多视角深化线性代数矩阵教学的探索

摘 要：矩阵知识是线性代数的重要内容，但矩阵知识往往比较抽象，不好理解和把握。通过多视角的分析讲解，使矩阵知识和其他相关知识联系起来，可以降低部分矩阵运算的难度，拓宽学生解题的思路，加深学生的理解和记忆。

关键词：代数运算;矩阵运算;综合除法;逆矩阵;特征值

线性代数是高等院校开设的一门重要基础数学课。线性代数具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性，学好线性代数对培养学生严密的逻辑思维能力有着重要的作用。而矩阵知识是线性代数的核心内容之一，线性代数中行列式、线性方程组、二次型、线性变换、线性空间等的内容都是以矩阵为重要工具，因此，矩阵知识的教学效果在线性代数的教学中具有重要意义。但矩阵内容相对独立，教师在教学过程中很容易将它孤立起来，机械地、照本宣科地实施教学，不利于学生的理解和掌握。针对如何提高矩阵教学的效果，深化学生的理解，本人在多年的教学实践基础上，从多个视角去探索矩阵教学，取得了一定的教学效果。所谓多视角，就是指不局限于一个角度或一种方法，而是从不同的角度或方法对矩阵知识进行讲解。特别是结合知识之间的相似性和相关性，通过矩阵知识和其他数学知识的相同点或者是矩阵知识和其他数学知识的关联性，深化对矩阵知识的基本内涵、运算方法和规律的理解，起到降低矩阵知识的难度，拓宽学生的思路，加深学生的理解和记忆的作用。

一、结合代数运算与矩阵运算的相同点分析讲解

运算是数学的基本概念和基础内容，矩阵是线性代数的基本概念和基础内容，因此，矩阵运算理论是线性代数的重要理论之一，并且也是非数学专业线性代数的重要教学内容。如何深化对矩阵运算的理解，可以结合代数运算和矩阵运算的相同点去讲解。因为，矩阵的加法、减法是通过对应位置的元素来进行的，从某种角度来说，是与数的加、减一致的，因而，代数运算与矩阵运算有一定的相同点。在矩阵运算中，矩阵的逆运算，转置运算，伴随矩阵的运算经常联系到代数知识，因而，可以把代数运算的一些运算规律的形式，运用到矩阵中。借助代数的运算规律，可以很好地归纳矩阵的运算规律，使得矩阵的运算规律易记，易掌握，从而加深学生对矩阵运算的理解和把握。

比如，在代数的运算中有倒数运算：11a=a。经过两次相同运算，结果不变，还是a。矩阵运算中也有类似运算：（A-1）-1=A，（AT）T=A。即A的逆矩阵A-1，再求A-1的逆矩阵是A;A的转置矩阵是AT，再作转置运算就是A。

又如，数的运算中有乘方运算：（xn）m=（xm）n，从形式上看，互换m，n的位置后，值不变。在矩阵运算中也有类似运算，例如，（A-1）*=（A*）-1，互换-1，*的位置后，矩阵的值不变;（AT）*=（A*）T，（AT）-1=（A-1）T也有相同的结论。其中A*是A的伴随矩阵，AT是A是转置矩阵。

此外，如果自然数k与矩阵的逆，转置，伴随矩阵的运算结合，也有如下运算规律：

（Ak）-1=（A-1）k，（Ak）*=（A*）k，（Ak）T=（AT）k

k分别与T，-1，*互换位置后，矩阵的值不变，其中k是整数。

依据以上分析，我们就可以概括出T，-1，*，k次幂运算规律，总结如下：

（1）抵消运算：（A-1）-1=A，（AT）T=A;

（2）乘方运算：（A-1）*=（A*）-1，（AT）*=（A*）T，（AT）-1=（A-1）T;

（3）互换位置：（AB）-1=B-1A-1，（AB）T=BTAT，（AB）*=B*A*;

（4）k次幂：（Ak）-1=（A-1）k，（Ak）*=（A*）k，（Ak）T=（AT）k。

二、深化逆矩阵的求解方法

逆矩阵概念是一个重要概念，逆矩阵计算是矩阵内容的重点和难点。在教学中加强逆矩阵计算的讲解，不但是计算本身所必需，也可加深对矩阵知识的理解和掌握。如何就逆矩阵作深入的讲解，需要从多个角度或多种方法去分析，这样才会有更好的效果。

逆矩阵的计算，教科书讲得比较多的主要是以下三种方法，且这三种方法运用得也比较多。

一是定义法，对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称A矩阵是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。对于问题中出现矩阵等式的，在证明矩阵可逆时，定义法是比较常用的一种方法。

二是公式法，即用公式求逆矩阵。

定理n阶方阵A可逆的充要条件为|A|≠0，且A-1=A*|A|，其中A*是A的伴随矩阵。

这种方法计算量较大，通常运用在理论上或求阶数较低方阵的逆矩阵。

三是初等行变换法。设A是n阶矩阵，构造n×2n阶矩阵（A E），然后对其施以初行变换将矩阵A化为单位矩阵E，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵E化为A-1，即：

