探究中考数学中的动点问题——角度的存在性问题

广东省惠州市惠阳区华南师范大学附属惠阳学校(516211) 郑素萍

动点问题中的角度存在性问题一般有以下几种类型:(1)在平面直角坐标系中,将直线旋转特殊角度,求旋转后的直线与坐标轴的交点坐标;(2)两个相等角的两端点固定,顶点在定直线上运动,求角度顶点位置;(3)将直线旋转已知角度,求旋转后的直线与抛物线的交点坐标.初中阶段解决这类问题的方法并不单一,下面阐述解决这类问题比较有效的几种方法:①构造直角三角形,为三角函数的应用创造条件;②构造圆,利用圆的性质求角度顶点;③化斜为直,构造两边与坐标轴平行的直角三角形;④解析法,联立方程,求直线与抛物线的交点坐标;⑤利用图像特殊性质,如对称性.

1 类型一:将直线旋转特殊角度,求旋转后的直线与坐标轴的交点坐标

例1(2019年上海市徐汇区中考模拟第24 题改编)在平面直角坐标系中,抛物线与直线分别交于x轴、y轴上的B(6,0)、C(0,-3)两点,若点F在y轴上,且∠FBC=45°,求点F的坐标.

方法:构造含特殊角的直角三角形.

【意图分析】本题是代数几何综合题,考察了二次函数、一次函数和三角形的有关性质,解答时要注意数形结合和分类讨论思想的运用.

【思路简析】由题意点F在y轴上,且∠FBC=45°,所以点F可以看做是直线BC绕点B旋转45°后与y轴的交点.因为旋转方向没有规定,所以要进行分类讨论.

图1

(1)当点F在直线BC上方时,如图2,因为∠CBF=45°是特殊角,因此可以构造含有特殊角的直角三角形.如图所示,过点F作FD ⊥BC,交BC于点D,所以ΔCDF∽ΔCOB.∵RtΔOBC中,OC:OB:BC=假设F(0,t),则∵ΔBDF为等腰直角三角形,点F(0,2).

图2

(2)当点F在直线BC下方时,如图3,将未知转化为已知,在情形一的基础上作出点F在直线BC下方的图形,如图所示.由题意,∠FBC+∠CBF+∠CBF′=90°,容易求的ΔOBF∽ΔOF′B,OB2=OF·OF′,∴OF′=18,点F′(0,-18).

图3

综上所述点F(0,2)或(0,-18).

【小结】当旋转角度是特殊角时,可以构造含有特殊角的直角三角形,再利用图像相似,将已知的等量关系运用到未知等量关系的图形中.

【拓展】(1)将直线BC绕点B顺时针旋转60°,求旋转后的直线与y轴的交点坐标.

(2)将直线BC绕点C旋转45°,求旋转后的直线与x轴的交点坐标.

解:通过构造含特殊角的直角三角形,再运用相似,得到新构成线段的比例关系,解得交点坐标为和

2 类型二:两个相等角的两端点固定,顶点在定直线上运动,求角的顶点位置

例2(2019年兰州市中考第28 题改编)如图,二次函数与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,问:在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得∠AQC=∠ACO,求点Q的坐标.

【意图分析】本题同样是代数几何综合题,考察了二次函数、一次函数和三角形的有关性质,解答时要注意数形结合和分类讨论思想的运用.难点是所求动点是角的顶点.

图4

【思路解析1】本题的关键点是动角中有两个端点是固定的,因此可以构造以其中一个端点为直角顶点,以两端点连线为边的直角三角形,进而构造含有该直角三角形的圆,运用同弦所对的圆周角相等,解决问题.由题意点A(-1,0),点B(4,0),点C(0,2),如图连结BC,∴ΔABC为直角三角形,且∠ABC=∠ACO,以AB直径构造圆D,如图5,则点Q是圆D与抛物线对称轴的交点.所以Q(1.5,2.5)或(1.5,-2.5).

图5

【思路解析2】本题剔除多余条件,可以将问题简化为,已知A(-1,0),C(0,2),要求直线x=2.5 上是否存在点Q使得∠AQC=∠ACO.通过观察图6,可以发现,已经有一组对应角相等,还有一对公共角,所以ΔACD∽ΔAQC,AC2=AD×AQ.且ΔAOD∽ΔAEQ,假设AD=t,则EQ=2.5,∴点Q(1.5,2.5)或(1.5,-2.5).

