基于轨迹在线规划与跟踪律在线计算的自适应再入制导方法

赵 超， 黄盘兴

1. 中国空间技术研究院， 北京 100094 2. 北京控制工程研究所， 北京 100094

0 引 言

高超声速滑翔式再入飞行器具有飞行速度快、射程远、机动能力强等特点，可用于快响应、强突防的远程精度打击/力量投送与低成本的天地往返、太空旅游等任务，具有广阔的应用前景[1].未来高超声速滑翔式再入飞行器的任务是灵活多样的，其面临着应急返回、再入初始状态偏离标准轨迹、故障飞行、打击目标位置变更等诸多的非标称再入飞行任务，再入制导的起点或终点临时发生改变，需要采用自主自适应的高精度制导方法.

高超声速飞行器再入制导方法可分为标称轨迹制导法、预测校正制导法以及混合制导法[2-5].自适应制导方法主要有在线参考轨迹制导法与预测校正制导法两类.在线参考轨迹制导法根据当前的飞行状态在线生成一条参考轨迹并跟踪，其制导精度取决于在线轨迹规划的实时性与轨迹跟踪律的性能.SHEN等[6-7]提出了一种实时性较好的在线再入轨迹规划算法，其利用拟平衡滑翔条件，将复杂多约束的再入轨迹规划问题转化为单参数的一维搜索问题，在线求解的可靠性高，具有较好的应用前景.轨迹跟踪律有传统的PID[8]与基于现代控制理论的反馈线性化[9]、LQR[10](线性二次型调节器，linear quadratic regulator)、预测控制[11]等方法.其中，LQR跟踪方法设计简单、鲁棒性与实用性强，被广泛应用于再入制导[12-16].当前LQR的使用策略是采用稳态线性二次调节方程离线计算反馈增益矩阵，并将其存储为能量、速度或剩余航程的函数，在线制导时根据飞行状态进行插值，快速获得需要的反馈增益.对于同一飞行器的类似飞行轨迹，反馈增益矩阵不必重复计算.对于非标称再入飞行任务，若其再入轨迹与原标称轨迹的形态差异较大时，反馈增益存在一定的偏离，制导系统有必要根据当前状态在线重新计算反馈增益，提高制导精度的同时，提高飞行器的自主性与自适应性.

本文开展基于轨迹在线规划与跟踪律在线计算的再入制导方法研究，采用较高精度的规划模型进行基于拟平衡滑翔的轨迹在线规划，在线自主计算LQR反馈增益矩阵，形成一种全自主的再入制导方法，为高超声速飞行器非标称再入飞行任务的高精度自适应制导系统实现提供技术参考.

1 再入问题描述

1.1 再入运动方程

忽略地球旋转与地球扁率，高超声速滑翔式再入飞行器的再入运动方程为：

(1)

式中：状态量V、γ、ψ、r、θ、φ分别为飞行器的速度、飞行路径角、航向角、地心距、经度和纬度；m为飞行器质量，g为引力加速度，σ为倾侧角；L、D分别为飞行器的气动升力与气动阻力,

(2)

其中，q为动压，Sref为参考面积，升力系数CL、阻力系数CD为攻角α、侧滑角β、马赫数Ma的函数.

为了实现大航程飞行，高超声速飞行器的初期再入段采用倾斜转弯控制方式，侧滑角β为零.初期再入制导的任务是给出攻角α和倾侧角σ指令将飞行器从再入点导引到下一制导段的交班条件，并满足过程约束.

1.2 再入飞行约束

高超声速飞行器再入过程需要满足的约束条件包括保证结构安全的过程约束与满足飞行任务需求的终端状态约束.过程约束主要包括热流密度约束、动压约束、过载约束与拟平衡滑翔约束：

(3)

常用的终端状态约束包括高度、速度、飞行路径角、距离制导目标点的距离(剩余航程Stogo)以及航向角与目标视线角的差值(航向角偏差Δψ)：

(4)

1.3 飞行走廊

为了简化制导逻辑，初期再入段的参考攻角剖面给定为速度的函数.攻角剖面确定之后，结合公式(3)可以将过程约束转化为对高度的约束，得到以高度-速度空间描述的H-V再入飞行走廊.在H-V再入走廊的基础上，根据拟平衡滑翔条件，可进一步得到控制变量倾侧角的再入走廊.转换公式为：

(5)

将高度边界转化为对应的倾侧角边界，即可得到以倾侧角—速度空间描述的倾侧角约束走廊：

σmin(V)≤σ(V)≤σmax(V)

(6)

2 基于拟平衡滑翔的纵向轨迹在线规划

拟平衡滑翔条件用于纵向参考轨迹的在线生成.纵向参考轨迹的设计分为两段：初始下降段和拟平衡滑翔飞行段.

