层级思辨：助推概念教学全过程——以“圆的认识”教学为例

文∣戚洪祥

概念是小学数学教学的重要内容之一，图形与几何领域的许多概念因其具有较高的抽象性，而成为小学数学教学的难点。在“图形与几何”概念教学中，如果把概念文本内容的记忆与强化当作教学的终点，一味通过机械的模仿与训练，最终会让学生远离数学。小学生在学习“图形与几何”概念时，受已有认知结构和学习能力的影响，会有些困难。此时如果教师以概念的学习过程作为载体，以关注思维发展为过程目标，激活学生已有经验，让学生经历概念抽象、发展的全过程，教学效果会大大提升。“圆的认识”一课是“图形与几何”概念教学的经典课例，也是一节“种子课”，诸多名特优教师都有自己的思考与演绎。笔者从层级思辨的视角，通过指向概念形成过程、能力发展过程、思维提升过程的三个视角，对本课的教学进行分析与重构。

一、身心谐振——从有限感知到无限抽象

数学是真实世界抽象的产物，图形世界更是如此。对于五年级学生而言，导入既要激发学生参与课堂学习的积极性，又要能深层揭示数学知识的本质。如何将导入部分设计的数学活动与圆的数学本质“到定点的距离等于定长的点的集合”相联系、相融合？如何实现“有限点的初步尝试”到“无限点的抽象成圆”？佩伯特提出了“参与思考的对象”这个概念，用以说明现实生活和数学世界中的对象如何成为大脑中的意识对象来帮助建构、检验和修正新旧知识之间的联结。[1]在学生完成独立体验的基础上，以电脑卡通人物作为“帮助思考的对象”，通过不断描点，让学生产生身心谐振的独特效果，从而促进学生对圆本质的初步感知。

•教学1

上课伊始，通过“寻宝游戏”引入，激发学生的学习兴趣。最终定格在核心问题：宝物在离大树3米远的草丛中。此时教师留白，待学生静静思考后。继续引导：如果用一个点代表大树的位置，用纸上的3厘米代表实际的3米，你能试着用一个点表示宝物的位置吗？教师给每个学生发一张半透明纸，让学生画出宝物可能存在的位置。学生完成宝物点绘制后，教师展示学生的作品，如图1所示。然后，教师将学生的作品以表示大树的点重叠、表示宝物的点不重叠的方式慢慢堆叠在一起，随着作品数量的增加(如图2所示)，启发学生思考：如果点越来越多，你将看到一个什么样的图形呢？接着通过电脑中的卡通人物不断描点，不断增加点的数量，慢慢形成一个圆形，见图3。

图1 单个学生作品

图2 多个学生作品重叠

图3 电脑演示无限点

“圆的认识”一课的引入，是围绕生活中的圆形物体进行观察引入，还是凸显圆的数学本质(到定点的距离等于定长的点的集合)进行探究引入？根据五年级学生的身心发展规律，教师最终选择后者。教师通过设计“寻宝游戏”，首先让每个学生都体验寻找定点的过程，然后借助半透明纸的堆叠，将学生绘制的点慢慢集聚到一起，引导学生头脑中的圆慢慢形成、呼之欲出。但受纸张数量、透明度的限制，还未能完全成圆。此时，借助多媒体设计虚拟的寻宝人物，参与学生的学习活动，帮助学生完成现实受限的抽象活动。教师将纸张慢慢堆叠过程中，圆慢慢浮现在学生眼前，这一过程与学生认知和经验的累积是吻合的。甚至在此过程中，点的数量“多一些”“再多一些”这一要求，与学生内心对活动的意愿也是一致的。最后，虚拟的助学人物帮助学生将圆的认识与已有经验联系起来，形成更深刻、更完备的经验植根于学生头脑中。