图6

图7

【拓展】(1)如图8,在直线x=1 上,求点P使得.

图8

(2)如图9,点A(-1,0),C(0,3)在直线x=1 上,求点P使得.

图9

(3)如图10,点A(1,2),点C(1,4)在直线x=3 上,求点D使得.

图10

(4)如图11,点A(1,2),点B(3,4),在直线x=5 上,求点C,使得.

图11

【小结】在解决此类问题时,可以按照步骤求解:构造直角三角形⇒构造含直角三角形的圆⇒利用圆的性质(同弧所对的圆相等),确定顶点位置.或者是挖掘题目中的相似三角形,运用相似三角形的性质求解.

3 类型三:将直线旋转已知角度,求旋转后的直线与抛物线的交点坐标

例3(2019年海南省中考第22 题)如图,已知抛物线y=x2+6x+5 经过点B(-4,-3),与x轴交于点A(-5,0)和点C(-1,0)(点A在C的左侧),点D(-3,-4)为抛物线的顶点.请问:该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD？若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图12

【意图分析】本题是代数几何综合题,考察了二次函数、一次函数和三角形的有关性质,解答时要注意数形结合和分类讨论思想的运用,在求解平面直角坐标系中的角度问题时,难点和关键点都是对平面直角坐标系中的角度进行转化.

【思路解析1】三角函数法

∵B(-4,-3)、C(-1,0)、D(-3,-4),.

①当点P在直线BC上方时,∵∠PBC=∠BCD,∴BP//CD.过点B作BF//x轴,过点P作PF//y轴,BF交F于点F,可得RtΔBPF,同理可构造RtΔCDE,如图13所示.结合题意可得ΔBPF∽ΔDCE,∴tan ∠PBF=tan ∠CDE,即设P(t,t2+6t+5),则解得t=0.∴P(0,5).

图13

②当点P在直线BC下方时,构造如图14所示的RtΔBPM和RtΔBP′N.∵∠CBP=∠CBP′,解得

图14

【思路解析2】解析法

②当点P在直线BC下方时,如图15,直线BP′与直线CD相交于点G,点P′是直线BG与抛物线的交点,所以只需求出直线BG的解析式,联立直线和抛物线方程,问题就迎刃而解.

图15

∵BC2+BD2=CD2,∴ΔBCD为直角三角形.∵∠CBP′=∠BCD即∠1=∠2,又∵∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∴∠3=∠4.∴CG=BG=DG,∴点G为线段CD的中点,∴G(-2,-2).又∵B(-4,-3),所以直线BG的解析式为联立

【思路解析3】利用直线的对称性

由题意,直线BP和直线BP′关于直线BC对称,而直线BC的斜率为1,∴kBP·kBP′=1.因为B(-4,-3),P(0,5),∴kBP=2,设P(t,t2+6t+5),则解得.

【思路解析4】利用角度的特殊性

图16

【小结】(1)在平面直角坐标系中,将已知直线绕一固定顶点,旋转已知角度,求解旋转后的直线与已知抛物线的交点坐标时,可以构造平行于坐标轴的辅助线,将角度转化为易用坐标表示的形式;(2)角度相等,对应的三家函数也相等,关注问题的转化与化归;(3)注意观察图形中的特殊性质,如:直线的对称性,角度的对称性等可以大大简化问题解法.

4 反思

初中阶段,角度的存在性问题属于代数几何综合题,通常考察了二次函数、一次函数和三角形的有关性质,解答时要求学生熟练运用数形结合和分类讨论思想的运用.在不同的问题情境中,求解角度的难点不同,但关键点都是要抓住问题本质,适当简化问题模型,分析清楚题目中定的主体,动的主体;并适当借助辅助线构造所需的直角三角形,将问题转化为可借助三角函数解决的情形,或者构造相似三角形,运用相似三角形的性质进行求解.此类问题,对学生的转化能力和知识的灵活运用能力的提升有着很大的作用.