符号意识观点下七年级学生非负数认知的易错点及对策

廖怡宁 韦宏 邓清

【摘 要】符号意识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的核心概念之一，培养符号意识有助于学生抽象概括能力和逻辑思维的发展。七年级非负数的学习中，部分学生对符号本质的理解不透彻，存在用字母表示正数的思维惯性，对复杂问题情境的表征能力较弱，在非负数的解题中容易出错。本文分析学生的易错点，从“引入符号史”“关注概念形成”“提高表征能力”三个维度给出对策，以期更好地利用数学符号演变发展深化学生对非负数的理解，提高学生的解题能力。

【关键词】符号意识;七年级;非负数

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0250-02

“符号意识”是一个核心概念，《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，培养学生的符号意识，有助于学生对符号的意义、算法进行理解，并能用较为简洁、清晰、准确的数学符号来对其数学思想进行表达[1]。符号意识是指学习者在思维的引导下，积极主动地对数学知识与数学符号之间的抽象关系进行认知的心理活动。张奠宙教授认为“symbol sense”的实质是数量意识和符号意识，即学生在学习中运用数量的意识，进一步对事物发展的数量规律进行观察，且善于用符号来表示和运

算[2]。朱立明教授指出，学生不仅要经历用数学符号进行运算和推理的过程，还需明白运算和推理背后所蕴含的道理，这就要求在数学课程中形成学生的数学符号意

识[3]。根据奥苏泊尔有意义学习理论，学生对符号所代表的新知進行同化需要从已有的认知出发，构建新旧知之间的联系。符号意识的发展，是学生长期的学习经验积累的结果，与学生的认知发展和学习情境有着密不可分的联系。因此，培养学生的符号意识，有助于提高学生的数学理解力。

1   渗透符号思想，培养符号意识

非负数是指在实数范围内，包含着所有的正数和零。七年级学生学习的非负数有绝对值、算术平方根、平方数等表现形式。绝对值是指若 a 为任意实数，其中正数的绝对值是其本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是其相反数。在解决绝对值问题时，易错点集中在去绝对值符号时，学生未全面考虑字母的取值，究其原因，是学生对绝对值符号表示的意义存在理解偏差，从而影响学生系统有序地解决问题。算术平方根指在实数范围内，若a是一个非负数 x 的平方，即 x2=a ，那么 x 是 a 的算术平方根。根号中被开方数 a 是非负的，其算术平方根也是非负的，可表示为a ≥ 0。而在求解时，由于对根号所表示的深层意义理解不透彻，即算术平方根的双重非负性（a ≥ 0），学生仅理解算术平方根的表层意义，在千变万化的应用情境中易出现解题错误。平方数是指可以写成某个整数的平方的数。在平方数的学习过程中，学生易注重它的运算操作，忽视它的表征意义。相对于小学的学习，初中学段的内容逐渐由算术向代数过渡，对数的学习逐渐提升到一般化水平，用符号表示数也是数学学习一般化、形式化阶段的开始。对于七年级学生，由于数学符号的增加，他们常常会对抽象符号的本质理解不透彻。因此，培养学生符号意识，需在非负数的教学中揭示数学符号表示的过程，帮助学生明确各个符号的内涵。下文将基于符号意识观点分析七年级学生对非负数的易错认知，并给出相应对策。

2   符号意识下非负数的易错分析

2.1  对抽象符号本质理解不彻底

在七年级非负数的学习中，难点在于透过符号理解其所表示的相关概念与性质。在数学符号的理解上，大部分学生仅理解符号所表示的形式意义，未能理解数学符号的本质意义。如在求解“|?5|”“|2a|”这样直观的数时，学生解题思路较为清醒，但碰到如“|a?b|”、求“|2a+5|+|2a?5|”的最小值这样含有多项的题时，学生无法直观地判断绝对值的确切值，便难以得到运算结果。因此，当绝对值里面是单项式或是多项式时，学生无法确定绝对值符号里复杂的数或式子仍然是表示非负的。绝对值的学习是一个从特殊到一般、由简单情境到复杂情境的过程，学生由于未能透彻理解绝对值符号的非负性本质，在复杂情境中去绝对值符号时易出现错误。

