立足几何特性，突破圆锥曲线

屈芳

[摘  要] 圆锥曲线问题中的几何条件可作为解题的突破口，即利用平面几何知识来构建解题思路. 中学阶段常见的几何特性包括特殊三角形、圆、矩形等图形性质，合理利用几何性质可实现条件、问题转换. 文章剖析应用几何性质解圆锥曲线问题的策略，以四类问题为例开展解题探究.

[关键词] 几何;性质;圆锥曲线;中位线;等腰三角形;勾股定理

问题综述

圆锥曲线问题是高考压轴题之一，由于圆锥曲线含有“数”与“形”的特点，问题解析通常有两种策略：一是将圆锥曲线问题转化为函数问题，利用函数性质求解;二是利用几何意义，即由曲线定义和平面几何的相关结论来求解. 其中策略二需把握问题本质特征的“几何性”，然后利用圆锥曲线知识求解，是几何性质在圆锥曲线问题中的应用体现. 平面几何性质是中学学习的重点，应用于圆锥曲线中要关注几何与曲线、几何与坐标系之间的关联，以线段、点坐标为纽带构建思路.

利用几何性质求解圆锥曲线问题的一般思路如下：

第一步，根据题意绘制图像，把握问题条件，提取几何图形;

第二步，构建几何模型，结合几何性质挖掘隐含条件;

第三步，综合圆锥曲线知识和几何特性构建思路，从函数视角进行解析.

实例探究

平面几何的性质定理众多，在解析应用时可围绕基本图形的特殊性质来探究，如等腰、等边三角形的“三线合一”特性，直角三角形的垂直特性，圆中的对称、直角特性等，具体解析时采用数形结合的策略，立足几何特性开展解法探究.

类型1：三角形中位线性质

三角形的中位线是图形内的特殊线段，由于连接了边的中点，使得中位线与对边在位置和线段长两方面具有几何关系，解题时可利用中位线的性质来推理长度关系或平行关系，以此为中心构建解题思路.

例1：已知点P是椭圆 + =1（y≠0）上的一个动点，椭圆的左、右焦点分别为F 和F ，点O为坐标原点. 如果点M是∠F PF 的平分线上的一点，且 · =0，则 的取值范围为________.

解析：根据题设条件绘制图像，如图1所示. 设F M与PF 延长线的交点为N，由于PM平分∠F PF ，可证△PF N为等腰三角形，PM⊥F N，进一步易证△PF M≌△PNM，由全等性质可得PF =PN，F M=MN.

在△F F N中，已知点O为F F 的中点，点M为F N的中点，则OM就为△F F N的中位线，所以OM= F N= PN-PF = PF -PF . 由椭圆定义可知PF +PF =8，所以OM= PF -（8-PF1）？摇=PF -4. 由椭圆方程易得4-2

评析：上述通过构图形成了等腰三角形，进一步构建了OM为△F F N的中位线，结合中位线的性质和椭圆的性质即可推导出线段OM的长度范围. 中位线性质在圆锥曲线问题中应用极为广泛，解题时要充分利用图像中的中点，合理构建几何模型. 中位线性质中的平行关系常与直线斜率相结合，可利用平行关系推导直线解析式.

类型2：等腰三角形的性质

等腰三角形是特殊的几何图形，具有等边对等角的特性，同时图形中的“三线合一”性质将角相等、垂直、线段相等关系有机地融合在一起，解题时灵活运用可实现等量关系与位置关系的转换.

例2：已知圆x2+y2+2x-15=0的圆心为点A，过点B（1，0）且不与x轴相重合的直线l与圆相交于点C和D. 现过点B作AC的平行线，与AD的交点设为点E，回答下列问题.

（1）試分析EA+EB是否为定值，若为定值，求出该值;若不为定值，请说明理由.

（2）求出动点E的轨迹方程.

解析：（1）由条件可知圆的圆心A坐标为（-1，0），且半径为4，根据题意可绘制图2所示图像. 由于AC=AD，则△ACD为等腰三角形，则∠EBD=∠EDB，故ED=EB. 此时EA+EB=EA+ED=AD=4，所以EA+EB为定值，且定值为4.

（2）由条件可得点A（-1，0），B（1，0），点E是动点，且EA+EB=4>AB，由椭圆定义可知，点E的轨迹是以点A（-1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，即a=2，b= ，c=1，所以点E的轨迹方程为 + =1.

评析：上述在探究定值问题时充分利用了等腰三角形的性质和判定定理，由等边推等腰，再由等腰推等角、等边，从而实现了线段的等量转换.

