基于稀疏FrFT的窄带雷达目标架次识别方法

陈一畅, 熊 鑫, 王万田

(1.空军预警学院, 湖北 武汉 430019; 2.抚远雷达站, 黑龙江 佳木斯 156500)

0 引 言

雷达作为空域监视探测的主要遥感设备,早期功能主要是用于检测空中目标的有无,以及测量目标的距离、速度等物理参数信息[1]。随着现代信号处理技术的发展和无线通信速率的提升,空中飞行目标逐渐采用编队组网的形式执行作业任务,如民用无人机组网、军事多战机协同作战等[2-3]。编队目标的架次信息对于判断目标规模、分析目标意图有着重要指导意义,因此获取编队目标的准确架次信息一直以来也是现代雷达的一项重要任务。

根据雷达体制不同,现有雷达架次识别方式主要分为宽带雷达架次识别和窄带雷达架次识别两种方法。其中宽带雷达架次识别主要通过发射大带宽信号来获取群目标的高分辨距离像,进而根据不同架次目标到雷达的距离差异进行架次识别[4]。相比于宽带雷达,窄带雷达通常具有更远的探测距离,系统复杂度也更低,是现有雷达装备的主要工作模式。因此,研究窄带雷达的编队目标架次识别方法具有更现实的应用价值。但是窄带雷达受带宽限制,距离分辨率通常较低,这就使得雷达无法从距离维度识别编队目标的具体架次。现有方法大都是通过测量不同目标之间的多普勒差异来识别编队目标架次,主要包括频域分析法、时频域联合分析法等[5-7]。如在文献[5]中,采用短时傅里叶变换(short-time Fourier transform, STFT)和维格纳分布(Wigner-Ville distribution, WVD)等时频方法进行编队目标的架次识别,但是当观测时间不够时,频域分辨率较差,架次识别率不高。文献[6]针对常规低分辨雷达提出采用Radon-WVD方法在时频域对编队目标架次进行识别。然而,上述时频域类方法依然存在分辨率不高、交叉项干扰、计算复杂度高等问题。

分数阶傅里叶变换(fractional Fourier transform, FrFT)是近年来受到广泛关注的一种时频分析工具,能够描述信号频率随时间线性变化的规律[8-10]。FrFT与传统的时频分析工具如STFT、WVD均是通过傅里叶变换衍生而来的,但却有着不同的特点。经典傅里叶变换获得的是信号在频率域(与时间域完全正交)的结果,而FrFT获得的是信号在分数域(与时间域存在不正交)的结果。分数域是时频平面以角度α旋转的结果[11],通过旋转角度(即变换阶次)这一个变换参数,FrFT相较于傅里叶变换能够体现出信号在时频域的二维信息，特别适用于线性调频(linear frequency modulation,LFM)信号的分析处理,对于单一调频率的LFM信号,在特定变换阶次下的FrFT结果将呈现为一个单峰波形。而在一定观测条件下,空中目标的雷达回波多普勒频率可以等价为LFM。

将FrFT引入窄带雷达编队目标架次识别存在两个主要问题,一是FrFT阶次的估计,二是常规雷达积累时间不足导致的Doppler分辨率不高。对于编队目标的雷达回波信号,其Doppler频率在慢时间维度可以近似为线性变化,因此可以利用FrFT进行分析。但由于目标的运动参数以及相对于雷达的几何关系未知,所以回波信号Doppler的调频率也未知,无法直接运用FrFT进行分析计算。对于调频率未知的LFM信号,FrFT的变换阶次需要对应的调整,如何估计选择合适的变换阶次一直以来是FrFT的难点问题。在文献[12-13]中,FrFT分别用于不同的信号处理阶段,前者用于滤波,而后者将FrFT作为神经网络的输入预处理,但是二者都是在一定范围内通过特定步长来搜索最优的阶次。文献[14-15]提出了基于短时FrFT的时频检测方法,也是利用穷举法对最优阶次进行搜索。文献[16]提出了多分量LFM信号的参数估计算法,通过引入峰值遮隔以及采用拟牛顿的级联处理方式来提高搜索算法效率。上述方法中,一定程度上提升了搜索的效率,但是数学表达较为复杂,增加了不必要的计算量,导致其在实际使用中受到了制约。另一方面,常规预警雷达需要对较大空域进行观测,天线波束指向会在伺服分系统作用下持续旋转,单批目标被观测到的时间有限,这将使得多普勒分辨率较差,无法识别同一编队目标中不同架次之间的Doppler差异。