（A E）初等行變换（E A-1）

除此之外，可以用综合除法求一类抽象矩阵的逆矩阵。因为，有一类求逆矩阵问题，未给出方阵A的元素，仅给出A满足某些条件，要求A的某个多项式f（A）是可逆矩阵，且要写出其逆矩阵。这类问题的一般解法是将题设条件恒等变形，使之成为一个等式，等式一边是f（A）乘以矩阵B，另一边是E。但是，许多参考资料只是给出f（A）乘以矩阵B的结果，并未给出计算过程。而f（A）乘以矩阵B正是解这类题的关键。可以用综合除法给出计算f（A）乘以矩阵B的计算过程。

例：设方阵A满足方程A2-A-2E=0，证明：A+2E可逆，并求它的逆矩阵。

分析：要证A+2E可逆，结合已知条件，就要对A2-A-2E=O分解出A+2E。这个问题就转化为从多项式x2-x-2中分解出因式x+2，因此可以用综合除法进行因式分解来解决。

所以x2-x-2=（x+2）（x-3）+4。从而A2-A-2E=（A+2E）（A-3E）+4E。

解：因为A2-A-2E=（A+2E）（A-3E）+4E=O，所以（A+2E）（A-3E）=-4E。从而A+2E可逆，它的逆矩阵是（A+2E）-1=-14（A-3E）。

三、用综合除法求矩阵的特征值

特征值的求解也是矩阵的一个重要内容。但在教学中发现，学生对求矩阵的特征值感到困难.如求矩阵-122

2-1-2

2-2-1的特征值，许多教材上只有三次多项的分解式，没有求分解的过程便直接得出如下结果：

A-λE=-1-λ22

2-1-λ-2

2-2-1-λ=（λ-1）2（λ+5）

如果不能求出特征向量，就不能进行矩阵的对角化等各种与特征值有关的计算。因此，求出矩阵的特征值显得非常重要。

下面介绍用综合除法求矩阵特征值的方法。

定理 设f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an是一个整系数多项式，如果有理数uv是f（x）的一个根（其中u，v是互质的整数），那么：

（1）v整除f（x）的首项系数a0，u整除f（x）的常数项an;

（2）f（x）=x-uvq（x），其中q（x）是整系数多项式。

矩阵的特征多项式可写成f（λ）=A-λE，其中矩阵A的元素是整数。f（λ）的首项系数是1或1。首先，根据以上定理，f（λ）=0的根一定整除常数项。如果常数项的数值不大，可以通过试根的方法求出f（λ）=0的部分根。其次，求特征值时，不仅要求出全部特征值，还要知道特征值是f（λ）=0的几重根。但上述定理不能解决根的重数问题。当f（λ）=0有重根时，结合综合除法，就能确定根的重数。

例：设矩阵A=122

212

221，求A的特征值。

解 矩阵A的特征方程为：

f（λ）=λE-A=λ-1-2-2

-2λ-1-2

-2-2λ-1=λ3-3λ2-9λ-5=0

f（λ）=0可能的根是±1，±5。容易验算λ1=5，λ2=-1是特征根。此时方程可能有重根，用综合除法，可以求出根的重数。

从而x3-3x2-9x-5=（x-5）（x2+2x+1）=（x-5）（x+1）2。λ=-1是二重根，矩阵A的特征值是λ1=5，λ2=-1，λ3=-1。

对高于3阶的矩阵，它的特征多项式是一个高次方程。可以利用上述定理先求出部分实根，结合多项式综合除法，就可以得到方程的部分实根及其重数。

四、结语

综上所述，多视角的矩阵教学，可以解决矩阵教学中部分难以掌握的内容，在一定程度上拓宽了学生的思路，是矩阵教学中值得探索和有效的方法。以上所列举的三个方面的矩阵教学探索，是基于知识之间的相似性和相关性进行的。但与矩阵知识相关联的知识点并不僅仅局限于以上提到的三个方面的分析讲解，还可以结合更多相关知识进一步探索实践。另外，多视角的矩阵教学，还可以从矩阵知识的应用性角度，深化学生对矩阵知识的认识和理解。因为，矩阵一些基本概念有很强的实际应用背景，若在讲授这基本概念之前，能从实际问题出发，通过归纳总结，引申出矩阵概念，能激发学生的学习兴趣。同时，矩阵知识本身也还有很强的应用性。在教学过程中，可以把矩阵的计算知识和实际应用知识或应用领域结合起来讲解，同样可以增加学生对抽象的矩阵知识的认识，从而提高学习兴趣和积极性。总之，教学有法，但无常法，只有不断总结和探索，才会取得更好的教学效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系.线性代数[M].第六版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]徐树方.矩阵计算的理论与方法[M].北京：北京大学出版社，1992.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].第二版.北京：高等教育出版社，2000.

[4]陈佘喜.加强线性代数教学，提高学生的数学能力[J].当代教育理论与实践，2013，5（4）：109111.

作者简介：潘就合（1965— ），男，汉族，广西贺州人，本科，讲师，研究方向：高等数学教育、信息文化。