整合与拓展：使习题更有生长力

文|何月丰

2020年11月19日，周四

今天教学了《梯形的认识》一课。中午和学生一起讨论了人教版四年级上册“练习十一”中的几道习题。当讨论到图1 这道习题时，以往教学的情境就自然地浮现在脑海中，这让我意识到：这道习题要好好对待。

图1

师：同学们，第（1）小题你们会分吗？我们就用画直线的方式来表示自己的剪法，试一试吧！

（在黑板上画两个平行四边形）

师：谁来展示？

我拿出三角板，示意大家只要把三角板放到黑板上表示自己的想法就可以了。此时举手的学生很多，于是我请了一位学生来演示。在这位学生把三角板在黑板上放好以后，我画出了直线。（如图2）

图2

师：我们来看一下，这样剪是两个梯形吗？

生：（齐）是的。

此时分出的两个梯形直观看大小一样，但学生的行为并没有从“一样”的角度思考，只是拿着尺子“竖着”一放。

师：你们都分对了吗？

生：我还有不一样的分法。

又看了两幅学生作品，只是剪的位置不同，但都是“竖着”的。

师：我知道你们还有很多不一样的剪法。不过老师在想，你们能不能分出两个一样的梯形？

生：（都信心十足的样子）能！

师：好，那就开始吧！

教过这个内容的教师对我这样的改变一定不陌生，因为这是这道习题经常会有的一种变式。

师：谁先来把你的方法展示给大家？

同样请一位学生到黑板上用三角板在另一个平行四边形中摆出自己分的方法，我画出直线。（如图3）

图3

师：凭什么说这两个梯形是一样的呢？你这样分是怎么想的？

生：我的想法是让这一段和这一段一样长。

根据这位学生的想法，我在图上用大括号表示出他所说的一样长的两段。（如图4）

图4

师：这两段一样长就能说明这两个梯形一样，为什么呀？

生：因为这两段一样长了，那么这两段也就一样长了。这样这两个梯形的上底和下底就一样了。

我随着这位学生的解读，进一步在图上标注，（如图5）然后与大家一起理解：平行四边形的对边相等，现在都去掉同样长的一段，那么剩下的也是一样长的，这样两个梯形的上底和下底就一样了，高也一样，这两个梯形就一样了。

