基于作业问题的课堂微专题教学

韩亦敏

[摘  要] 文章以《数学必修二作业本》 综合练习二第九十页第15题为例，设计了一节作业讲评的微专题课，从提出作业问题，追溯教材来源，延伸教材内容，解决作业问题，巩固再深化五个环节介绍了一种作业讲评课的模式，由此提高作业讲评课的效率.

[关键词] 作业讲评;阿波罗尼斯圆;教学设计

子曰：“不愤不启，不悱不发.”数学作业的布置除了常规习题（巩固当天所学）以外，笔者认为还应该有一部分题目是需要达到孔子所说的目的的.这些具有丰富背景并值得深入探索的题目的讲评是数学教学中的重要环节之一，应引起足够的重视. 教师要如何讲评这些题目，才能吸引学生的注意力，激发学生二次探索的兴趣，使作业真正成为学生提高数学能力的生长点？这是笔者想努力去探索的东西.

作业问题

1. 题目来源：浙江教育厅教研室编写《数学必修二作业本》综合练习二P90，15：

如图1，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴的正半軸交于A，B两点（点B在点A的上方），且AB=2.

（1）圆C的标准方程为__________？摇.

（2）过点A任意作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，

给出下列三个结论：

① = ;

② - =2;

③ + =2 .

其中正确的结论是_____（填序号）.

2. 作业反馈：第一小题正确率90%以上.第二小题大部分学生求出A，B两点坐标后放弃，放弃原因主要有两点：（1）A，B两点坐标出现了无理数，造成了运算障碍;（2）直线的任意性，导致无法计算NA，NB，MA，MB.

3. 参考答案（作业本给出的配套答案）：（1）（x-1）2+（y- ）2=2;（2）①②③.

提示：

（2）联立方程组x=0，（x-1）2+（y- ）2=2，

解得x=0，y= -1;或x=0，y= +1. ？摇

因为点B在点A的上方，所以A（0， -1），B（0， +1）.若直线MN的方程为x=0，此时M（0，-1），N（0，1），则MA= ，MB=2+ ，NA=2- ，NB= .

因为 = = -1， = = -1，所以 = ，因为 - = - = +1-（ -1）=2， + = + = +1+ -1=2 .

所以正确的结论是①②③

（答案录入说明：由于（1）正确率较高，因此省略（1）的答案）

仔细思考过答案的学生提出了这样的疑问：为什么可以由特殊的直线推导出①②③正确，就能认为对任意的直线MN这三个结论就正确呢？答案是否在逻辑推理上出现了严重的错误？针对学生对参考答案提出的疑问，笔者设计隐藏在此题背后的阿氏圆课堂微专题如下：

阿氏圆课堂微专题教学过程

1. 提出作业问题

师：昨天《作业本》P90，15有同学说答案不对，你们都赞成吗？

生：怎么能由存在的一条直线成立就说对任意满足条件的直线成立呢？这个是肯定有问题的.

师：我也觉得你们说得很有道理，那这道题哪位同学有解决方案吗？

生：低头，沉默

师：看来我们现在有的知识好像解决不了.让我们一起来翻翻教材，看看能不能有新的收获？请同学们翻到教材P139.

2. 教材溯源：人教版数学必修二教科书

P139，信息技术应用板块——用《几何画板》探究点的轨迹：圆.

？摇例：已知点P（2，0），Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q的距离的 ，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹方程.

此处由教师与学生在“几何画板”软件中共同完成点M的轨迹的猜想，由学生独立完成点M轨迹方程的推导，一致得出点M的轨迹是以 ，0为圆心、 为半径的圆.

P144，B组2：

已知点M与两个定点M ，M 的距离比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m≠1两种情形）.

此处学生们分组讨论坐标系的建法，并根据自己选择的坐标系写出点M的轨迹方程，教师引导学生在不同的轨迹方程中寻找轨迹的相同点：圆心与两定点M ，M 共线，圆的半径与m，M ，M 的距离有关.

3. 教材内容延伸：阿波罗尼斯圆

师：其实这个圆有个名字，叫阿波罗尼斯圆. （此处简短地介绍古希腊数学家阿波罗尼斯）.

阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足 =λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆. 圆心与定点A，B共线，若设M，N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN= ·AB.

师：这个圆我们之前求轨迹方程时有遇见过吗？

P124，B组3：已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为 ，求点M的轨迹方程.

师：同样的类型多次出现，我们就要引起重视了，它必然存在某种联系或统一性，我们要学会归纳总结.

接下来请同学们思考这道经典题目：（2008年江苏卷）若AB=2，AC= BC，则△ABC的面积的最大值为________.

变式1：已知A（-1，0），B（1，0），动点P在圆（x-3）2+y2=8上运动，问是否存在λ，使得PA=λPB（λ≠1）.

4. 解决作业问题

师：现在我们再回到《作业本》这道题，请同学们再好好思考并给出你们的思考结果.

师：你觉得答案的解法好，还是用MN= ·AB公式好？

5. 巩固再深化

变式2：已知A（-1，0），动点P在圆（x-3）2+y2=8上运动，问是否存在定点B，使得任意点P都满足PA= PB成立？

变式3：已知A（-1，0），D（0，1），动点P在圆（x-3）2+y2=8上运动，求 PA+PD的最小值.

变式4：已知A（-1，0），D（0，1），动点P在圆（x-3）2+y2=8上运动，求 PA+2PD的最小值.

课后练习：

（1）已知A（-1，0），B（2，0），动点P在圆（x+2）2+y2=4上运动，问是否存在λ，使得PB=λPA（λ≠1）.

（2）已知圆A：（x-1）2+y2= 和两定点B（0，1），D（1，1），点C为圆上一动点，求CD+2CB的最小值.

（3）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2-4e·b+3=0，则 b+a-b的最小值为________.

参考答案：

（1）λ=2;（2） ;（3） .

教学过程中，学生的具体操作与回答省去，笔者只是想探索一种有效的作业讲评模式，着眼在教师的课堂设计，学生的反馈需要读者具体操作体会.

康德说过：人的认识从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想.笔者认为一节好的作业讲评课就应该让学生由一道题收获一种类型，在探索思想的路上怀揣求知的欲望不断前行.