重视四能，需将方法掌握到位

高考命题更加重视本原本法，强调概念和问题解决于本来面目，突出重点，狠抓通性通法，不断提高思维品质，也就抓住了高效复习的关键点.数学思想方法的领会和掌握与数学核心素养的形成有紧密的联系，数学抽象、数学推理、数学建模是数学核心素养的三个重要方面，而这三个方面同时又是数学三大基本思想.掌握了数学思想方法，并能自觉运用其解决数学问题，成为一种习惯，内化为个人知识结构的一部分，就成为了个人数学素养的一个有机组成部分.变化的题目在于其创新度，背景材料和设问角度有微型突破，但都可以通过自主分析用高中所学的知识进行解决，对主干知识的考查标新而不立异，对生活热点和数学文化的考查交叉但不过度.学生三观正、脑子活、方法多、重思维、能够在具体情境下提取出数学问题，进而从数学角度分析和解决.

3.重视理解，需将过程体验到位

教师要将学生归于中位.无论是对四基能力，还是思维、应用意识和创新意识的考查，都是在解决问题中考查的.这就需要学生具有限时训练下的理性分析能力、独立解决问题能力、快速检索大脑认知中与题目关键线索高度符合的经验链条能力、选择简便解题方法的辨别能力，逻辑严谨的表达能力，一切都靠自己，也只有自己，分析、判断、选择、更正、突围、调整、确认、实施、反检.这些能力都需要在解题过程中去学习、训练、巩固和提升，在教师的引导下进行自我反思感悟，学生要有自己的认识和理解.而我们要在考试中展示这些素养和良好心态、不屈不挠的品质，教学要将这样的机会还给学生，让学生每天都经历这样的过程，这就要真正落实“学生中心”，促进探究课案例的教学水平.

4.把思维教学归于本位

基础的极致是思维，回到母题、追根溯源、站在出题人角度来理解.课堂教学要关注思维的共性，提升思维能力，不在于数量，在于通过解题的思维活动去不断概括思维的方法，将思维的共性东西内化到自己的思维模式之中；要跳出讲题模式，要放在具体解法上、规范上、思维上是否师生一致，但更要分析题目背景的呈现，对题目深意进行深入理解和分析，对解决问题思维方法的选择判断进行解读，对学生非标准答案的合理性分析要到位，要讲出解决问题的思维过程.