用样本空间刻画随机现象定义随机事件的概率发展学生的随机观念

2021-07-15程海奎章建跃

数学通报 2021年5期

程海奎章建跃

(1.河北师范大学数学科学学院050024；2.人民教育出版社课程教材研究所100081)

概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力.通过对随机现象(主要是古典概型)的分析，在构建研究随机现象的路径、抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、发现和提出概率的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、应用概率知识解决实际问题的过程中，帮助学生逐步形成认识随机现象的思维模式，促使学生学会辩证地思考问题，提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算素养.

1 课程定位

课程标准指出，本单元学习可以帮助学生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件等概念；通过计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解；通过解决一些简单的实际问题，提升数学抽象、逻辑推理和数据分析、数学运算素养.

课程标准首次引入样本点和有限样本空间的概念，为用数学语言描述随机现象和随机事件提供了工具.课程标准提出，本单元主要研究有限个可能结果的随机现象，强调应通过古典概型，引导学生认识样本空间，理解随机事件发生的含义以及概率的意义.

2 课程标准提出的内容与要求

2.1 随机事件与概率

(1)结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.

(2)结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

(3)通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.

(4)结合实例，会用频率估计概率.

2.2 随机事件的独立性

结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型，利用独立性计算概率.

课程标准提出的上述内容和要求，实际上也给出了研究概率的基本路径：

首先，通过具体实例抽象出样本点、样本空间的概念，并将样本空间的子集定义为随机事件，再利用集合的关系和运算研究事件的关系和运算，从而为概率的定义准备好数学工具.

然后，按照“概率的事实(随机现象)——古典概型的特征、定义及计算——概率的基本性质——频率的稳定性、随机模拟——事件的特殊关系(独立性)、利用独立性简化概率计算”的路径展开对概率的研究.

3 本单元的认知基础分析

概率的研究对象是随机现象，这对学生来说比较陌生，但概率的结论是确定的，所以，研究确定性现象的一般方法同样适用于概率的研究.例如，类比研究函数的一般路径，可以构建研究本单元的整体架构.

另外，等可能条件下求随机事件的概率、频率估计概率等知识，学生在初中已有初步认识.集合的概念与集合的关系和运算，为描述随机现象的数学模型——样本空间、随机事件、事件的关系和运算提供了必要的认知基础.

4 核心内容的理解与教学思考

本单元的核心内容包括：预备知识、古典概型、概率的基本性质、事件的独立性、频率与概率的关系.下面从内容本质的分析入手讨论这些内容的育人价值以及教学中需要注意的问题.

4.1 预备知识

4.1.1 随机现象、样本点、有限样本空间的概念抽象

随机现象是指在一定条件下不能事先预知结果，一次观测结果的发生具有随机性，大量重复观测下各个结果发生的频率都具有稳定性的现象.

面对随机现象，我们首先通过观察随机现象(随机试验)的所有可能结果，并用适当的符号表示结果；再将所有可能结果看成一个集合，从而构建起试验的样本空间；然后根据随机事件发生的意义，定义随机事件是样本空间的子集.

样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合.样本点的概念是描述性的，在具体的随机试验中，如何确定样本点，遵循的原则是：(1)样本点不能再细分；(2)如果是古典概型问题，则要保证各样本点是等可能发生的，便于确定事件的概率.

例如，抛掷一对骰子，看成有6×6=36个样本点，每个样本点用有序数对表示，建立样本空间Ω={(m,n)|m,n=1,2,3,4,5,6}，在这个样本空间中，所有的事件的概率都可以确定.如果要求“两个点数之和为5”的概率，把“点数之和为k”(k=2,3,…,12)看成样本点，样本空间为Ω={2，…，12}，这对确定事件的概率没有任何作用.

对随机试验，用适当的符号表示试验的样本点、列举样本空间，既是重点也是难点.不同的随机试验，样本空间的复杂性有很大的差别.在教学中应从最简单的试验开始(例如，抛掷一枚硬币，抛掷一枚骰子，抛掷两枚硬币等等)，引导学生经历用语言描述试验的基本结果，并用符号表示，进而思考更简洁的表示等过程，同时要提醒学生考虑等可能性.

