自主建构 促进理解——《乘法分配律》教学与思考

文|徐素珍

数学建模是数学学科核心素养的重要内容之一。在《乘法分配律》教学中，我们可以通过引导学生学习自主建构数学模型，在观察、比较、归纳等数学活动中抽象出乘法分配律的本质意义。这样设计教学，既让学生积累了大量的数学活动经验，又培养了抽象逻辑思维能力，同时也发展了数学核心素养。

【教学过程】

一、初步感知规律

1.呈现信息，提出问题。

课件出示几何图。

请同学们提出与面积有关的数学问题。

师：两个小长方形的面积合起来一共是多少？

2.列出算式，求出结果。

生：（28+22）×20=1000（平方分米）。

生：28×20+22×20=1000（平方分米）。

3.深度思考，算式表征。

第一种算法先求出两个小长方形合起来的大长方形的长，再用长乘宽求出大长方形的面积；第二种算法是先求出左面长方形的面积，再求出右面长方形的面积，然后相加求出大长方形的面积。

4.启发引导，建构等式。

（28+22）×20=28×20+22×20

5.细心观察，寻找异同。

相同点：等号左边的三个数与等号右边的三个数相同。

不同点：左边是先求出两个数的和，再乘第三个数；右边是先用这两个数分别去乘第三个数，再把两次的积相加。

隐去等号右边的算式请学生再把算式写出来。

隐去等号左边的算式请学生再把算式写出来。

【设计意图：课始，让学生根据图中的信息提出数学问题并列出综合算式，通过意义表征、观察比较、隐去算式、回想算式等数学活动建构乘法分配律的雏形，这样的导入设计，合乎学生的认知规律，方便学生建构新知。】

二、自主建构规律

1.意义表征，感受规律。

（1）细心思考，感受相等。

师：如果没有图支撑，也不准计算，你有办法证明左边与右边的算式是相等的吗？

生：能，左边是求出50个20是多少，右边是28个20加上22个20，合起来也是50个20，所以两边算式的结果是相同的。

（2）寻找原形，理解规律。

师：有一个长方形，长是72米，宽是28米，它的周长是多少？你能像“（28+22）×20=28×20+22×20”这样写出类似的等式吗？并说出算式的意义。

师：你能从两位数乘两位数的笔算中整理出上面类似的等式吗？

【设计意图：从计算长方形的周长与两位数乘两位数的笔算中寻找乘法分配律的原型，使学生深刻地感受到知识之间的密切联系，进一步领略乘法分配律的价值。】

2.枚举等式，验证规律。

呈现一半，猜出另一半。

（1）（21+79）×9=__________

（2）__________=55×6+45×6

师：像这样的算式你能写出多少个？

【设计意图：让学生写出类似的等式，既帮助学生积累感性材料，又丰富了学生的表象，进一步感知了乘法分配律。】

3.合作交流，概括规律。

师：同学们，这里的算式是无限的，谁能用一个等式来表示这里所有的等式呢？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

师：刚才我们用字母来表示这里所有的算式，那这个等式到底是什么意思呢？你能不能用自己的话来说一说呢？

师：仔细观察等号左边的一组算式，你有什么发现？

师：仔细观察等号右边的一组算式，你又有什么发现？

师：根据你的发现，能不能用自己的话来说一说字母表示式的含义呢？

生：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。

师：用字母和文字来表示乘法分配律，哪一种方法更简单？

【设计意图：先让学生观察发现左边一组算式和右边一组算式的特点，再让学生根据自己的发现归纳概括出乘法分配律，最后通过对比发现用字母式表示乘法分配律比文字表达更简洁，这样层层递进的设计便于学生自主建构乘法分配律，促进学生数学核心素养的形成。】

三、灵活运用规律

1.闯第一关（填一填）。

（15+85）×7=□×□+□×□

46×72+54×72=（□+□）×□

（A+□）×B=□×□+□×□

2.闯第二关（用两种不同的综合算式解决问题，比一比，哪种方法简单）。

（1）计算组合图形的面积。

（2）大长方形的面积比小长方形多多少平方米？

3.闯第三关（算一算），用最快的方法计算。

48×75+52×75

（25+100+20）×4

27×75+27×26-27

【设计意图：本环节设计了三种层次的练习：首先设计了根据乘法分配律的概念进行填空的练习，使学生进一步理解乘法分配律的概念；其次设计了乘法分配律的变式延伸练习，培养学生思维的灵活性和敏捷性；最后设计了利用乘法分配律进行简便计算，让学生真正体会到数学知识的实用性。通过三种不同层次的练习，使不同层次的学生都得到相应的发展。】

四、分享学习成果

师：这节课你有哪些收获？请与同学们分享。

【课后思考】

1.基于数形结合，引导自主建构。

《乘法分配律》是一堂概念课，概念建构起始环节，课件呈现两个宽相同的长方形拼贴成的组合图形，请学生用两种综合算式求出组合图形的面积；再根据图形表征两个算式的意义；然后让学生观察这两个算式的异同点，初步感知乘法分配律的雏形。灵活运用规律环节，笔者对起始环节呈现的组合图形进行改编，让学生通过解决数学问题感受到乘法分配律的变式（a+b+c）×e=a×e+b×e+c×e以及（a-b）×c=a×c-b×c，进而培养学生的高阶思维能力。

2.关注认知起点，顺应学生思维。

《乘法分配律》是在学生已经学习了长方形和正方形的面积、长方形的周长以及两位数乘两位数的笔算基础之上进行教学的，课始，从求组合图形的面积计算切入，通过列式、表征，初步感知乘法分配律；然后让学生用多种综合算式求出长方形的周长，感悟乘法分配律的原型；接着呈现两位数乘两位数的笔算过程，请学生从笔算中找到乘法分配律的运用。通过层层递进式的教学设计，使学生真正感受到乘法分配律的价值所在。

3.巧妙设计练习，拓展学生思维。

教师根据学生的认知特点设计不同的学习材料让学生进行有效的学习。在本节课的巩固练习环节，笔者设计了填一填、比一比、算一算等不同层次的练习，首先通过填一填的练习，使学生进一步理解乘法分配律的概念；其次通过比一比习题的设计，根据两种不同的综合算式构建乘法分配律的变式，从而促进学生思维的提升；然后通过算一算，让学生感受到乘法分配律能够使某些计算变得更加简便。这样设计，促进了学生的深度思维，培养了学生的核心思维。