数学史融入数学教学设计研究——以“无理数”概念教学为例

安徽省淮北市淮北师范大学数学科学学院(235000) 尹哲 张昆

法国数学家保罗·朗之万曾说,在数学教学中,加入历史是有百利而无一弊的.在数学教学中融入数学史既可以以数学史的故事性激起学生学习数学的兴趣,也可以以数学史的知识性开阔学生的数学视野、锻炼学生的数学思维;同时,将数学史融入数学教学也可以帮助教师提升数学专业素养和数学教学能力.因此,教师若是能了解某一数学知识的数学史内容,对其有深刻把握和感悟,并将其融入实际教学,那么数学教学便会如虎添翼.依据数学史料可以发现,无理数概念的引入,是数系的发展和扩充过程中的关键一步.无理数概念的学习,既是有理数知识的延续,也为后续学习实数、复数打下基础.基于此,这里从知识与学段两方面论述了数学史融入数学教学的策略,并在此基础上,进行基于数学史的无理数概念教学设计,以帮助学生感受无理数产生的必要性,引领学生经历无理数的发生发展过程,促进学生对无理数概念的理解.

1 数学史融入数学教学的策略

数学学科的特点之一是高度的抽象性,正因为此,学生面对数学知识常常感到不知所起、不知所云.而数学史的研究对象正是数学知识的发展历史与数学学科的发展规律,因此,将数学史融入数学教学可以促进学生对数学知识的理解.要注意的是,这种融入并不是生拉硬拽,而应讲求方式与策略,以何种方式将数学史融入数学教学中,对数学教育目标的达成具有重要影响[1].国内学者汪晓勤教授根据我国数学课堂教学的特点,提出了数学史融入数学教学的四种方式:附加式、复制式、顺应式以及重构式[2].除此之外,这里认为,对于不同的数学知识、不同的学习阶段,数学史融入数学教学也要采取不同的策略,以期达到使教学效果最大化的目的.

1.1 根据数学知识,数学史融入数学教学的策略分析

数学知识根据其表现形式不同,可以分为数学概念、数学公式定理、数学思想方法.针对不同的数学知识,数学史融入数学教学的策略是不同的.

数学概念教学中,数学史融入数学教学的策略是:基于数学史实,探寻概念根源.学习数学概念,不只是要学习其定义、性质,还要弄明白数学概念产生的背景、历程,这样才算是真正理解了这一数学概念.因此,将数学史融入数学概念教学,可以通过向学生讲述数学史实的方式,帮助学生了解数学家是怎样以原有的数学体系提炼出新概念的.如小数概念的教学,可以向学生讲述,1700 多年前我国数学家刘徽在解决类如“四个人如何平分五个苹果”等问题时提出的“把个位以下无法标出名称的部分称为微数”,如今的“小数”其实源于当时的“微数”.学生通过这种数学史上的小故事,可以理解小数概念产生的背景与必要性,这有助于帮助学生深刻理解数学概念,拉近学生与数学家和数学知识之间的距离.

数学公式定理教学中,数学史融入数学教学的策略是:再现数学问题,经历公式定理发现过程.数学公式定理是数学知识的重要组成部分,学生熟记数学公式定理可以提高解题速度、提升做题质量.那么怎么才能帮助学生熟记公式定理呢?众所周知,只靠死记硬背很难提升学习质量,这时候就可以发挥数学史的作用.教师可以将历史上对数学公式定理的发现起到关键性作用的数学问题再现到课堂上,带领学生经历公式定理的发现过程.如勾股定理的教学中,教师可以课堂再现公元前2000年左右古巴比伦泥板书上记载的问题“一个长度为30 个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,其下端离墙的距离是多少个单位?”这是一个三边比为3:4:5 的特殊的直角三角形,教师可以引导学生从此问题出发,探索勾股定理.这样既能带领学生了解公式的形成与推导过程,进而将之熟记于心;又能帮助学生感受数学家探索着推导并证明公式定理的不易,体会数学的抽象性和严谨性的特点.