图5

师：看来，这样分确实可以得到两个一样的梯形。还有不一样的分法吗？

此时举手的学生当然还有很多。其中一些学生是本来就有不一样的想法，另一些学生则是通过刚才的解释产生了新想法。于是我又请了一位学生上来摆一摆三角板并进行解释。

师：看了你们的方法我在想，这把三角板是不是可以继续旋转？

我将三角板放在第二位学生放的位置上，然后逆时针旋转一点点。（如图6）

图6

师：这样分出的两个梯形一样吗？

生：（齐）一样！

此时就不用再讲道理了，我继续旋转，继续问，如此重复几次。

师：能一直旋转过去吗？

生：（齐）能。

我略停顿了一会儿，有几位学生开始喊：不能不能！

师：为什么不能？

生：旋转到角上就不行了，这样不是梯形，是三角形。

现在学生都反应过来了，纷纷表示到角上不可以。我则继续旋转三角板到角上。（如图7）

图7

学生七嘴八舌说开了：不行不行，是三角形了。

师：看来真不行！那我现在往回旋转。

于是我将三角板开始顺时针旋转，一边旋转一边问“是不是两个一样的梯形”。等旋转到直角梯形过一点点之后，我停下了。

师：这样旋转过去一直行吗？生：到角上还是不行的。

根据这位学生的想法，我直接将三角板移动到另一条对角线上验证。

师：看来确实到这里就不行了，又变成两个三角形了。那么，在旋转到这个角上之前一直行吗？

我一边说一边晃动三角板。大部分学生还是在喊“行的”，不过也有一些学生开始意识到其中的问题。静静地观察，那些意识到有问题的学生开始举手了。

生：旋转到和左右两条边平行的时候就不行了。

师：什么意思？他说有一个时候会不行，大家自己在数学书上摆一摆。

在操作过程中，越来越多的学生发现还有不行的时候。请学生到黑板上操作，我画出直线。（如图8）

图8

师：你们为什么认为这样就不行了呢？

生：因为这个时候是两个平行四边形，不是梯形。

师：果然不行。这样一来老师想到一个问题，如果我旋转一周，一共会有几个位置不行呢？

生：（齐）3 个。

于是我将这3 个位置都画出来如图9。

图9

当我画完之后，已经可以听到一些不同的声音了：不对，应该是4 个位置！

师：什么？有4 个位置，还有一个位置在哪里呀？

学生静静观察、想象，举手的学生开始多起来了。（此时不安排操作，而是借助想象）

师：第4 个不行的位置在哪里？谁能摆出这个位置？

请一位学生到黑板上操作，她的三角板所摆的位置如图10。

图10

这位学生一摆出这个位置，没有举手的学生便恍然大悟：对哦！这样也分出两个平行四边形了。

我随着这位学生的摆法和大家的声音画出这条直线，标注第4个位置。（如图11）

图11

师：这4 个位置是不行的，另外的位置都行。现在你们认为，要分成两个一样的梯形，一共有几种方法？

生：（异口同声）无数种。

【日志解读】

回顾整个习题教学过程，在深化学生对梯形认识的同时，较好地实现了锻炼学生思维的目的。从要求学生“分出两个一样的梯形”开始，学生的学习就逐步进入了思维锻炼区。首先，面对“分出两个一样的梯形”这一要求时，虽然学生都表现出信心十足的样子，但完成这个任务确实不易（学生需要找到实现两个梯形上底和下底相等的方式，而且两个梯形的方向还是颠倒的）。在这个过程中学生必然要经历较为深入的思考，由此就产生了比较深刻的思维活动，进而实现了锻炼思维的目的。其次，在“旋转三角板”这个环节，学生需要经历观察、想象、对比等思维活动，由此才能发现三角板旋转过程中会出现分出两个三角形和两个平行四边形的情况，这对学生空间观念的要求是比较高的，思维锻炼的目的再次实现。最后，在已经可以直观看到有三个位置不能分出两个一样的梯形时，进一步思考“一共有几个位置不行”，从而发现还有一种不成功的情况，则是对学生思维的再一次锻炼。

以上便是我对这则教学日志中蕴含的教学意义的理解，主要体现在对学生的思维锻炼上。但其实，这个教学意义并不是我一开始就预设的。这道习题之所以这么教，起初只是基于自己以往教学经历的“就题论题”，即只想把这道习题教好。但在教学过程中我慢慢发现，这样教，学生的思考深入了，思维活跃了。这引起了我的反思：其中是否有法可循？于是，我细细地梳理和记录教学的过程，并从中找到了一点方法：整合与拓展。

先看整合。在前文叙述中已经提及，这道习题这么教主要是基于以往的教学经历。这是指我知道学生在后续的练习中极有可能还会遇到要求将一个平行四边形分成两个一样的梯形的习题。那么，何不在此时就将教材上的这道习题与学生后续可能还会遇到的类似习题整合在一起呢？特别是，教材上的原题过于简单，而“分成两个一样的梯形”则一下子提升了其思考的力度，两者主题一致，实现递进。因此，这样的整合就极大地增强了这道习题的思维锻炼价值，使习题更有生长力。

再看拓展。这道习题不管是“分出两个梯形”还是“分出两个一样的梯形”，教学中必然会牵涉分出两个三角形和两个平行四边形的情况，但教学最终的落脚点更多还是在如何分成功的方法上，对于不成功的方法则是点到即止，即这道习题的教学目标是使学生学会正确分的方法。对此，我在教学中不仅将不成功的情况开展“大张旗鼓”的教学，还向前走了一步———思考“一共有几个位置不行”，这在我以往的教学中是不曾出现过的，我也不曾在一些相关的习题中见到过这样的要求。因此，向前又迈出的这一步，不管是对我还是对这道习题而言，都具有拓展性。当然，更重要的是，拓展的一步再次增强了这道习题的思维锻炼价值，使习题更有生长力。

由此可见，对习题的整合与拓展才是上述习题教学中实现对学生进行思维锻炼的关键。那么，整合与拓展能否成为在习题教学中锻炼学生思维的常规手段呢？这当然是可行的。比如上面教学日志中所讲的“练习十一”第6 题的第（2）小题：在梯形纸上剪一刀，使剪下的图形中有一个是平行四边形。有一定教学经验的教师很快就能想到与此题相关的习题，如：在梯形纸上剪一刀，剪下的两个图形可能会是什么图形？如此，便可将两者进行整合。在教学过程中，进一步可以拓展认识到“在梯形纸上剪一刀，剪下的两个图形不可能是两个平行四边形”。

仔细一想，像这样同一主题下具有一定关联的习题，在我们的日常教学中是非常多见的。备课时，面对一道习题，经常性地想一想与此题相关联或相似的习题有哪些、这些习题可否整合、还能不能进一步拓展，常常能让习题更具生长力，更能锻炼学生的思维。

通过上述分析不难发现，整合与拓展其实是内在的两个抓手，而其在习题上和教学上的外在表现形式，则是变式教学。

变式教学，是中国数学“双基教学”的四大理论特征之一，“变式练习”更是已经成为了数学教育的“中国经验”之一。具体做法有很多，比如针对同一类数学问题，可以变换条件、变换问题、变换内容、变换形式、变换位置、变换叙述方式、变换解题思路等等。这样的变换在我们平时的习题教学中已经普遍存在，教师经常使用。比如在上面的教学日志中，基于整合与拓展，我采取了“变换问题”的方式开展变式教学，即将“分出两个梯形”变换成“分出两个一样的梯形”，进一步变换成“三角板能一直旋转过去吗”和“一共有几个位置不行”。

由此可见，有效开展变式教学，需要有一定的前期准备，整合与拓展无疑是一种比较好的准备方式。特别是，基于整合与拓展的变式教学，不仅仅是为了避免机械重复，即实现“在变化中进行重复，在重复中获取变化”，更是想让习题具有更强的生长力，追求“在变化中加深理解，在理解中锻炼思维”的高阶目标。