量测不确定性非线性时滞系统的自适应控制

邵一鸣，贾祥磊

(杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

实际应用系统中时常存在非线性现象，采用近似线性化的方法往往无法处理这些现象，所以常常用非线性模型来描述。这种方式虽然能较精确建立系统模型，但也使处理过程变得更复杂。当非线性部分中存在时滞时，还会对系统造成不利影响。对于一类非线性函数被已知增长率的线性条件约束的非线性系统，文献[1]设计了基于非分离原则的输出反馈控制器实现了系统指数稳定。当约束条件增长率未知时，文献[2]设计了一种自适应输出反馈控制器，实现了系统的全局稳定。当非线性系统输出具有不确定性时，文献[3]采用齐次占优的思想，通过设计输出无关观测器得到了全局输出反馈控制器。而文献[4]则采用一种双控制增益的方法，得到更简于文献[3]的设计方法，并衍生了一系列成果。对于一类具有不确定输出且非线性增长率为输出多项式的非线性系统，文献[5]给出了一种输出反馈控制器设计方案。文献[6]针对一类不确定输出和时滞同时存在的非线性系统，给出了一种非backstepping控制器设计方案，实现系统全局渐近稳定。本文对一类非线性部分增长率为输出多项式的系统展开研究，同时考虑量测不确定和时滞因素，解决了该系统的全局输出反馈镇定问题。

1 系统数学模型

具有量测不确定性的非线性时滞系统如下：

(1)

(2)

(3)

式中，c≥0是已知常数，p是已知正整数。

由y=θx1和式(2)可以得到，非线性项限制条件(3)等价于：

(4)

(5)

引理2[1]对于矩阵A和D，

因为A是Hurwitz矩阵，所以存在合适的系数ai和正定矩阵P=PT>0满足：

ATP+PA≤-I,c1I≤DP+PD≤c2I

(6)

式中，c1和c2是正常数。

2 主要结果

定理若系统(1)满足假设条件1和条件2，则如下控制器可以保证系统渐近稳定。

(7)

证明首先引入如下状态变换：

(8)

定义对角矩阵Dl=diag{σ,σ+1,…,σ+n-1}，结合式(8)可得ε=[ε1,…,εn]T的导数：

(9)

式中，a=[a1,…,an]T，Φ(·)=[φ1(·),…,φn(·)]T。

构造Lyapunov函数Vε=εTPε，由式(9)得：

(10)

由式(2)和式(5)得：

(11)

(12)

(13)

由式(10)—式(13)推导出：

(14)

选择如下Lyapunov-Krasovskii函数：

(15)

由式(14)和式(15)得：

(16)

下面通过backstepping方法设计输出反馈控制器。

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，d2是合适的已知正常数。另外，由式(5)推出：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

与式(20)类似，引入如下不等式：

(26)

式中，dn是合适的正常数。另外由式(23)推出：

(27)

(28)

再次，设计如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

(29)

由式(28)和式(29)推出：

(30)

其中由式(7)可以得到：

(31)

由式(5)得到：

(32)

最后，设计Lyapunov函数W=(n+1)Wε+Wn。由式(16)和式(29)—式(32)得：

(33)

选择如下系数：

(34)

推导出：

(35)

(36)

由式(36)得系统(1)中状态渐近收敛为0，定理得证。

3 数值示例

具有不确定输出的非线性时滞系统如下：

(37)

式中，θ1和0.8≤θ2≤1.2是不确定常数，τ是未知常时滞。显然该系统满足假设1和假设2，采用定理中控制方案设计自适应控制器，选取参数α1=0.2，α2=12.5，k1=750和k2=180，可得：

(38)

图1 系统状态轨迹

图2 观测器状态轨迹

图3 动态增益轨迹

图4 控制信号轨迹

从图1—图4可以看出，在控制器的作用下，系统状态和观测器状态收敛为0，且自适应增益有界，说明系统渐近稳定。另外，由于选择了较大的控制器参数，使得图1和图2中系统状态和观测器状态收敛速度很快，但导致图4控制器输入波动较大，说明可以通过选择合适参数来达到理想的控制需求。

4 结束语

本文针对一类具有量测不确定性的非线性时滞系统，联合缩放变换技术和backstepping方法，提出一种输出反馈自适应控制器设计方法，克服了被控系统中非线性项、量测不确定性和未知时滞带来的障碍，实现了闭环系统的渐近稳定。后续将对已知信息更少的非线性时滞系统展开研究。