例如，列举“抛掷两枚硬币”试验的样本空间.

语言描述：两个正面朝上，两个反面朝上，一个正面朝上一个反面朝上，但这3个结果不是等可能的.借助树状图，容易看出只有看成4个样本点时，才是等可能的.

字母表示：用h表示正面朝上，用t表示反面朝上，样本空间包含4个等可能的样本点：tt,th,ht,hh.

数对(串)表示：用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，样本空间包含4个数对或数字串Ω={00,01,10,11}.

把简单的问题看透了，对于较复杂的试验，按模型归类，就可以化复杂为简单.例如：

掷一枚硬币，观察新生儿性别，射击命中与否，产品抽样检验是正品还是次品等，这些试验的样本空间具有相同的结构；

抛掷3枚硬币，抛掷3次骰子，观察三个元件构成电路是否通畅等，都是3次重复试验的问题，类似的可以得出n次重复试验的模型.

相同结构的样本空间要关注样本点是否等可能.

重复掷硬币、掷骰子、生日问题、放球入盒问题、两人比赛问题都可以化为有放回摸球问题；抽签问题、随机抽样问题等都可以化为不放回摸球问题.

这里还可以引导学生进一步思考：对有两个可能结果的试验，为什么选择用“0”和“1”表示？

对于只有两个可能结果的试验(伯努利试验)，选择任意两个不同的字母或数字都可以描述试验的结果，但采用0和1表示试验的结果不仅仅是追求简洁，而且有其实际意义，会给后续研究带来极大的方便.

4.1.2 随机事件概念的抽象

初中的概率中将随机事件描述为“在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事情”，有了样本空间的概念后，随机事件可以用样本空间的子集表示.从语言描述到样本空间的子集表示，思维跳跃很大，抽象度高.如何使学生理解“随机事件”的数学描述？关键是结合简单的随机试验，理解事件发生的含义是什么.例如，掷一枚骰子，事件“掷出的点数为奇数”发生的意义是什么？彩票摇奖，事件“摇出的球的号码是3的倍数”发生的意义是什么？通过归纳，使学生认识到事件的发生当且仅当满足某种条件的样本点出现，所以事件可用样本空间的子集表示.

事件A是样本空间的子集，事件A发生当且仅当A中的某个样本点出现.这对理解空集是不可能事件，Ω是必然事件，以及理解事件的关系和运算的意义至关重要.

4.1.3 事件的关系与运算的意义

事件是样本空间的子集，类比集合的关系和运算，可以发现和提出研究事件的关系和运算的问题.这里要以简单的随机试验为例，由特殊到一般给出事件之间的包含、互斥、互相对立的含义，以及事件的并、交运算的含义.还可以从集合论角度，根据事件发生的意义来认识.

例如，两个事件的并事件的意义：两个事件A和B的并集A∪B仍然是Ω的子集，它是随机事件.A∪B发生当且仅当A发生或B发生，或者说A和B至少一个发生.

用简单事件的运算表示复杂事件，是概率学习的一个难点，采用不同的语言转换，通过多种不同的方法，可有效地突破这一难点.

例1设计考察 “两个元件组成的并联电路的工作状态”的简单问题情境，抽象出样本点、样本空间，并研究事件的关系及运算.这个问题情境简单但内涵丰富，可以让学生思考很多问题，例如：

(1)“电路的工作状态”的含义是什么？

(2)如何表示这一随机试验的样本点？样本空间含有哪些样本点？

(3)如何用不同的语言表述基本事件？

(5)如何从基本事件出发构建随机事件？如何用集合的关系表示所列事件的关系？如何用事件的运算得到新的事件？等等.

例2设A，B是两个事件，如图1所示，如果A，B将样本空间分割为四部分，则

图1

(2)“A和B同时发生”=AB；

由此得

(1)根据事件的关系与运算的意义理解.事件A和B至少一个发生的对立事件为两个事件都不发生.

(2)结合并联(串联)电路(图2)是否是通路来认识.

图2

“电路是通路”与“电路不通”是互为对立事件.

(3)借助Venn图理解(参见例2).