数学思想方法教学中,数学史融入数学教学的策略是:结合基础课堂渗透史料,引导上升提炼思想方法.数学思想方法是数学的精华,是对数学本质和数学规律的认识,如果说数学概念和数学公式定理是“鱼”,那么数学思想方法就是“渔”,所谓授人以鱼不如授人以渔,掌握了数学思想方法,便是掌握了学习数学的根本.也正因如此,教师不可能一股脑儿地将数学的思想方法这种上层的东西直接倾注给学生,而应以学生能接受的、“接地气”的方式,结合基础课堂来渗透数学史料中的数学思想方法,并在此基础上,引导学生“往上走”,总结提炼数学思想方法,为自己所用.例如数形结合思想的教学,便可以将其落到平面直角坐标系的课堂中,在课堂教学中向学生介绍数学家笛卡尔对坐标系发展做出的贡献,并指出平面直角坐标系其实是数形结合思想的体现和具体应用.以这种方式渗透数学思想方法,能加深学生对数学思想方法的理解,促使学生应用数学思想方法解决实际问题.

1.2 根据学习阶段,数学史融入数学教学策略分析

不同学习阶段学生的心理特征和认知方式是不同的,所以针对不同学习阶段的学生,数学史融入数学教学的策略也有所不同.

小学阶段,学生的心理以模仿为主,这一阶段将数学史融入数学教学的目的主要是利用数学家的榜样效应,帮助学生培养良好的、有助于以后的学习和发展的学习习惯.因此,小学阶段将数学史融入数学教学要注重多多介绍数学家们的习惯、品性.此外,由于小学阶段要着重考虑激发学生的学习兴趣,因此呈现数学史的方式要以图片、视频为主.

初中阶段,相比小学来说学习内容增加,课堂节奏加快,为防止学生因此产生厌学情绪,可以以趣味数学史故事来激发并保持学生的学习兴趣.此外,由于初中生理解能力相对增强,因此呈现数学史的方式可以是文字为主,图片为辅的形式.

高中阶段,学生的学习自律性已基本得到保证.这一阶段学生学习的关键是完成由“学会”到“会学”的转变,因此,将数学史融入数学教学,要注意总结数学史发展中的数学思想方法,帮助学生掌握并运用数学思想方法自主学习.

2 “无理数”相关数学史料

依据“无理数”在教材中的安排可知,“无理数”属于初中阶段的概念学习.因此,根据上文分析,“无理数”相关的数学史融入数学教学,应基于“无理数”相关数学史实,探寻“无理数”概念根源.基于此,首先将数学史上“无理数”概念的发生发展过程介绍如下.

2.1 无理数的发现:不可公度量的存在

在无理数概念产生之前,人们一直坚信古希腊数学家毕达哥拉斯提出的“万物皆数说”.这里的“数”指的是有理数.从几何上解释,即对于给定的任意两条线段,总有第三条线段,它以整数次量完这两条线段,希腊人称这样的两条线段为“可公度量”[3].然而,毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现正方形的一边与对角线之间是不可公度的.这一发现在逻辑上动摇了毕氏学派一直信仰的“万物皆数说”,数学的发展遇到了困难,史称“第一次数学危机”.

2.2 无理数的发展:“量”与“数”的分离

希帕索斯的发现使得古希腊数学的发展进入了停滞状态,直到公元前4世纪,欧多克斯对比例论进行了新的解释,他将“量”与“数”分离开来,认为像这样的数只能作为几何上的“量”来理解,在代数上是不存在的.由此可见,欧多克斯的这种将“量”与“数”分离开来的做法使不可公度量这一逻辑矛盾得到暂时缓解,但并没有真正认同无理数是真实存在的数.

2.3 无理数定义的形成:坚实的小数及实数理论基础

1872年,德国数学家戴德金用“分割”的方法定义了无理数,并建立了实数理论[3].之后,施笃兹证明了每一个无理数都可以表示成无限不循环小数[3].至此,无理数被数学家真正接受,无理数的概念被正式引入,无理数的两种定义(两种等价表征)也被认可,这两种定义分别为:不能表示成两个整数之比的数称为无理数;无理数即无限不循环小数.

综上,将“无理数”相关的数学史融入数学教学,应注意以文字为主、图片为辅的方式,着重阐释“无理数”概念的产生背景、发展历程.所以,要结合数学史上无理数的发生发展过程,创设相应的可以促使学生参与其中的问题情境,并鼓励学生自己归纳总结出“无理数”概念的定义及本质.

