具有奇异值分解性质的代数的等价定义

戴 建 宇

(湖南第一师范学院数学与计算科学学院,湖南长沙410205)

0 引言

一个形式实域F如果满足条件F2+F2=F2, 则称它为一个Pythagorean域。Galois序闭域是一个有序域[1]与Pythagorean域[2],但是Galois序闭域一般不是实闭域[3]。

因为每个形式实域的特征为0,所以Galois序闭域的特征为0。

笔者在文献[4]研究的基础上讨论了具有SVD性质的代数R的一些不同的等价定义和Galois序闭域的一些性质。

Galois序闭域在具有SVD性质的代数的结构中起着重要的作用, 文献[2，8-10]已经给出了Galois序闭域的一些重要性质, 下面我们进一步讨论。

1 基础知识

引理 1[4](极分解定理) 设R为一个具有SVD性质的代数,A∈Rm×n,则A有极分解

A=PU。

(1)

由C上表示矩阵的性质(参见文献[6-7]), 不难证明公式(1)。

A=QC+RCi。

(2)

并且A=0的充要条件是Q=R=0。

引理 3R是一个具有SVD性质的代数的充要条件：R是一个具有主轴性质的代数。

2 相关结果

由文献[4]得到具有SVD(奇异值分解)性质的代数的结构定理。

(1)R为一个具有奇异值分解(SVD)性质的代数；

(a)R为一个Galois序闭域；

(b)R的任一个真Galois扩域不是形式实域；

(c)R的任一个真正规扩域不是形式实域；

(e)R上每个对称矩阵在R上相似于对角矩阵；

(f)R上每个对称矩阵在R上正交相似于对角矩阵。

由文献[4]的引理3, 我们有(a)⟺(e)⟺(f)。证毕。

推论1 设R为一个Galois序闭域, 则R是有唯一序的有序域。

3 具有SVD性质的代数的等价定义

(a)R为一个具有SVD性质的代数；

(b)R具有主轴性质,即R上每个自共轭矩阵酉相似于F上对角矩阵；

(c)R上每个自共轭矩阵相似于F上对角矩阵；

(d)对于R上每个非零矩阵A,A*A酉相似于某个非零对角矩阵D, 并且D的主对角元素均为F中元素的平方；

(e)R上一个正定自共轭矩阵与一个自共轭矩阵的乘积可以相似于F上对角矩阵；

(g)R为一个p除环[13], 并且R+为一个Galois序闭域(作为R的子域)。

由于定理3的证明篇幅较长,我们将它分成两部分来证明。

证明：由文献[4]的引理3与引理6及其证明和定理1, 显然，充分性成立。下面证明必要性。

(3)

因此，有

R=R+⊕R-。

(4)

如果R-≠R+i, 则存在x0∈R-，使得

(5)

由上述证明与定理1可知R是一个具有SVD性质的代数。证毕。

定理3的证明:由引理3知(a)⟺(b)。显然，我们有(b)⟹(c)。若(c)成立,由引理3的证明方法(只需将酉矩阵换成可逆矩阵),同理可知(a)成立。因此(a)⟺(b)⟺(c)。

(6)

则由条件与体上矩阵秩的理论可知:存在酉矩阵U，使得

(7)

其中0≠λ1∈F。经过矩阵计算不难得到

(8)