二、具身体验——从浅层模仿到深度建构

在传统的满堂灌的数学教学中，学生的学习就是简单的信息输入、输出和存储的过程，有人将这样的学习简单比喻为“脖子以上的学习”。 随着课程改革的不断深入，小学数学教学越来越重视“具身体验型”学习活动的设计，让学生全身心地参与这样的活动，在操作中感知、在探究中顿悟、在实践操作中慢慢形成技能。在具身参与的探究活动中，学生的触觉、视觉、听觉都能产生积极的反应，从而使新知与学生的已有经验、认知结构产生一种共鸣，让学生真切地感受成功的快乐。“画圆”对于学生来说看似简单，做则不易。将画圆的学习活动，根据目标不同进行层级设计，从而帮助学生体会画圆的动作要领，形成熟练的画圆技能。

•教学2

【第一次画圆】借助学具任意画。

教师事先给每个小组准备以下学具：硬币、有圆形孔洞的直尺、圆形透明胶带、细线、圆规等，然后要求每个学生选择物体或工具，任意画一个圆。在汇报对比中，认识圆规并初步观察借助圆规画圆。

【第二次画圆】用圆规任意画一个圆。

教师出示学习单，包括“用圆规画一个圆”“想一想，你在画圆时遇到了什么困难”“把你的困难与同桌说一说”。通过全班交流，着重解决学生画圆过程中遇到的操作性困难。同时，教师分析圆规画圆的过程，认识“定点(圆心)”“定长(半径)”，以及“直径”等知识。

【第三次画圆】圆规画指定大小的圆。

教师引导学生：①确定圆心的位置，并用字母O表示。②画一个半径为3厘米的圆，并任意画出一条半径。③和同桌交流怎么画。教学过程中，让学生重在体会游戏中的大树、画圆时圆规针尖所在的位置就是圆的圆心，“距离3米”“圆规两脚之间的距离”就是圆的半径。

第一次画圆体验，让学生感受借助圆形物体描圆过程中的“所见即所得”，工具画圆过程中的“所思亦可得”。第二次画圆体验，直面学生圆规画圆的操作性难点，引导学生在交流中解决困难，形成初步的画圆技能。在学习了“圆心”“半径”之后，教师安排第三次画圆体验，既巩固画圆的技能，又感知圆的特征与画圆操作之间的内在联系。在数学教学中，教师应该根据知识内容、组织形式、活动目标、操作材料的不同，进行层级设计，尽最大可能去增加学生体验的环节或延长学生感受的时间，使学生能够进行身心融入的具身学习，将“脖子以上的学习”转变为“全身心的学习”。

具身认知理论认为“学习是全身心参与的过程，具身体验应为知识有效获取不可缺少的途径，其知识建构应该依赖于学生自身的感知、体验及由此产生的对外界事物的解释”[2]。对于“画圆”这种体验性较强的技能型操作活动，教师如果单纯地依靠言传、演示讲解的方式进行教学，容易固化学生的思维，使学生的学习停留在浅层描摹和动作模仿之中，难以对多种画法进行深度辨析，更难以形成圆规画圆的技能。

三、境脉想象——从静态读图到动态成像

爱因斯坦说过，“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切”。许多人在生活中观察几何图形时，往往把它看成可视、静止、固定的，很少有人用一种动态、发展的眼光去观察它们。在特定的情境之下，用动态的眼光去观察图形，既可以培养学生的数学想象力，又可以帮助学生形成一种观察生活的数学视角。“圆的认识”一课的练习环节，许多时候会设计一些基本练习，比如“关于圆特征语句的判断”“在一个圆中画好一些线段，找出直径与半径”“利用直径与半径的长度关系进行互算”。这样的题组练习，把知识从情境中分离出来，进行纯数学知识的判断与演绎。虽说可以提升学生对基础知识的掌握和记忆，但长此以往，此种教学方法的枯燥、乏味慢慢就会成为数学的代名词。

•教学3

【练习环节】首先出示规格为6英寸(15.2厘米)的双拼比萨图和规格为9英寸(22.8厘米)的四拼比萨图各一幅，让学生借助今天所学的知识，任选一幅图进行介绍。学生在表述这两幅图时主要通过三个方面。①根据“规格”直接说出直径的大小，从而推算出半径的大小。②理想状态下的 “双拼”“四拼”指平均分成2份或4份，那么一定要沿着直径或半径进行分割。③四拼比萨的多条分割线在比萨中间会有一个交点，那就是圆心。