本文研究了基于FrFT的窄带雷达架次识别方法,针对上述两个难点问题,提出了最小熵准则下的FrFT最优变换阶次估计算法,并通过融合雷达多波门非均匀采样数据提高Doppler分辨率,确保架次信息的准确识别。FrFT的变换阶次直接影响变换后信号能量在分数阶频域的分布情况,对于LFM信号,当变换阶次与信号调频率相匹配时,变换后的信号能量最集中,即达到最优的变换阶次。熵值可以有效衡量信号能量聚焦情况,因此本文基于最小熵准则提出了一种FrFT算法。以变换后信号的熵值为最小化目标函数,并将熵值最小化目标函数建模为稀疏优化目标函数[17],通过求解稀疏优化问题估计出最优阶次,避免了全局搜索,提高了效率。同时,本文将目标的多波门数据建模为非均匀采样数据,以稀疏信号重构的方式获得编队目标的FrFT结果。仿真和实测数据处理结果表明,与现有架次识别方法相比[5-6],所提方法能够有效提高识别准确率。

1 编队目标窄带雷达回波信号模型

窄带雷达识别编队目标的架次信息主要是利用同一编队中不同架次之间的多普勒差异来进行判断,本文首先对单个目标的雷达单波门回波(即雷达天线转动一圈所观测到的回波数据)多普勒特征进行分析。图1给出了窄带雷达与空中目标的几何观测模型,假定雷达天线以角速度ω自转,目标以速度v沿直线轨迹飞行,在一个波门的观测时间T内,假定目标从A点运动至B点。θ表示目标运动方向与雷达视线方向之间的夹角,其中θ1和θ2分别表示目标在A点和B点时的夹角。

图1 编队目标飞行示意图

目标的运动导致θ角度时变,进而产生时变的Doppler频率,不失一般性,假定t=0时刻目标位于A点,则在t∈[0,T]时间内,目标回波瞬时多普勒频率可以表示为

(1)

式中:λ为雷达信号载波波长;Δθ(t)表示t时刻的夹角增量,且有θ2=θ1+Δθ(T)。在远场条件下vT≪Rref,Rref≈RA≈RB表示雷达与目标之间的参考斜距,所以有sin Δθ(t)≈Δθ(t),根据近似条件及正弦定理有

(2)

由变换式(2)可知Δθ(t)=(vtsinθ1)/Rref,代入式(1)得

(3)

为了分析Doppler频率的线性变化规律,将式(3)关于时间t求一阶导,可得

(4)

式中:“≈”在远场条件下(即vtsinθ1≪Rref)成立。从式(4)中可以看出,目标回波Doppler频率的一阶导数可以近似为与时间t无关的常数。当目标在雷达一侧飞行,未出现越过雷达时,即θ1∈[0,π/2]或θ1∈[π/2,π]时,Doppler频率成线性递增或递减变换。如飞行器速度为300 m/s,载波频率1 GHz,初始夹角θ1=45°,参考距离Rref=100 km,则Doppler调频率约等于3 Hz/s。对于编队目标,分析过程与上述单个目标类似,回波信号相当于不同时延的线性调频信号的叠加。忽略编队目标队形变换的情况,同一编队目标不同架次间的目标速度基本一致,则不同架次目标之间的Doppler频差可以表示为

(5)