(4)通过两个集合互相包含进行严格证明(不要求).

4.2 概率的古典定义

4.2.1 概率定义的严谨化过程

4.2.2 概率的定义

对于有限样本空间，概率的公理化结构为：设随机试验E的样本空间为Ω，随机事件是样本空间的子集，所有事件构成的集类F称为事件域，定义在事件域F上的“集合函数”P称为概率，如果满足如下三个条件：

①非负性：P(A)≥0;

②规范性：P(Ω)=1；

③可加性：如果A，B∈F，且A∩B=∅，则P(A∪B)=P(A)+P(B).

对每个事件A按照某种规则赋予一个实数P(A)，满足①②③，称P(A)为A的概率.

在公理化定义中，把①②③作为公理，概率的其他性质均由这三条公理推出.

概率的公理化定义是高度抽象的，这对深刻理解问题本质是重要的，但它是以舍弃直观为代价的.因为在高中阶段不要求学生了解概率的公理化定义，所以教科书以日常生活中对随机现象发生可能性的定性陈述为基础，结合所有样本点的等可能性特点，给出古典概率定义：

设随机试验E有n个可能结果，且它们是等可能发生的，样本空间Ω包含n个等可能的样本点.如果事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.

这是基于经验的数学抽象.抽象试验的关键特征，建立概率的理论模型，计算随机事件的概率，是概率的重要研究方法之一，其重点是理解定义的合理性，只有满足所有样本点都是等可能发生这一条件，才能定义古典概型中随机事件发生的概率.这个定义既给出了概率的算法(对应规则)，也符合概率的公理化定义的要求.

4.2.3 用古典概型解决问题中要注意的问题

在解决具体问题时，判断样本点是否等可能发生是难点.可以从以下两个方面考虑：

(1)根据问题表述中所含的信息进行判断.例如，抛掷“质地均匀”的硬币，抛掷一枚“质地均匀”的骰子，从n个“大小质地完全相同”的球中随机摸出一个球等，这样的表述本身就暗含了基本结果的等可能性.

(2)对有些试验，为建立理论模型，等可能性是一种假定.例如，假定生男孩和生女孩是等可能的；随机调查一个人的出生月份，假定出生在每个月份是等可能的.

对于两次或多次重复试验，利用二维表或树状图表示试验的所有结果，也有利于对样本点等可能性的判断.对于“等可能性”，教学中必须给予足够的重视，要通过具体实例加强辨析.

因为古典概型是最简单的概率模型，便于解释相关概念，有利于学生体会概率的意义，为研究概率的基本性质提供了一个具体的案例支撑，建立事件的独立性、条件概率等重要概念，也都是以古典概型为背景的，所以教学中一定要注意发挥古典概型的直观示例作用，引导学生借助古典概型，从特殊到一般地理解概率的概念，得出概率的非负性、规范性、可加性、单调性、加法公式等性质，理解事件的独立性、条件概率等重要概念等等.

4.3 概率的基本性质

给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.因此，在给出了概率的定义后，就要进一步地研究概率的基本性质.

4.3.1 从哪些角度研究概率的性质

我们可以从以下角度进行思考：

(1)基于直观经验.例如，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，取值范围为[0,1]等.

(2)类比函数的性质.因为概率是一个映射，是自变量为集合的一种“集函数”，所以可以类比函数的性质发现和提出概率的性质.例如，类比函数的值域、特殊值、单调性等，可以从概率的取值范围，必然事件、不可能事件等特殊事件的概率，概率的单调性等角度研究概率的性质.

(3)类比度量性质.因为概率是对事件发生可能性大小的一种度量，所以可以通过类比几何的度量性质提出问题，例如类比几何度量的可加性研究概率的可加性.

4.3.2 用什么方法研究概率的性质

可采用归纳推理和演绎推理相结合的方法研究性质.例如：具有某种特定关系的两个事件的概率一定具有确定的关系.下面以互斥事件为例进行说明.

(1)设A，B是两个互斥事件，通过具体实例容易发现n(A∪B)=n(A)+n(B)，这是因为事件A和事件B不含有相同的样本点.根据定义，可以推出

P(A∪B)=P(A)+P(B)，

这就是互斥事件的概率加法公式，这是一条非常有用的概率性质.

