问题串在高中数学概念课教学中的有效运用

陆敏阳

[摘  要] 数学概念是数学对象空间性质以及数量关系本质属性的反应，数学的推理、判断都是以数学概念为依据的，数学定理、法则以及公式也都是以数学概念为基础而生成的. 但是在高中数学的实际教学中，教师缺乏对数学概念的重视. 因此，在教学中，我们可以通过设计问题串的方式一步一步地分析高中数学概念，提高学生理解概念和运用概念的能力.

[关键词] 高中数学;概念教学;有效运用

问题串和高中数学概念教学的关系

问题串数量繁多，连接紧密，可以很好地运用到概念生成教学中. 在概念生成过程中，学生们会遇到很多困惑. 主要分为两种：（1）对新知识的不理解，没有明白概念的具体含义，只是通过简单的背记掌握特点，然后运用到具体的解题中. 可以解决简单的概念题，但对于复杂的概念辨析题，常常找不出头绪. （2）新旧知识的冲突，学生学习的新知识和旧知识很相近，区分起来比较困难，导致概念混淆. 又或者学生学习的新知识和旧知识之间存在矛盾，学生不知道如何处理，导致学习过程停滞不前. 当新知识的内容和旧知识的内容出入时，教师就要积极介入. 而问题串运用到概念教学中就可以很好地解决学生们的困惑. 在高中数学的学习中，正余弦定理、函数、直线斜率的概念教学比较困难. 本文特意选取这三个部分，探讨问题串和概念教学的融合方式.

基于概念生成过程的问题串的应用

1. 正弦定理教学

正弦定理的具体内容是：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 通过正弦定理，可以把三角形的边和角联系起来. 通过两条边和一个角或者一个角和两条边就可以获得一个三角形的全部信息. 研究常见的数学题目，正弦定理会和具体的数学情景相结合，以填空题或应用题的形式出现，难度中等. 如果同学们不清楚正弦定理的概念，计算起来会非常麻烦，很容易出错.

为了让同学们消化正弦定理的相关概念，本文设置了六个问题：（1）现有一个直角三角形，直角部分缺失，可以将其补齐吗？如何补齐？（2）在Rt△ABC中，已知sinA= ，sinB= ，而sinC=sin90°=1，如何用字母a，b，c表示sinC？（3）在直角三角形中，存在以下等式： = = ，从中可以得出什么结论？（4）可以发现，在直角三角形中，有如下结论：三角形各边及其所对角的正弦之比相等，那么对于一般三角形而言，是否也存在这一准则呢？（5）在锐角三角形和钝角三角形中，是否也存在 = = 这一等式呢？（6）通过几何画板，基本上可以得出 = = 这一结论，这一结论也被称之为正弦定理，那么该如何证明这一结论呢？

问题（1）的提出在于结合实际生活引导学生从生活当中观察相关的数学知识，发展学生的数学思维. 而如果是直接从问题（2）导入课程，尽管能够快速直接地进入课程的教学，但是没有引发学生的深入思考以及积极探索. 提出问题（1），学生会思考能够应用多种方法来完成这一问题，例如说使用直尺测量，测角仪测量之后再应用正弦定理，从而计算出直角边，进而再顺势引入问题（2），而接下来的问题（3）、问题（4）以及问题（5）则充分地体现出定理的从特殊到一般，并应用几何画板，可以使学生对于定理有着更加直观形象的理解. 问题（6）需要教师重点讲解. 有些教师为了省事，会直接告诉学生结论，不带领学生推导. 我们可以通过三种方式和途径来证明正弦定理. 每种方式有着不同的思维训练点，能够使学生的概念生成过程更加清晰. 问题串中的每一个问题都发挥着特殊的作用，是必不可少的. 少一个问题都会变得不完整.

通过本节课的学习，学生们的收获非常多. 学生们掌握了解决任意三角形边角关系的重要工具，了解了正弦定理的证明方法，认识了实际生活中三角度量的运用. 这是知识，也是收获.

2. 函数教学

在初中数学学习中，学生们就接触到了不少简单的函数. 在高中，学生们会学习到一些新的函数. 总之，从一开始我们就不断地完善和扩展函数知识，以实现对函数定义的进一步明确化. 分析归纳，函数概念的确定主要经历了三个阶段：变量说、对应说以及关系说. 变量说要求学生明白函数中的自变量和因變量. 对应说要求学生注重函数的对应关系. 关系说要求学生明白变量间的关系.