图2 双机编队目标回波时频谱

2 基于FrFT的架次识别方法

2.1 基于最小熵准则的FrFT阶次估计算法

利用FrFT分析编队目标回波数据,关键在于选择合适的变换阶次。熵最早在信息论中是一种用来描述信源不确定度的物理量[18],后来被大量应用于图像与信号处理中。对于LFM信号,在不同的变换阶次下,变换得到的信号能量分布也不同,当变换阶次对应的斜率等于信号调频率时,变换得到的信号能量最集中,熵值最小,因此可以利用变换后信号的熵值最小化估计最优变换阶次。时域信号s(t)在变换阶次α下的FrFT定义[18]为

(6)

式中:FrFTα{s(t)}为FrFT算子,表示以变换阶次α对信号s(t)进行计算;核函数Kα(t,x)具体表达式如下:

Kα(t,x)=

(7)

另一方面,对于具有M个采样点的归一化的离散信号yα=[yα(1),yα(2),…,yα(M)],其熵值E定义[17]为

(8)

FrFT的变换阶次与时频轴旋转角度相关,因此具有周期性。根据式(6)和式(8)可知,离散信号的FrFT结果的熵值也随变换阶次周期性变换,文献[10]中指出变换阶次的周期为4,且在[0,2]和[2,4]之间对称。以LFM信号y=exp(j5t2)为例,计算不同变换阶次下所得的FrFT结果的熵值,如图3给出了[0,2]半个对称周期内变换结果熵值与变换阶次之间的关系。

图3 信号FrFT变换结果熵值随变换阶次变化曲线

从图3可以看出,对于该LFM信号,当变换阶次为1.032时,信号的FrFT结果具有最小熵值,此时能量最集中。分析可知此时变换阶次与信号调频率最匹配,可以称1.032为该信号的最优变换阶次。因此,对于调频率未知的LFM信号,可以通过求解下述优化问题估计最优变换阶次。

(9)

为了求解式(9)中的优化问题,首先定义指数函数fp(E)对熵值进行变换:

fp(E)=Ep,p≥1

(10)

再定义如下函数:

Wp(α)=fp[(-E(α)+max(E(α)))/max(E(α))]

(11)

式中:max(E(α))表示变换阶次内的最大熵值。

通过式(10)和式(11)的变换,可以将半周期内的熵值曲线转变为归一化的单峰曲线,而p值的选择对峰值的陡峭程度有直接关系。图4给出了不同p值下函数Wp(α)的结果图,可以看出随着p值的增加图像也变得更加纤细,函数的稀疏特性越明显,在最优阶次处的函数值为1,其他阶次下的函数值趋近于0。

图4 不同p值下函数Wp(α)曲线

经上述分析可知,通过式(11)的变换后信号具有稀疏性,基于此可以构建稀疏框架来优化求解峰值及其对应的变换阶次(即估计最优阶次),具体算法流程如下。

步骤 1设置步长Δd,根据步长对变换阶次在[0,2]的半个周期内进行均匀采样,得到包含M个采样点的变换阶次采样向量,记为A=[0，Δd，2Δd，…，2]T,每一个采样点均对应一个变换函数值,记为向量W,求解出W即可估计出最优变换阶次。

步骤 2随机抽取A中的L个采样值得到稀疏变换阶次向量As,则As变成长度为L的向量(其中L≪M),随机抽取过程可以描述为矩阵相乘运算As=ΦA,其中Φ被称为观测矩阵,是一个大小为L×M的部分单位阵。

步骤 3将稀疏变换阶次向量As的每一个采样值依次代入式(10)和式(11),得到对应的稀疏观测向量Ws,易知Ws=ΦW。

步骤 4根据压缩感知理论,可以利用稀疏优化算法(本文采用平滑L0算法[19])求解式(12)得到稀疏解W:

min‖W‖0

s.t.|Ws-ΦW|2≤ε

(12)

关于该算法,有以下几点需要说明。

(1)步长Δd的选择。步长Δd是指在半周期区间内搜索最优值的步长,选取太大会造成可接受误差范围过小,使得置信度降低,甚至无法找到最优阶次,选取太小又会导致消耗时间增加。根据经验步长Δd一般取0.001,此时旋转角误差保持在±0.003°的范围内均可以得到与最优旋转角度一致的结果。此外,传统算法需要对变换阶次采样向量A的每一个值分别计算FrFT,而本文提出的算法仅需要对随机采样向量As的值计算FrFT次数,因此运算量显著下降。

