思维引领讨论，讨论助推思维

胡毅

[摘  要] 课堂讨论是教学中常用的手段，但是往往会漫无边际、离题较远、浮于表面，高效、有序的课堂讨论可以帮助学生理清思维. 为了达到这个目的，教学过程中的课堂讨论环节必须注意通过学生思维的发展过程引领讨论的发展，学习单作为思维的媒介，在讨论中起到了重要作用.

[关键词] 课堂讨论;数学思维;研究性学习

课堂讨论是常见的教学环节，在教学中开放性的讨论有助学生的思维发展. 一方面，通过讨论，学生需要将理解的数学问题、数学知识准确、有序地表达出来，有助于培养学生的数学语言运用能力，发展学生的数学逻辑思维;另一方面，讨论帮助学生从口头表述数学，也有助学生多元智能的发展，在课堂讨论所形成的头脑风暴中，学生更容易擦出思维的火花.

但在有些课堂讨论中，会出现漫无边际、离题较远的情况，或者讨论不深入，浮于表面，不能抓住所研究课题的要害. 这些低效或者无效的课堂讨论一方面反映了思维的低效或无序，一方面又阻碍了思维的进一步发展. 如何通过高效、有序的课堂讨论帮助学生理清思维，互通有无，相互提升，成为课堂讨论环节在教学中成败的关键.

本文以校本数学研究性学习课题“y=f（x）的倒数函数y= 的图像与性质的研究”为载体，探索在研究性学习的教学过程中提高讨论效率的方法和策略.

学情分析与教学任务

高一年级的学生在第一学期已经系统学习了函数的相关内容，但总体来说，学生对于函数的学习仍然停留在对教材、教师明确给出的问题的解答上，所研究的函数也往往是明确给出的函数，学生对于如何通过自主构造函数，从特殊到一般归纳一类新的函数性质的创新性学习体验较少.

为此，在函数章节学习之后，设计了研究性学习课题“y=f（x）的倒数函数y= 的图像与性质的研究”，主要的研究方法是实验法，通过控制变量的方式探索并总结图像的一般规律，主要的研究工具是图形计算器或作图软件. 对于初次在高中数学学习中接触数学实验的学生，本课题的难点有两个：一是如何设计实验方案，包括函数的设计和控制变量的设计;二是如何从相关图像中归纳、验证规律，从而发现函数的性质.

课堂讨论环节的确立

针对本课题中设计实验方案和归纳、验证规律两个难点，在教学过程中设计了两次学生讨论环节.

第一次是讨论函数中变量的控制，探究从相关图像中总结出的图像变换的规律. 在教师对函数y=x2-1和y= 的作图演示结束后，教师要求学生对结论进行推广，研究在一般情况下y=f（x）的倒数函数y= 具有哪些性质. 学生在选择函数类型后，讨论选择函数解析式中哪些是需要变换的变量，并讨论对这些变量如何赋值. 各小组将具体函数和相应的函数图像填写在学习单中，并利用投影仪进行交流.

第二次是根据具体函数的图像，对y=f（x）与y= 图像变化的规律进行总结，每位学生将自己总结的性质填写在学习单的相应位置，然后进行小组内部的交流. 在小组内的总结和交流结束后，各小组轮流上台，每次交流一条自己总结的性质，并进行证明;其他小组可以对研究方法和结论进行补充和评价，也可以举出反例进行反驳. 最后学生和教师归纳数学实验中变量控制的研究方法的要点.

学习单的设计

学习单作为研究性学习过程中的文本记录工具，一方面可以在记录学生自主研究的内容和中间结果，以学生的思维过程引领讨论的开展，确保每位学生言之有物，不会跑题或者无话可讲;另一方面可以记录学生在相互讨论交流的过程中的相关信息，相互补充思考中不完善、不全面的地方，促进思维的发展.

本课题的学习单由“自主研究”“小组交流”“归纳验证”“发言提纲”“交流评价”“自我评价”六个部分组成.

教学过程

1. 情境创设

教师活动：复习函数图像变换的知识，用描点法画出y=x2-1的图像，并引导学生思考能否从已知函数出发画出y= 的草图.

学生活动：从实例出发，了解课题的意义.

设计意图：从已知引入未知，增加学习的兴趣.

2. 提出课题

教师活动：（1）猜测：展示y=x2-1和y= 的图像，猜测两个函数图像之间存在的关系.

（2）证明：说明上述猜测的真伪，加以证明.

（3）推广：一般地，y=f（x）的倒数函数y= 有哪些性质？

学生活动：在教师的引领下，通过对范例的学习，了解从函数图像研究函数性质的一般模式，学习从“特殊到一般”的归纳方法.

设计意图：通过教师的示范，學生对通过函数图像研究、归纳函数性质的方法增进了解，为后续的探究打下基础.