本文针对高中函数教学中的对应说，提出了以下问题串：（1）初中的时候，我们对于函数已经展开了教学，而高中再次教学，初中函数与高中函数是否具有矛盾呢？（2）根据初中所学习的函数相关概念和定义，以下代数式是否为函数呢？y=x，y= ，y=x2+x+1，y=2. （3）假设 A（2，2）与B（0，2）为两个定点，而点P是x正半轴上的一个动点，设其坐标为（x，0），那么，假设这个三角形的面积为y，请回答y是不是关于x的函数？与y=2之间是什么关系？（4）y=x，y= 这两个式子代表着一个函数吗？

以上四个问题的设计目的是为了说明：初中函数主要围绕变量说来展开教学，重在强调变量之间的基本关系，是相对宏观的，但是高中函数更加注重具体的对应关系，是微观的. 因此以上问题串的提问，就在于使学生领悟，初中函数和高中函数的概念基本上是一致的，是函数概念两个不同阶段的理解，两者之间不存在矛盾. 问题（1）帮助学生们衔接初中和高中的概念学习. 问题（2）则重点回顾了原先学习的旧知识，前三个式子为函数，分别是正比例函数、反比例函数以及二次函数，而y=2不是函数. 问题（3）强调了函数当中变量的重要性，为接下来函数教学打好了基础. 问题（4）则检验学生对于函数概念的理解. 在函数的学习中，概念辨析类题目比较多，形式也比较多，因为函数的概念分枝比较多. 学生们要理解函数概念有三个要素，由此判断一个式子是否为函数.

高中函数教学与初中函数教学有着明显的不同，高中函数教学重在以集合为基础导入概念，而且还引入了抽象的函数符号，难度比初中函数教学大很多. 为此，高中的函数概念教学要尽可能地把抽象、复杂的知识直观化和简单化，加强高中函数概念理解.

3. 直线斜率教学

本文以高中数学直线的倾斜角和斜率这一节为例，探讨问题串的设置. 本节的重点是让学生们理解直線倾斜角的唯一性和直线斜率的存在，这是正确理解直线的倾斜角和斜率相关概念的基础. 这一节的概念比较抽象，除了引入问题串，教师还要采用数形结合的方法，把图像也当做辅助手段. 直线倾斜角的概念是什么呢？当直线与x轴相交时，x轴作基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角. 什么是直线的斜率？一条直线的倾斜角的正切值，就表示为这条直线的斜率. 斜率和倾斜角的概念辨析值得学生们重视.

本文提出了以下问题串：（1）如何确定一条直线？（2）经过一个点的直线有多少条？（3）这些直线的异同点分别有哪些？（4）对一条直线进行旋转平移，如何确定直线的旋转倾斜程度呢？（5）在平面当中确定一条直线，需要有哪几个因素？（6）假设直线l的解析式如下：y=x，那么倾斜角是多少呢？（7）直线l 的解析式为y=3x，那么这条直线的倾斜角是多少？

本文在此阐述一下这七个问题的设置意图. 问题（1）、问题（2）引导学生回忆初中直线知识：两点确定一条直线;经过一点的直线有无数条. 问题（3）、问题（4）则使学生学会在平面直角坐标系中理解直线及其倾斜角. 问题（5）通过一点可以确定无数条直线，每两条直线之间不会重合，因为每一条直线的倾斜度不同. 问题（6）、问题（7）则使学生对倾斜角有更高层次的理解. 通过以上的概念教学，教师可以适当引入直线的斜率公式，开展有关直线斜率的应用题的分析讲解.

直线斜率的概念教学对学生的情感态度、价值观的培养都有益. 学生需要理解用数学语言表达的概念，并通过观察探讨交流来深入理解概念的本质，有利于培养学生严谨的学习态度和专业的数学精神.

对概念教学的分析与总结

概念教学是当下教育研究的热门话题. 为了把好的知识结构教给学生，很多数学老师都在想不同的办法. 比如，以情景的构建为基础传授相关的概念;从生活实际出发，通过问题引出数学概念等. 以上总结的三个教学案例都是为相关数学概念课程设计了一系列问题串. 作为高中数学的组成部分，数学概念知识是数学学习的基础，概念课的教学重点在于培养学生的数学思维以及掌握数学方法，例如函数引入时通过制造知识点的矛盾，使学生分析初高中函数概念的区别和联系，根据学生的认知发展规律来实现对高中函数概念的教学，使教学效果和质量得以优化和提高，这对于学生今后数学的学习也十分有意义. 数学教师可以按照本文的教学案例，找到每节课内容中的关键概念，推出相关的问题串. 这是概念课教学的良好途径和方法.

高中数学教学中，很多学生对于数学概念的学习都缺乏积极性和主动性. 而通过一系列问题串的设计，可以有效活跃学生的思维，引发学生积极展开思考，在长期思考和分析过程中实现自身数学核心素养的提高、数学思维的发展.