(2)稀疏变换阶次向量长度L的选择。L选择越小则搜索时间会越低,可也会导致识别结果偏差增加,此时增加式(10)中指数函数的p值大小来进一步逼近稀疏函数也能带来置信率的提升,通常令L=M/2,同时选择p=2可保证置信率接近100%的同时耗时最少。

2.2 编队目标窄带雷达多波门回波数据架次识别方法

对于常规窄带防空雷达,需要雷达对全方位警戒,天线波束时刻在转动,因此目标在天线一个转动周期内(即一个波门)被观测到的时间较短,很难获得足够的多普勒分辨率,因此在一个波门内完成编队架次分辨较为困难。以常规天线6圈每分钟的转速为例,一个波门内常规目标有效观测时间只有短短的0.1 s甚至更低,因此有必要综合利用多圈(多波门)信息完成架次分辨。事实上,多波门数据相当于雷达对目标的分段非均匀观测,可以利用稀疏的方法进行处理,本文称之为多波门稀疏FrFT(multi-gate sparse FrFT, Mul-SFrFT)方法。

假设雷达长时间观测数据经过脉压处理后得到回波矩阵S,令其FrFT后的结果为ys,则矩阵形式下的FrFT可以表示为

ys=ΦFrFT(α)S

(13)

式中:ΦFrFT(α)表示变换阶次α下FrFT矩阵。因为需要综合多波门回波数据,本文根据目标回波时钟引入非均匀采样矩阵Λ。

图5给出了处理雷达多波门回波数据的示意图,由纵向距离单元和横向脉冲接收通道组成的非均匀采样矩阵Λ处理每圈回波信息矩阵,其中纵向根据需要选取合适的距离单元长度且对于不同圈应选取相同的距离单元长度,横向对应连续的接收脉冲通道,由采样时钟决定,所以综合处理多圈的回波数据后可以得到实际多波门回波数据矩阵X。

图5 多波门数据处理示意图

实际多波门数据与假定的长时间观测均匀采样数据之间的关系为

X=ΛS

(14)

需要注意的是,引入多波门信息后,由于不同波门之间观测间隔较长,因此距离徙动不可忽略。得到目标多圈综合回波X后,需要预处理存在的包络漂移,本文利用互相关法完成包络对齐,并提取能量最集中处距离单元的数据记为Xi,此时根据FrFT结果的稀疏特性,可以构建压缩感知模型,综合式(13)和式(14)可以得到

(15)

min‖ys‖1s.t.Xi=Ψys

(16)

得到ys后根据峰值的个数得到编队目标架次信息,综上所述窄带雷达多波门回波数据架次识别方法流程图如图6所示。

图6 窄带雷达多波门回波数据架次识别方法流程图

需要指出的是,本文所提方法根本上是利用编队目标之间的多普勒差异实现架次识别,需要多脉冲累计,而对于脉内信号波形没有强制要求,因此可以适用于各种窄带雷达波形。

3 实验分析

为了分析和验证本文所提方法的性能,本节分别利用仿真数据和实测数据进行了实验分析。

3.1 仿真数据验证与分析

首先进行仿真数据实验。雷达基本参数设置如下:雷达载频为2 GHz,带宽为1 MHz,脉冲宽度为50 μs,脉冲重复频率为500 Hz。利用第2节所提方法,针对以下两种不同情况进行分析。

情况 1双机编队目标以150 m/s的速度来袭,双机横向距离为30 m,雷达与目标中心斜距为100 km,目标速度方向与雷达目标连线之间的初始夹角为78°,示意图如图7所示。通过前文理论分析可知,理论上,编队目标回波数据在时频二维空间的分布应该呈现为与编队目标架次数量相等的直线,而在分数阶频域应该呈现出与编队目标数量相等的峰值。下面利用不同方法处理三波门回波数据,获取目标架次信息。图8给出了不同时频分析方法的结果图像。其中，图8(a)为回波直接的傅里叶结果图,图8(b)为利用STFT的结果图,图8(c)为WVD结果图,图8(d)为本文所提方法的处理结果图。