(2)进一步地，将加法公式推广到一般情形也成立，即

如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)

=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

(3)再进行特殊化，当A∪B=Ω，即当事件A和事件B互斥时，有1=P(A∪B)=P(A)+P(B).于是又有：

如果事件A与B互为对立事件，则P(B)=1-P(A),或P(A)=1-P(B).

(4)我们还可以利用对立事件将事件“分解”为互斥事件，再利用互斥事件的概率性质进行概率计算：

总之，从概率的定义出发，类比函数的性质、度量的性质，以及联系事件的关系和运算，可以获得概率的性质的研究思路，找到探索概率性质的方法.只要我们在教学中加强引导，学生就一定能通过独立思考、自主探究，得出概率的这些性质.

4.4 事件的独立性

事件的独立性，试验的独立性，随机变量的独立性，这些都是概率论的重要概念，具有重要的作用.高中阶段主要讨论两个事件的独立性.

两个事件独立的直观意义为：无论其中一个事件发生与否都不影响另一个事件发生的概率.理论上，独立性与条件概率有密切联系，但课程标准将随机事件的独立性放在必修，而将条件概率安排在选择性必修，这就意味着要不借助于条件概率理解随机事件的独立性.如何落实课程标准提出的“结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义”的要求呢？

4.4.1 两个事件独立性的教科书设计

人教A版对两个事件独立性概念设计了如下路径：

第一步，分析有放回和不放回摸球试验，直观认识事件独立性的意义；

第二步，通过计算相关概率，发现规律；

第三步，抽象概括事件独立性的定义，进行概念的辨析；

第四步，结合古典概型，利用独立性计算概率.

下面举一个例子：

袋子中有3个红球(标号为1, 2, 3)2个白球(标号为4, 5), 从中随机摸球2次.设事件A=“第一次摸到红球”，B=“第二次摸到红球”.

(1)直观判断：有放回方式摸球，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，A和B独立；不放回方式摸球，事件A发生与否会影响事件B发生的概率，A和B不独立.

(2)两种摸球方式下分别计算P(A),P(B)和P(AB)，它们之间有怎样的关系？

=P(A)P(B)；

=P(A)P(B).

(3)从特殊到一般，抽象出两个事件独立性的概念：

对于同一个试验中的两个随机事件A和B，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A和B相互独立，简称独立.

为了概念的完备性，我们还需要讨论一些特殊情形.直观上，必然事件总会发生，它不影响任何事件发生的概率，所以必然事件和任意事件相互独立，从定义验证也正确. 同样地，不可能事件和任意事件独立.

(4)概念的辨析：事件的互斥与事件的独立的关系.

不同于事件的互斥、互相对立，两个事件的独立性要借助于概率来定义.两个事件互斥，是指它们不能同时发生，当事件A和事件B的概率都大于0时，如果已知事件A发生，那么事件B一定不发生，所以A和B不可能独立；反之，如果A和B不独立，那么积事件的概率不为0，所以A和B不互斥.只有当其中一个事件为不可能事件时，两个事件才能既互斥又独立.

4.4.2 独立性概念的拓展

后续的概率学习会用到三个或以上事件的独立性、两个或多个试验的独立性、两个分类变量的独立性.在高中，不要求对这些概念进行严格定义，只要求会直观描述和进行判断即可.那么，该如何描述呢？

对于三个事件相互独立的定义，自然想到如下两种方式：

方式一：对任意的三个事件A,B,C，如果

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

(1)

成立，则称事件A,B,C相互独立.

方式二：如果事件A,B,C两两独立，则三个事件A,B,C相互独立.

从直观意义看，如果三个事件A,B,C相互独立，它们应该两两独立，即有

(2)

但是我们可以举出(2)式成立但(1)式不成立的反例，也可以举出(1)式成立但(2)式不成立的反例.通过上面的分析，看来这两种定义的方式都不合理.实际上，将方式一和方式二相结合，可以得到三个事件相互独立的定义：对任意的三个事件A,B,C，如果(1)式和(2)式同时成立，则称事件A,B,C相互独立.