3. 组织学生进行第一次研究和讨论

教师活动：（1）确定特殊函数：请各组确定研究的函数，可选一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和相关的复合函数，尽可能选取不同类型的函数;确定函数解析式的表达形式，比如选取二次函数的小组，是以y=ax2+bx+c的形式进行研究还是以y=a（x-h）2+b的形式进行研究？选取的理由是什么？

（2）确定研究变量，比如在y=a（x-h）2+b中，固定哪两个参数，对准备变换的参数赋值哪些可以画出所有具有代表性的函数图像？

学生活动：（1）小组确定本小组研究的函数类型，在学习单上加以记录，并说明选择的理由. （2）小组成员确定控制变量和变量的具体值，并在小组内结合图像说明理由.

设计意图：教师可以首先请学生自行选择研究的函数类型，并将选择相近类型函数的学生分为一组，以利于后续的讨论. 在分组时尽量遵循“组内同质，组间异质”的原则，并以函数名称命名小组，指导小组成员选出小组长引导讨论，并对讨论的过程和内容提出要求. 对学习单的填写进行指导，确保学生能够在学习单上反映出思维的过程.

4. 组织学生进行第二次研究和讨论

教师活动：（1）记录、观察和归纳：通过图形计算器画出函数的图像，加以记录，并从定义域、奇偶性、单调性、值域、图像所在区域等方面归纳可能的性质.

（2）验证猜想：指导学生通过小组讨论排除错误的猜想，验证正确的结论.

（3）小组间介绍：请各小组代表从一个方面介绍本小组的研究过程和研究成果，包括研究了哪些具体函数、归纳的猜想、排除错误猜想的结论和依据、正确猜想的证明.

（4）小组评价：请其他小组进行补充和评价.

學生活动：（1）通过观察和选择，在学习单上记录最后能够较为准确说明性质的若干组函数图像，并归纳相关性质，尝试证明.

（2）小组轮流发言，介绍发现的性质和用于验证的函数图像.

（3）小组间互为补充和评价.

设计意图：（1）通过填写自己的学习单，每位学生都有独立思考、独立探究的机会;通过交流，每位学生在小组中都能得到表现的机会，这样的以“独立探究”为基础的小组讨论和合作，能使每位学生既有自己的学习空间，又能在合作中避免少数学生“一言堂”，多数学生主动性不够的情况出现. （2）小组轮流发言，既能确保每个小组都有发言的机会，又能形成一定的竞争，使课堂气氛更为活跃.

5. 小结

教师活动：（1）总结：学生和教师共同总结研究的方法和思路.

（2）作业布置：反思研究过程，思考进一步的课题.

学生活动：函数中应用变量控制法时应注意每个控制变量对图像变换的作用是单一清晰的.

设计意图：评价和总结是提升学生思维层次的重要环节，既要对研究的结论进行总结，也要对研究的方法和过程进行总结.

总结

课堂讨论是基于学生独立思考的基础上展开的，同时对学生的思维品质又具有重要的提升作用. 本节课通过两次学生讨论帮助学生体验数学实验中“控制变量”的研究方法，进行“从特殊到一般”的不完全归纳法的探究过程. 由于有学习单作为思维的脚手架和讨论的框架，学生交流积极，基本没有出现讨论和交流偏题较远的情况. 对于课后作业，大部分学生也能模仿课堂研究过程，提出自己的假设和论证. 通过两次课堂讨论，总结出在研究性学习中提高课堂讨论效率的一些方法：

1. 帮助学生学会记录自己探究的过程，为讨论提供材料和框架

通过在学习单上的记录，每位学生都拥有自己参与讨论的材料，讨论内容充实;同时，由于每位学生在讨论之前都经历了独立思考的过程，使得讨论是以“独立探究”为基础的讨论. 在第一次讨论前，通过填写学习单上的第一张表格，学生至少画出了3对函数图像，通过对每对函数图像关系的研究，学生或多或少都能归纳总结出若干条变换的规律，通过相互印证，每个小组都能找到比较完整的性质.

2. 讨论的问题应当具有一定的开放程度

第一次讨论问题的答案不是唯一的，学生想到的大多数函数都能够通过合理地选择参数完成后续的探究工作，由于可供选择函数的类型较多，有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、分式函数等，每种函数控制变量又不唯一，因此在两位学生使用完全一样的函数进行研究的情况几乎不会出现. 这样问题开放性就降低了讨论交流时发言的重复性，每位学生的交流都是不同角度的阐述，既增加了学生对其他同学研究结论的兴趣，也帮助学生更完整地理解研究的问题.

3. 帮助学生学会记录和分析讨论过程和结论

课堂讨论的结束不应当是学生思维的停止符，而是学生通过讨论的过程和结果的整理，对自己研究的内容、研究的过程、研究的方法、研究的结果进一步深化和提升的起点. 因此，在学习单上还设计了对于小组内讨论的记录和其他小组交流的记录，通过记录和评价，促使学生在课堂讨论的基础上，理解、反思他人的思维过程，从而完善自身对数学的理解.

总之，学生通过研究性学习的经历，逐步掌握研究方法、学会如何进行合作学习. 学习单的使用为探究过程搭建了一个框架，同时帮助学生学会如何理清自己的思维过程，使讨论言之有物，从而提高课堂讨论的效率，让课堂讨论的方向能够集中在主要的讨论问题上;通过学习单的记录，思考、评价其他同学的思维过程，使讨论能够切实帮助学生的思维提升.