定位分析策略探索 核心探讨教学微设

李欣荣

[摘  要] 圆锥曲线是高考的重难点，引导学生掌握解题流程，形成解题策略极为重要. 教学中建议立足考题开展过程探究，围绕核心之问进行教学微设计，关注学生的思维活动，重视解题方法讲解. 文章以一道考题为例进行教学探究，基于教学实践提出相应建议.

[关键词] 圆;三角形;面积;线段;最值;平面几何

考题探究是数学教学的重要方式，通过引导学生探究问题，总结解法，可有效提升学生的解题思维. 而在探究过程中要关注两方面内容：一是问题的解析策略，二是学生的思维活动. 下面基于一道考题开展教学探究.

呈现问题，定位分析

问题：已知圆C经过坐标原点O，并且与x轴和y轴分别交于点A和B，设圆心C的坐标为t， （t∈R，t≠0），试回答下列问题.

（1）求证：△AOB的面积为定值.

（2）若直线2x+y-4=0与圆C交于点M和N，且OM=ON，试求圆C的方程.

（3）在（2）成立的条件下，设点P是直线l：x+y+2=0上的动点，点Q是圆C上的动点，探究PB+PQ是否存在最小值，若存在请求出该最小值，以及点P的坐标;若不存在，请说明理由.

定位分析：本题目中以圆为背景，探究直线与圆的位置关系、三角形的面积模型、线段和的最值，其中涉及直线、三角形等几何图形，问题的综合性极强. 探究过程要注重读图审题，策略分析，思路构建.

思路构建，问题详解

考题共分三小问，每一问各自独立，又相互依存，思路构建过程可采用分步探究的方式，立足设问条件，探索构建方法.

第一问：构建几何模型，解析面积最值

审题：设定点A和B為圆与坐标轴的交点，并给出圆心坐标，求证△AOB的面积为定值.

策略分析：分析三角形特征，构建面积模型，设定坐标参数求证面积定值. 可按照“构建模型→定值解析”的思路来逐步突破.

过程突破：已知圆心C的坐标为t， ，设圆的半径为r，则可将圆的方程表示为（x-t）2+y-  =r2. 由于圆C经过坐标原点，故t2+ =r2，化简圆的方程可得x2-2tx+y2- y=0. 由于点A和B分别是圆与坐标x轴和y轴的交点，结合圆的方程可得点A（2t，0），B0， . 结合图像可将△AOB的面积表示为S = OAOB，由点坐标可知OA=2t，OB= ，所以S = 2t· =4，所以△AOB的面积为定值4.

第二问：转化等量关系，解析圆的方程

审题：题干设定直线2x+y-4=0与圆C的交点为M和N，且OM=ON，显然△OMN是以点O为顶点的等腰三角形，存在几何特性.

策略分析：根据上述几何条件可知点C位于线段MN的中垂线上，OC与MN就为垂直关系，根据斜率之积为-1，可求出圆心的坐标，后续对直线与圆的位置关系加以论证即可. 分如下两步求解，第一步，把握几何特性，提取斜率关系，推导圆心坐标;第二步论证直线与圆的相交关系.

过程突破：设定MN的中点为H，根据等腰三角形特性可知CH⊥MN，且C，O，H三点共线，故直线2x+y-4=0与直线OC为垂直关系. 已知直线2x+y-4=0的斜率为k =-2，则直线OC的斜率k = = ，可解得t=2或t=-2，因此圆心分别为（2，1）或（-2，-1）.

①当圆心为（2，1）时，圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5，则圆心到直线的距离为 = < ，此时直线与圆C为相交关系，符合题意;②而当圆心为（-2，-1）时，C的方程为（x+2）2+（y+1）2=5，此时圆心到直线的距离为 = > ，此时直线与圆为相离关系，不满足题意，舍去.

综上可知，圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5.

过程分析：实际上对于第二步的“相交关系论证”还可以采用方程联立的方式进行化简，由于直线与圆C相交，故有两个不同的交点，则联立Δ>0，即可做出排除.

第三问：处理动点条件，探究线段最值

审题：该问在第（2）问的基础上构建，核心条件是点P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则分别满足对应的方程. 探究PB+PQ的最小值，属于双动点问题，需要关注圆与直线的位置特性.

策略分析：PB+PQ中的点P和Q分别为动点，故属于双动点最值问题. 可以采用单动点转化的策略，先设点P为定点，点Q在圆上运动，根据圆与直线的距离特性确定最小值;然后分析点P在直线l上运动时的最值情形.