定义3个事件的独立需要4个等式同时成立，直接推广，定义n个事件独立需要2n-n-1个等式同时成立.

随机试验的独立性直观描述为各次试验的结果之间互相不受影响；两个随机变量的独立性直观描述为其中一个变量取任何值都不影响另一个变量的分布.

4.5 频率稳定到概率的教学

4.5.1 频率稳定性的地位与作用

频率的稳定性是概率论的理论基础，在概率论中具有重要的地位和作用.具体表现在：

(1)由频率的稳定性表明，事件发生的可能性大小是客观存在的，是可以度量的；

(2)大量随机事件的概率是用频率来估计的；

(3)只有理解了频率与概率的关系，才能更好地理解概率的意义；

(4)在概率的研究中，我们可以通过重复试验发现规律，进而建立理论模型，也可以用频率来验证理论模型是否合理；

(5)样本均值与随机变量的期望之间的关系，正态分布模型的建立，独立性假设检验，都是以频率的稳定性为理论依据.

4.5.2 频率稳定性的教学

通过初中的学习，学生对频率稳定到概率已有粗浅的认识.对频率的稳定性，直观描述有一定的难度，而严格的数学表达是大数定律的内容，又超出了高中生的认知水平.那么应该采用什么教学策略使学生能够有进一步较深刻的理解呢？下面给出一种教学设计的思路：

第一步，设计一个学生能操作的随机试验(例如掷两枚硬币的试验)，先让学生根据古典概型求事件A的概率；

第二步，每位同学独立做相同次数的试验，得出相应的频率，再让学生进行比较，发现试验次数相同但频率不同，从中感受频率的随机性；

第三步，逐步将试验结果按2人一组、4人一组……进行合并，相当于增加试验次数，在合并的过程中让学生比较频率的波动情况，发现其中的规律；

第四步，利用计算机模拟试验，通过数据分析、直观表示及观察，引导学生进一步验证自己的发现.

通过以上教学，要使学生认识到：

(1)频率具有随机性，即使相同次数的试验，频率未必完全相同；

(2)频率围绕着概率波动；

(3)试验次数增大时，频率波动的幅度减小.

在学生对频率与概率的关系有了基本理解后，再通过解决实际问题，并利用计算机模拟复杂试验，从中体会试验次数对估计精度的影响，理解用频率估计概率的合理性.

例在一次奥运会男子羽毛球比赛中，甲、乙两名运动员进行决赛.根据以往的比赛记录，发现每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.试利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.

(1)简化试验：羽毛球比赛的规则是3局2胜制.甲获得冠军的可能结果是甲先胜2局，或者前2局1∶1平，第3局甲胜.为了便于计算机模拟试验，设事件B表示“甲获得冠军”，则P(B)与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同(先认可结论).

(2)利用随机函数模拟一局比赛的结果.

单局比赛甲获胜的概率为0.6，利用随机函数产生1—5之间的随机数，当出现奇数时表示甲胜.在A1, B1, C1单元格键入=RANDBETWEEN(1, 5)，得到一组3个随机数.如果这组有2个或3个奇数时，表示事件B发生，即甲获得冠军.

(3)利用Excel中的函数自动计算重复多次试验时事件B发生的次数以及频率.

函数=MOD(n,2)输出的结果为n被2除的余数，n是奇数时输出为1，n是偶数输出结果为0.经过变换后，单局比赛中，“1”表示甲获胜，“0”表示乙获胜.将变换后的3个数求和，和大于或等于2，表示事件B发生.

(4)重复模拟试验，绘制频率折线图.

将次数为300的模拟试验，重复做10次，事件B的频率折线图如图3所示：

图3

P(B)的精确值为0.648.由图3看出：试验次数为300时，频率在0.65附近波动，与概率的误差大约为0.02.通过多次模拟试验，可使学生体会模拟试验的快速高效，并感悟频率估计概率的误差大小.