类型3：直角三角形特性

直角三角形的直角特性应用广泛，利用直角可以进行角度推导，也能由勾股定理构建线段关系模型. 在圆锥曲线中主要运用直角三角形特性构建线段关系方程，或在图形中构建三角函数关系.

例3：已知椭圆 + =1的两个焦点分别为F （-c，0），F （c，0），其中a，b，c均为正数. 已知长轴长为4，直线l经过点A（0，-b）和B（a，0），原点到直线l的距离为 .

（1）求椭圆的方程;

（2）如果点M和N是定直线x=4上的两个动点，已知 · =0，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出该定点的坐标.

解析：（1）简答，可得椭圆的方程为 + =1.

（2）根据题意可设以MN为直径的圆的圆心为O′（4，h），半径为R，与x轴的交点为C和D，F M与F N相交于点P，如图3所示，连接图中的线段. 分析可知∠OPO′=∠OPF +∠NPO′=∠OF P+∠F NE=∠NF E+∠F NE=90°，即△OPO′为直角三角形，由勾股定理可得OO′2=OP2+O′P2=1+R2. 又知OO′2=OE2+O′E2=16+h2，所以1+R2=16+h2，即 = ，则CE=DE= . 又知点E的坐标为（4，0），则点C的坐标为（4- ，0），点D的坐标为（4+ ，0），所以以MN为直径的圆与坐标x轴相交于两定点（4- ，0）和（4+ ，0）.

评析：上述在探究圆过定点时是引入了直角三角形，利用直角三角形的勾股定理来构建方程，进而推导出关键点的坐标. 勾股定理反映了直角三角形的三边关系，在圆锥曲线问题中有两种使用策略：一是由直角特性构建线段关系，二是由线段的平方和关系推导直角特性.

类型4：圆的几何性质

圆是特殊的几何图形，含有众多的几何性质，如垂径定理、圆周角定理、圆心角定理等. 同时圆也是圆锥曲线重点研究的对象，解析过程可充分利用圆的性质定理进行条件推导.

例4：平面直角坐标系xOy中，点A是直线l：y=2x上位于第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l的另一交点为D. 若 · =0，则点A的坐标为________.

解析：结合题意绘制图4所示图像，由于 · =0，则AB⊥CD. 又知点C是AB的中点，点D位于圆上，则△ABD为等腰直角三角形，即∠ADB= ，∠BAO= . 设直线l的倾斜角为θ，则tanθ=2，可推得直线AB与x轴的夹角∠ABx= +θ，则直线斜率k =tan +θ=-3，结合点B的坐标可知直线AB的解析式为y=-3x+15，与直线l解析式联立可得点A的坐标为（3，6）.

评析：上述在探究点A的坐标时充分利用了几何性质，由条件推导等腰三角形，结合斜率与倾角的关系确定了直线的解析式，进而求出交点. 解题过程涉及圆中的“直径对直角”，等腰三角形的“三线合一”定理等，利用几何性质构建思路更为简洁.

反思总结

几何与代数的结合是研究圆锥曲线问题的重要策略，把握图形的几何特性，利用性质推导隐含条件可降低思维难度. 同时，圆锥曲线研究的对象是几何图形与曲线关系，解析过程显然不能绕开几何性质而单纯进行代数推導. 上述所涉及的几何性质在圆锥曲线问题中十分常用，考题探究要关注几何性质解题的构建思路，下面提出几点教学建议.

建议一：数形结合，以图像构建为解题先导

数形结合是求解圆锥曲线问题的常用方法，数形结合解题一般分两步进行：第一步，结合问题条件绘制或完善图像;第二步，结合图像推导条件，转化问题. 其中第一步图像构建是问题突破的先导，将直接决定思路构建的难易. 因此在解题教学中，首要任务是引导学生构建图像，提取图像中的特殊图形、特殊关系. 教学中要重视培养学生的几何直观，以及几何建模能力.

建议二：知识总结，以性质归纳为复习重点

利用平面几何性质可有效降低圆锥曲线问题的解析难度，解析时要合理处理图形与曲线的位置关系、图形特性与函数条件的关系. 圆锥曲线问题设问形式多变，但基于问题本质可将其归为常见的几类，解题探究中要注重知识总结，可围绕几何性质来归纳解题方法. 如上述利用中位线关系、勾股定理构建线段关系，由等腰三角形特性开展等角、等边转换等. 教学中要引导学生挖掘图形特性，合理进行性质拓展，提升学生的总结归纳能力.