欧拉不等式的一个新加强

曹嘉兴

(浙江省开化县第二中学 324300)

众所周知，任意三角形的外接圆半径R不小于它的内切圆半径r的2倍，即R≥2r.这是大数学家欧拉(Euler)在1765年建立的一个不等式,由于该不等式具有简单而不平凡的特点,所以至今依然在几何不等式领域里保持着高水平的地位,关于它的各种推广和加强的研究一直是几何不等式研究的热点.贵刊就发表过多篇关于欧拉不等式的加强的文章[1-4],本文将给出欧拉不等式的一个新的加强,供大家参考与欣赏.

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

证明在△ABC中，记BC=a边上的高为ha，∠BAC的平分线为ta，面积为Δ.

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)得

再利用熟知的Tsintsifas不等式[5]：

由上述证明过程不难看出等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

注记由柯西(Cauchy)不等式得

≤3(3s-a-b-c)=3s，

(4)