5 教学建议

5.1 根据概率的特点，选择合适的类比对象，建立研究概率的整体架构

前已指出，虽然概率的研究对象是随机现象，但研究确定性数学的一般方法仍然适用于概率.根据概率的定义，设一个随机试验的样本空间为Ω，对于每个事件A⊆Ω，都有唯一确定的实数P(A)∈[0，1]与之对应.这说明，概率是建立在样本空间全体子集所成集合到集合{x|0≤x≤1}的一个映射.函数也是一个映射，所以，类比函数的研究路径构建概率的研究架构，是一条可供选择的思路.事实上，人教A版构建的结构体系，即

随机现象的数学刻画：样本点、样本空间——随机事件——随机事件的关系和运算；

概率：古典概型的特征、定义及计算——概率的基本性质——频率的稳定性、随机模拟——事件的特殊关系(独立性)、利用独立性简化概率计算——条件概率、全概率公式、贝叶斯公式——……

与函数的研究路径，即

预备知识：集合(概念、关系、运算)、常用逻辑用语、不等式；

函数：函数的背景——函数的概念(定义、表示)——函数的性质——基本初等函数——……

颇为相似.在具体的研究内容上也可进行一定的类比，例如：

函数y=f(x)的性质概率P(A)的性质(1)定义域:x的取值范围I.(1)事件A的“取值范围”,A是样本空间Ω的子集,A中元素取自Ω.(2)值域:f(x)的取值范围.(2)P(A)的取值范围:0≤P(A)≤1.(3)特殊点的取值:如对于y=ax,(a>0,a≠1),a0=1.(3)特殊事件的概率:①P(⌀)=0;②P(Ω)=1;③设Ωi为基本事件,并且P(Ωi)=pi,i=1,2,…,n,那么p1+p2+…+pn=1.(4)单调性:任意x1,x2∈D,当x1f(x2) ).(4)单调性:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).

在教学中我们可以引导学生通过类比函数的研究得到研究概率的一些思路和启发.不过，毕竟函数的研究对象是确定性现象，而概率的研究对象是随机现象，所以概率有自己独特的研究内容，像频率与概率的关系、各种概率计算问题等等，都是概率中特有的重要内容.

5.2 通过典型、丰富的具体实例，引导学生认识随机现象

对于随机现象，每个结果的发生都具有偶然性，但是在大量重复观测下又呈现出必然规律.在学生的数学学习经历中，以往接触的问题主要是确定性现象，很少有意识地思考随机现象的特点，又由于概率内容自身的特点，例如，①概念非常抽象，②对随机性的不同理解会导致不同的结果，③利用概率进行一次决策，合理的决策未必一定得到好的结果等等，所以对大多数学生而言，“随机性”是一个难于把握的概念.

认知心理学的研究表明，对于抽象内容的理解，必须得到具体例子的支持.所以，概率的教学自始至终都要注意结合实例来展开.教学中应通过丰富的、典型的随机现象实例，引导学生分析归纳随机现象的特征，同时鼓励学生提出有价值的概率问题.具体教学中，可以引导学生分类列举随机现象.例如，游戏中的随机现象(抛掷硬币、抛掷骰子、抽取扑克牌、电脑游戏)，生活中的随机现象(彩票、出生月份、摸球抽签、上学迟到等)，实际应用中的随机现象(随机抽样、保险问题、投资理财等).

要注意避免人为虚构、脱离概率本质的情境，情境也不宜过于复杂，更不能将生活常识、数学定理、成语俗语等当成事件.例如，下列例子用于随机事件、必然事件、不可能事件的教学是不合适的：

(1)太阳从西方升起(不可能事件)；

(2)在标准大气压下，将水加热到100℃，水就沸腾(必然事件)；

(3)|x-3|<1的解集是{x|2

(4)一分耕耘一分收获(随机事件)；

……

这些例子，或者不是“不确定性现象”，或者不是概率所能定量描述的不确定性现象.

5.3 重视核心概念“随机事件”的数学抽象

“随机事件”是概率论的核心概念之一，如果理解不深刻，将影响整个概率的学习.而引入样本点、有限样本空间概念，再用样本空间的子集表示随机事件，这是随机现象数学化的关键一步，教学中必须给予重视.