3 数学史融入“无理数”概念教学的教学设计示例

对于无理数概念教学,首先,学生可能不理解引入无理数的必要性;其次,学生可能对无理数的两种等价表征的理解不够深刻.鉴于上述原因,笔者认识到应以史为鉴,将数学史上无理数的发展历程融入实际教学.在新知引入环节,先从不可公度量出发,创设问题情境,引入无理数概念;进而在新知探究环节,分别针对无理数的两种等价表征即“不能表示成两个整数之比”和“无限不循环”创设问题情境,加深学生对无理数概念的理解.

3.1 新知引入

“无理数”概念教学安排在七年级下册“实数”这一章节,在此之前,同学们已经学习了有理数的概念.在学生看来,有理数已经足够完满了,为何要引入无理数呢?除非有特别充分的来由,这个来由就是不可公度量的存在[3].数学史上,希帕索斯发现正方形的一边与其对角线之间不可公度,基于此,并结合实际,在课堂的引入环节,创设问题情境如下:

问题情境1:同学们拿出纸、直尺等工具,动手操作一下,试试看能不能用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形呢?大正方形的边长是多少?它跟我们之前学过的数一样吗?

图1

【设计意图】数学史上,希帕索斯是根据“边长为1 的正方形的对角线长度是多少”发现并探索无理数的,但实际教学中,若是直接将这个问题抛给学生,便会失去发现性与探究性.因此,将问题进行转化在带领学生动手操作的过程中引入无理数的概念.鉴于在学无理数概念之前,学生已经学过平方根,所以同学们可由大正方形的面积为2,对2开平方根,求出大正方形的边长为.这时候,教师引导学生思考“与之前学过的数一样吗?”学生自然会想到之前学过的数即有理数,有理数的定义为:整数和分数统称为有理数.然而看起来既不是整数也不是分数,所以它不属于有理数,那么怎么称呼它呢?同学们很容易由“有”想到“无”,所以,我们把这样的数称为“无理数”,无理数概念引入完毕.

3.2 新知探究

引入环节对2 既不是整数也不是分数的判定只是通过“看起来”的方式,到底是不是这样,下面便可以对此进行探究.分别从“不能表示成两个整数之比”与“无限不循环”两个方面,创设相应的问题情境,阐释无理数概念的定义及本质.

【设计意图】在得出无理数的第一种定义之后,要引导学生总结无理数“无限不循环”的定义.学生手头上有计算器,可能会想到用计算器输入,得出的值为1.414213562,再算1.414213562 的平方会发现1.4142135622=1.9999999999,也就是说1.414213562 只是的近似值而不是精确值.然后老师介绍希帕索斯所用的“估数法”:因为1＜＜2,所以可以找1 和2 之间的哪一个小数平方后等于2 或最接近2,比如从1.4 和1.5 开始,1.42=1.96,1.52=2.25,所以要在1.4 和1.5 之间再找,这样一步步找下去,便可得到近似值的螺旋图.螺旋图如下图所示.

图2

之后的新知巩固、课堂小结、布置作业环节则略去,不再赘述.

3.3 教学反思

数学史融入数学教学对教师和学生来说均有诸多便利,教师在实际教学中,若要将某一知识相关的数学史融入教学,就必须对数学史上此知识的发生发展历程有深刻把握.例如这里的无理数概念教学,则要求教师深刻理解并感悟无理数相关的数学史内容,了解数学史中无理数的产生与发展经历了三个主要阶段,其间的关键连接点分别是:不可公度量的存在、无理数的两种等价表征.因此,在教师的教学设计中,便要结合数学史重点讲解这方面的内容.此外,教师还要认识到,教学中的几个关键问题情境对于学生来说,依靠自己当时的认知水平是难以想到的,教师要以史为鉴,与学生进行心理上的换位[4],把握学生在学习中可能遇到的困难,并在教学设计中加以突破.

4 结束语

数学史是数学文化的重要组成部分,是数学学科宝贵的财富.教师应当认识到数学史的教育价值,并有意识的了解、学习数学史,提升自身数学素养与教学水平,进而在实际教学中根据知识类型的不同、学生所处学段的不同等,采取相应的策略,以合适的方式将数学史融入教学设计中,帮助学生对于数学知识的学习不仅能知其然,更能知其所以然,做到真正的了解数学、爱上数学.