2.1 初始下降段

飞行器初始再入大气稀薄，拟平衡滑翔条件无法满足，故引入初始下降段.在初始下降段采用固定倾侧角飞行，对飞行器拟平衡滑翔能力不断判断，确保平滑切换至拟平衡滑翔飞行阶段.切换的判断准则为：

(7)

(dh/dV)QEGC为当前状态点(h,V)对应的拟平衡滑翔条件的斜率；δ>0为预置的小量.在初始下降段，切换条件不断被判断，直到满足转入拟平衡滑翔飞行段为止.为了避免δ取值过小导致初始下降段飞行时间过长，可以设置强制终止条件，当飞行高度低于预设值时也转入拟平衡滑翔飞行段.

2.2 拟平衡滑翔飞行段

在拟平衡滑翔飞行段在线规划出满足过程约束与终端约束的倾侧角指令曲线.

在拟平衡滑翔飞行阶段的中间点，定义一个待定的σmid，根据(σ0,σmid,σf)将倾侧角剖面表达为带上下界约束的分段线性函数：

σ(V)=

(8)

当前基于拟平衡滑翔条件的轨迹规划方法取cosγ≈1，sinγ≈0，规划模型仅考虑速度V对剩余航程Stogo的导数.传统方法在长距离飞行时存在一定的模型误差，末端高度与约束高度也存在一定的偏离.为实现较高精度的轨迹规划，本文采用三维变量的积分模型进行轨迹规划：

(9)

其中，Δψ是对大范围横向机动进行的航程损失补偿，可以根据初始点的Δψ0进行估计：

Δψ=Δψ0-Δψ0(V-V0)/(Vf-V0)

(10)

规划的目标约束为由Vf、hf组成的能量约束ef.纵向轨迹规划问题转化为在[Stogo0Stogof]积分区间内ef(σmid)的一维参数搜索问题.采用黄金分割法进行在线求解.

3 参考轨迹制导

再入飞行器的参考轨迹制导包括纵向轨迹跟踪制导与侧向制导.纵向轨迹跟踪制导根据飞行状态生成参考轨迹控制量的修正量δα与δσ，消除或减小纵向参考轨迹与实际纵向轨迹间的误差Δr、ΔV和Δγ.侧向制导用于确定倾侧角的σ符号，控制航向角偏差Δψ(或横程).

本文的纵向轨迹跟踪采用LQR技术，为了提升制导系统的自主性与自适应性，采用符号函数法进行反馈增益矩阵的在线计算.

3.1 无限时间状态定常系统线性二次调节器

在系数冻结的基础上，采用小扰动法对纵向动力学方程进行线性化，可以得到线性定常系统的状态空间表达式：

(11)

其中，y=x=[δrδVδγ]T，u=[δαδσ]T，A∈R3×3为系统矩阵，B∈R3×2为控制矩阵.

取二次型性能指标

(12)

Q为对称正定(或半正定)的加权矩阵，R为对称正定的加权矩阵.轨迹跟踪问题转化成无限时间状态的线性二次调节器问题，其最优反馈控制律为：

u=-Kx

(13)

矩阵K为状态反馈增益矩阵，可以按照下式计算得到

K=R-1BTP

(14)

矩阵P=PT≥0满足代数矩阵Riccati方程

ATP+PA+Q=PBR-1BTP

(15)

给定反馈控制律以后，当前状态的纵向轨迹控制量为

(16)

3.2 基于符号函数法的反馈增益矩阵在线计算

LQR反馈增益矩阵K的计算难点在于式(15)Riccati方程的求解.Riccati方程的求解方法中，积分法、包特法、迭代法等的计算量较大，不适合在线计算.本文采用收敛速度快、计算量小、不需选择初值的符号函数法进行在线求解.算法的具体步骤如下[17]：

(1)由矩阵A、B、Q、R构造初始哈密顿矩阵的初值H0：

(17)

(2)用迭代公式

(18)

从H0开始迭代计算sgn(Hk+1)，不断按

(19)

进行判断.

(3)计算P：

(20)

(4)判断

(21)

若式(21)满足，得到所求的P；不满足则减小ε1，返回第(2)步继续计算.

首次计算的初始H矩阵由A、B、Q、R构造，后续每次计算采用上一解算周期计算的H矩阵作为初值.