过程突破：设点P为定点，当点Q在圆上运动时，易知PQ的最小值为PC- ，则PB+PQ的最小值为PB+PC- . 而当点P在直线l上运动时，求PB+PC- 的最小值，只需PB+PC取得最小值即可，点B和C位于定直线l的同一侧，显然满足几何最值中的“将军饮马”模型，作点B关于直线l的对称点，设为点B′，显然当B′，P和C三点共线时，PB+PC可取得最小值，此PB+PC=B′C，B′C与直线l的交点可设为P . 点B（0，2），其对称点B′（-4，-2），则线段B′C=3 ，所以PB+PQ的最小值为B′C- =2 . 由点B′和点C的坐标可求直线B′C的表达式为y= x，联立方程y= x，x+y+2=0，可得点P - ，- .

综上可知点，PB+PQ存在最小值，最小值为2 ，此时点P的坐标为- ，- .

核心探讨，教学“微设”

上述在解析圆锥曲线问题时，立足考题条件，开展策略分析，详尽地呈现了解题过程，有利于培养学生的解题思维. 而在实际教学中，建议立足核心之问开展教学微设计，下面基于第（3）问进行阶梯设问，引导思考.

环节（一）——单动点回顾，最值初探

题设：已知圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5，与坐标y轴的交点为B，点P是直线l：x+y+2=0上的定点，点Q是圆C上的一个动点.

设问：如何求PQ的最小值.

教学引导：引导学生设定点P的位置，结合图像分析，当点Q位于点P和点C中间，且三点共线时PQ取得最小值，连接PC，与⊙C的交点就为点Q. 由于圆的半径为 ，则PQ的最小值为PC- . 分析过程要引导学生总结解题策略，掌握数形结合的分析方法，活用“三点共线”确定点的位置.

环节（二）——模型回顾，突破最值

题设：已知圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5，与坐标y轴的交点为B，点P是直线l：x+y+2=0上的一个动点，点Q是圆C上的一个动点.

设问：按照上述思路如何求PB+PQ的最小值.

教学引导：教学中引导学生将PB+PQ转化为求PB+PC- ，让学生关注PB+PC中点与直线的位置情形，引入“将军饮马”模型，引導学生回顾模型的解析方法，充分利用轴对称变换和“两点之间，线段最短”原理进行最值求解.

环节（三）——问题变式，思维拓展

变式：已知圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5，与坐标y轴的交点为B，点P是直线l：x+y+2=0上的动点，试求△PBC周长的最小值.

教学引导：引导学生根据周长公式转化为求PB+PC+BC的最小值，其中BC为定值 ，则本质上就是求PB+PC的最小值，同样可结合“将军饮马”模型进行突破. 教学中要引导学生关注问题本质，总结常见模型的知识原理.

解后探讨，教学反思

1. 注重解题引导，提升解题技巧

圆锥曲线考题的解析难度较大，引导学生掌握解题技巧十分重要. 以上述综合题的突破过程为例，教学中建议按照“条件审视→策略分析→过程探究”的流程逐步突破，在“条件审视”环节引导学生关注条件特征，挖掘问题本质;“策略分析”时基于问题本质思考类型问题的突破策略及知识原理;而在“过程探究”中注重设问引导，结合解题策略分步突破. 教学引导中要注重解题的方法技巧总结，必要时可开展多解探究，充分提升学生的解题能力.

2. 挖掘几何特性，构建直观模型

圆锥曲线问题具有“数”与“形”的特点，充分挖掘其中的几何特性，构建直观的模型可降低问题的思维难度，也是该类问题突破的重要手段. 如上述第（2）问基于几何垂直构建斜率关系，第（3）问挖掘其中的“将军饮马”模型，直接确定最值情形，平面几何知识在问题突破中发挥了重要的作用. 教学中可引导学生采用数形结合的方法分析问题，挖掘图像中的几何特性，利用几何特性转化问题，构建思路. 同时，注重挖掘函数知识的几何意义，借用模型探究培养学生的几何直观性.

3. 关注学生思维，发展数学素养

学生的思维活动是教学关注的重点，教学中要引导学生充分思考，参与探究过程，亲历解题过程，形成解题策略. 以上述考题探究为例，基于核心之问进行教学微设计，由易到难，剖析问题本质，思考解题策略，同时基于问题开展变式探究，拓展学生思维. 教学中可合理渗透数学的思想方法，围绕解题探索感悟数学思想，如数形结合思想、分类讨论、化归转化、模型思想等，让学生掌握解题方法的同时获得思想上的提升，后者对于发展学生的数学素养极为重要.