教学中，要注意利用典型例子，以“随机现象数学化”为导向，以“不同语言的相互转化”为手段，针对随机现象的特征、样本点、样本空间、随机事件及其关系等提出问题，并要让学生自己提出问题.这样的训练是基础性的，对于认识和理解随机现象有重要意义，不能匆匆而过.

例如，并不是任意的不确定性现象都能成为概率的研究对象，高中的概率课程中研究的是具有“有限性”、“随机性”、“稳定性”等特征的随机现象.对这些特征的感悟就不是一件容易的事情，教学中应通过具体实例让学生进行分析、表述.

又如，随机现象一般是现实情境化的，例如抛掷一枚硬币、抛掷一个骰子、购买一次“七星彩”彩票、从装有颜色分别为红黄白的三个球(除颜色外没有其他区别)的袋子中随意摸出一个球等等，将它们“数学化”得出样本空间，学生比较习惯的是用自然语言，例如Ω={正面朝上，反面朝上}，Ω={红，黄，白}，等等.教学中要有意识地引导学生用符号语言表达.例如：

如图4，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.如果用自然语言表达，那么会非常繁琐；如果引入符号语言，则会非常简洁：

图4

分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，分别用1和0表示“正常”、“失效”状态，则样本空间为

Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.

由此，就可以用集合表示与这个背景相关的任意一个随机事件，例如：

M=“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω，且x1,x2,x3中恰有两个为1.所以

M={(1,1,0),(1,0,1)，(0,1,1)}；

N=“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=1，且x2,x3中至少有一个是1.所以

N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；

T=“电路是短路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0.所以

T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

(0,1,1),(1,0,0)}.

加强用数学语言描述随机现象的教学，对于促进学生理解样本点和样本空间的含义、随机事件和样本点的关系、随机事件的发生、随机事件的关系和运算等等都是非常有用的.事实上，除了用符号(字母、数字或数对)表示试验结果，抽象出样本点、样本空间，由事件发生的意义抽象出“随机事件”是样本空间的子集之外，本单元有许多培养学生数学抽象素养的契机，例如：抽象概括随机试验的本质特征，建立各种概率模型；借助树状图表示试验的所有可能结果，判断样本点的等可能性；从两个事件的发生互相不影响中抽象出事件的独立性；等等.

5.4 引导学生根据知识的发生发展过程自然而然地提出问题

学生在学习确定性数学的时候，因为有长期的经验积累，所以在面对一个新的数学对象时，对如何发现和提出值得研究的问题，还能做到“心中有数”，但在概率的学习中，因为已有经验不足，他们往往不知道该如何入手、从哪些角度去思考问题.因此，教学中应加强引导，帮助学生运用类比、归纳、一般化、特殊化等推理方法，逐步领悟概率的研究内容和方法.我们可以根据概率的必修课程内容，循着人教A版构建的整体架构，循序渐进地提出一些问题：

(1)概率论是研究随机现象的数学分支，概率是对随机事件发生可能性大小的度量.什么叫随机现象？随机现象的数学特征是什么？

(2)什么叫样本空间？人们说，利用样本空间定义随机事件真正实现了随机现象的数学化，对此你有什么认识？由“随机事件是样本空间的子集”你能提出哪些值得研究的问题？

(3)古典概型的研究对象有怎样的特征？概率的古典定义是什么？有人说“概率是客观存在的，虽然随机事件发生的概率是未知的，但它本身是不变的”，你能利用古典概型对此作出解释吗？

(4)求解古典概型问题的一般思路是怎样的？

(5)类比确定性数学的研究，在给出概率的定义后，应该研究它的基本性质.你认为可以从哪些角度研究概率的性质？

(6)具有某种特殊关系的事件，它们的概率一定有特定的关系，例如互斥事件、对立事件的概率有特定关系，事件A∪B的概率可以通过事件A，B的概率进行计算.同样的，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？

(7)如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件也相互独立吗？

(8)对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者等可能性不容易判断，这时该怎么办？

(9)概率与频率之间是一种怎样的关系？如何理解“频率的稳定性”？是不是试验的次数越多，频率就越接近概率？