教师接着出示小狗被拴在木桩上的图，并给出“绳长5米”的信息，让学生思考，然后进行分析。学生表述这幅图时，引导学生着重强调：当小狗把绳子拉直并进行跑动时，其运动的轨迹就是一个圆形，而拴着绳的木桩就是这个圆的圆心。教师根据学生回答，借助电脑动画展示运动过程，并拓展“草地上正在喷水的旋转式龙头”“钟面上运动的指针”等，让学生进一步体会动态成圆的现象。

脱离情境的纯文本式练习，容易陷入题海战术。课堂练习要想真正实现其巩固提升的功能，应更多地将知识置于真实的任务情境中，否则练习不会有效、不会深入。“读图时代”的到来，不论是教材上的习题，还是各级、各类学业水平检测试题，都越来越注重生活场景类图片的嵌入。静止的双拼、四拼比萨图，与学生的生活实际密切相关，通过想象它平均分的过程与结果，从而感受到半(直)径的特征、关系以及现实意义，让本不可见的知识变得可视。动态成圆的生活场景创设，既激发了学生的学习兴趣，又鼓励了学生用运动的眼光去观察、去想象。由静到动的过程中“圆”呼之欲出，并深深地印在了脑海中。在练习阶段，将不同的情境分层引入，进行整体设计，不但可以丰富知识的运用载体，弥补传统数学学习的不足，还可以更好地促进学生创造性思维的发展，这对提高学生数学核心素养有着重大的意义。

四、拓展应用——从概念理解到主题探究

“图形与几何”的概念教学常常因为空间上囿于教室，主观上知识本位的影响，而仅仅停留在“识记”与“理解”的层面。根据布鲁姆目标分类法，“识记”“理解”对应的学习仍属于浅层学习，只有达到“应用”才具有深度学习的意蕴，也才有可能实现“分析”“评价”“创造”等更高层次目标。概念教学应该从封闭走向开放，从课内走向课外，追求高水平目标的达成。教师挖掘数学概念、社会生活、儿童经验之间的融合点，通过课前的问卷调查、课中的引思提问等方式，生成一些围绕概念本质的问题驱动式学习主题，让学生自主选择主题并构建课外学习共同体进行小课题研究，从而让学生的学习走出教室，走向真实的生活世界。通过讲解圆在生活中的广泛应用，对其应用进行儿童视角的筛选，形成系列学习主题，供学生自主选择；让学生通过成员之间的共同探究，感受成功的喜悦。

•教学4

教师为学生提供可选主题：①校园里的窨井盖为什么要做成圆形？②运动会时，运动场上的大圆是怎么画出来的？③五年级的王明同学在信息课上，利用图形化编程绘制了两个圆(如图4和图5)，他是怎么画圆的？让学生进行探究。教师也可以引导学生进行提问，如“为什么车轮都是圆形的”“学校操场中间的大圆是怎么画出来的”“学校圆形花池的正中间有个喷泉，那个圆心是怎么找到的”“‘无心绘圆’是什么意思？那么没有圆心怎么画圆”。

图4 程序绘圆

图5 头像围圆

从课内的基本概念提炼出课外学习主题，开展数学、生活与儿童“三位一体”的探究性学习，使得概念学习从“理解”走向更高层次的“应用”“分析”，甚至是“创造”。学习主题的凝练源于学生，与学生的经验、能力相适应，与传统的探究性学习相比，这样的学习主题更能激发学生主动参与、勤于探究的热情。在探究性学习过程中，教师应关注每一个学习共同体的研究进程，当学生碰到困难向教师求助时，教师应及时为其提供合适的脚手架，与共同体一起解决问题，而其余的时间教师应保持旁观者的沉默。在成果汇报时，学生借助小论文、数学小报、PPT等形式进行班内宣讲，相同主题对话交流、取长补短，不同主题仔细倾听、质疑问难。这种基于儿童经验、来源于数学、根植于生活问题的探究性学习，既可以实现对数学知识的深度理解，还可以实现知识的实践应用，提升学生应用数学知识解决实际问题的能力。