图7 仿真编队目标几何分布示意图

从图8(a)的仿真结果图可以看出仅对回波的多普勒函数进行快速傅里叶变换(fast Fourier tranform, FFT),无法在频域得到有效的编队架次信息,因为两个目标各自产生的Doppler存在一定的展宽,并且混叠在一起。根据图8(b)中STFT的时频分析结果中看到,由于编队目标距离较近,两个目标多普勒函数图像发生重叠,同样很难判断目标架次信息。在图8(c)和图8(d)的结果中,均可以比较明显的读出目标的架次信息,但图8(c)中由于受到WVD自身交叉项的影响会为识别带来影响,容易造成误判,并且当目标距离再次缩小或者噪声过大时,会为分析判别带来困难,而图8(d)中本文所提方法得出的结果能够明显得呈现出两个目标的峰值。为了进一步验证所提方法的性能,进行情况2的仿真分析。

图8 情况1不同时频分析方法的结果

情况 2增加至三机编队,编队队形为等腰三角形,其他飞行参数同情况1,前后间隔分别为40 m和20 m,雷达与目标中心距离为100 km,增加随机白噪声使信噪比为-10 dB。因为FFT方法明显无法获取编队目标架次信息,在本实验中,仅对WVD变换方法和本文所提的FrFT方法进行对比分析,结果如图9所示。图9(a)为回波数据通过WVD处理方法得到的结果图,从图中可以观察到受到噪声影响,图像效果变得不佳,并且由于距离因素和交叉项的影响,很难在噪声环境下清楚的分辨编队的架次信息。但是通过本文方法得到图9(b)的结果图,能够很清晰看到噪声被压低,突出了3个明显的峰值,该图像峰值个数即目标编队的架次信息。对比图9(a)和图9(b),说明了所提方法求FrFT的准确性并且有很好的噪声鲁棒性,同时相比于全局搜索时间的1.197 s,本文方法仅利用0.334 s就得到了结果图,能够快速完成识别。

图9 情况2结果对比图

3.2 实测数据验证与分析

本节采用某型L波段窄带雷达的回波数据验证所提算法,该实测数据段为双机横向编队目标回波,目标雷达距离约为150 km,实验处理结果如图10所示。图10(a)是单波门原始数据经过脉压对消后的输出结果,图中红框内为训练的双机编队飞机,因窄带雷达距离分辨率不够,无法从距离维分辨目标架次,提取目标所在距离单元,图10(b)是对所提数据方位维进行傅里叶变换,得到该的距离多普勒(range-Doppler, RD)图像。分析可知,因为编队目标间保持相对静止的速度,且距离保持较近,仅通过RD图难以做到分辨架次。图11进行了同一批目标多波门数据的分析,图11(a)中同样给出了RD分析,已经能大致看出两架次目标的不同分布,但依然存在较多干扰。图11(b)采用本文所提的Mul-SFrFT方法对空编队目标进行架次分辨,能够明显呈现出两个目标的峰值。通过对比可以看出:采用多波门数据能够明显改善Doppler分辨率,从而为架次识别提供理论上的可能;而本文所提的方法能够明显改善识别效果,具有较好的实用价值。

图10 实测数据回波处理结果

图11 多波门实测数据处理结果

4 结 论

本文研究了基于FrFT的窄带雷达目标架次识别方法。首先基于最小熵准则,提出了FrFT阶次的估计算法,该算法能够快速准确估计出未知调频率的LFM信号对应的最优变换阶次。利用该算法,本文融合常规窄带雷达多波门回波数据,获得了编队目标的准确架次信息。仿真和实测数据实验分析表明,相比于传统时频分析方法,所提方法能够有效避免交叉项干扰、频率分辨率不足等问题,准确获取目标架次信息。