3.3 侧向制导

侧向制导采用经典的航向角误差门限Δψthreshold(V)确定倾侧角的符号.倾侧角符号反转逻辑的数学表达式为：

sign(σi(V))=

(22)

航向角偏差门限Δψthreshold(V)设计为速度的分段线性函数：

Δψthreshold=

(23)

基于轨迹在线规划与跟踪律在线计算的高超声速飞行器自适应再入制导算法框图如图1所示.

图1 基于轨迹在线规划与跟踪律在线计算的自适应再入制导算法框图Fig.1 Block diagram of the adaptive reentry guidance

4 数学仿真验证

采用与CAV-H相似的某高超声速飞行器模型进行仿真验证，其标称初始状态与再入过程约束、终端约束如表1所示.

表1 高超声速飞行器再入初始条件及过程约束、终端约束Tab.1 Initialization, trajectory constraints and terminal conditions of a hypersonic vehicle

飞行器在同一初始状态下完成向目标点1与目标点2返回的制导飞行任务.初始点距离目标1、2的星下点距离分别为8 200 km、7 000 km，称远程、近程飞行任务.

再入过程中考虑的偏差项包括初始状态偏差、质量偏差、气动系数偏差与大气密度偏差，各项干扰均服从均值为0的正态分布，3σ值如表2.

表2 飞行器再入飞行偏差项Tab.2 Deviation terms of reentry flight

标称条件下，两种工况在拟平衡滑翔飞行段的反馈增益系数K21、K22、K23随速度的变化曲线如图2.从图中可以看出，在初始阶段与接近终端的飞行阶段，远程工况与近程工况之间的反馈增益系数偏离不大，但在中间飞行阶段，各项反馈增益系数具有一定的偏离.

图2 反馈增益系数随速度变化曲线Fig.2 Speed histories of feedback gain coefficient

在PC机上，进行一次远程工况制导仿真统计LQR反馈增益矩阵在线计算的耗时，运算耗时随速度的变化曲线如图3所示.反馈增益矩阵首次在线计算的耗时为2.64 ms，其余各次计算的耗时均小于0.12 ms.

图3 反馈增益矩阵在线计算耗时Fig.3 Time consuming of on-line feedback gain matrix calculating

两种工况各进行500次蒙特卡洛打靶仿真，一次仿真结束的条件为剩余航程精确到达终端状态.绘制前200条的倾侧角、高度-速度、三维轨迹曲线，如图4～6所示，末端状态偏差散布如图7～8所示.

图4 倾侧角随时间变化曲线—远程工况Fig.4 Time histories of bank angle for long range mission

图5 倾侧角随时间变化曲线—近程工况Fig.5 Time histories of bank angle for short range mission

图6 经度-纬度-高度三维曲线Fig.6 The three-dimensional trajectories

图7 末端状态偏差—远程工况Fig.7 Deviations of terminal condition for long range mission

图8 末端状态偏差—近程工况Fig.8 Deviations of terminal condition for long range mission

从倾侧角曲线可以看出：远程工况的σmid小于近程工况，其飞行的倾侧角较小；因初始再入点状态偏差与再入过程干扰的存在，制导系统全程对制导指令进行了修正；两种工况的倾侧角符号翻转次数均为4次.经度-纬度-高度三维曲线显示，两种工况下，飞行器在初始再入过程中均有一次较大的跳跃，然后进入拟平衡飞行状态，高度平滑下降.

两种工况的末端状态偏差散布图表明：1)远程工况的末端高度偏差小于1.40 km，速度偏差小于21 m/s，飞行路径角偏差小于0.22°，航向角偏差小于4.3°；2)近程工况的末端高度偏差小于0.92 km，速度偏差小于12 m/s，飞行路径角偏差小于0.10°，航向角偏差小于4.1°.近程工况比远程工况的制导精度稍高，主要是因为近程工况具有较大的倾侧角调节范围，轨迹的调节能力也较强.

在各项干扰条件下，远程、近程工况均获得了较高的制导精度，基于轨迹在线规划与跟踪律在线计算的自适应再入制导律具有较强的鲁棒性.

5 结 论

未来高超声速飞行器灵活的再入飞行任务需要自主自适应的再入制导技术作支撑.本文利用拟平衡滑翔轨迹规划算法与LQR跟踪理论研究了高超声速飞行器的自主自适应再入制导问题，采用较高精度的规划模型进行高精度的轨迹在线规划，引入符号函数法在线求解LQR的反馈增益矩阵，形成了一种基于轨迹在线规划与跟踪律在线计算的全自主自适应再入制导方法.远程、近程两种飞行任务的制导仿真验证了所研究方法的可行性；蒙特卡洛打靶仿真结果表明，基于轨迹在线规划与跟踪律实时解算的再入制导方法具有较高的制导精度.