2.2  对数的具体化产生思维惯性

七年级学生思维正处于由小学学段的算术思维向初中学段的代数思维的过渡阶段。如“?”在小学是一种运算符号，在减法运算中会用到。进入七年级，有理数学习中，“?”既是运算符号又是性质符号。在小学学习用字母表示正数，在初中非负数学习中，则用“+”“?”进行正负数的表示。而一些学生在头脑中形成了用字母表示正数的思维惯性，如a是正数，?a是负数。这种思维惯性会影响学生对算术平方根的应用，导致他们解题时易出错。

2.3  对复杂问题情境表征能力较弱

数学符号的学习其实是学生对数学问题情境予以表征而进行逻辑推理，并通过运算将符号代数式化为确定的最简结果的过程。无论是符号的推理或是符号的运算，都是建立在数学符号意识的基础上。解决实际问题通常需同时使用数学推理和运算。如在给定的情境中理解数学符号与指代事物的对应性，建立对单个数学符号的清晰认知，进而得到数量关系，但一些学生遇到多个数学符号时容易产生认知模糊。如对“|?5|”，学生都知道如何进行运算，但在对“|2a?b|”的值进行计算时或者在多个数学符号的复杂情境中，一些学生由于问题表征能力较弱容易出错。

3   符号意识下非负数的教学对策

3.1  引入符号史，加强概念理解

对七年级学生来说，所学的数学符号较为抽象，但是每一个数学符号都有着悠久的演变发展史，都代表着数学符号的意义和发展过程。因此，教师可在教学中引入数学符号的历史，赋予枯燥的符号鲜活的人文历史气息，调动学生学习的热情。如在课堂中引入有关符号发展演变史来介绍绝对值概念：1841年，有一位德国数学家，名为外尔斯特拉斯，用“| |”来表示“绝对值”，他是历史上最早使用“| |”绝对值符号的人。1905年，数学家甘斯用符号“| |”表示向量的长度。通过对数学概念的历史介绍，学生能了解数学符号的发展不是一蹴而就的，而是数学家不断分析、探索逐渐演变而来的。在此基础上，教师还可引入绝对值的定义，并做出解释，指导学生结合绝对值定义进行解题。如对于“|a?b|”，先根据a、b的取值来判断“a?b”的大小，再按照定义去绝对值符号。通过引入数学史和对概念的具体解释，有助于深化学生对概念的理解。除此之外，符号史的引入还可通过引导学生利用App观看有关专题的数学史知识、利用网络搜集阅读相关资料的形式完成，强化学生对数学符号的认知，使学生从本质上理解看似抽象实则简易的数学符号。

3.2  突破思维惯性，关注形成过程

符号意识的培养形式在小学与初中两个阶段是不同的。课程标准具有分段性，但在学生符号意识的培养上是连贯的。初中生的思维正处于从算术层面向代数层面转化的过程中，而符号是区分代数与算术的主要特征。教学中，首先，要通过让学生更充分地认识到字母不仅可以表示0、正数、负数，还可表示含有字母的式子，打破学生头脑中字母只代表正数的思维惯性，避免学生出现计算错误。其次，要着眼于未来，符号是不断演变的，要使学生感受到用字母a表示数的变化过程，经历用字母a代表正数到初中代表有理数、实数再到单项式、多项式的过程。在小学学段，不仅要加强学生对数学符號的理解，还需为学生创建符号情境，让其在情境中感受符号、获得符号学习体验。在中学阶段，则需开展循序渐进的教学，突破学生的思维惯性。

3.3  提高表征能力，培养符号意识

一些学生学习非负数时，对自己做过、教师讲解过的习题能够快速做出反应，并有解题思路，正确解题，而对于情境陌生的习题，则难以下手。对此，教师需要引导学生自主探究解题思路，使学生在梳理解题思路的过程中学会运用符号在具体情境中建立数量关系，解决问题。如在“绝对值”教学中，除要求学生绝对值求值之外，教师还可以适当提出变式练习，让学生思考，通过由浅及深的练习加深学生对概念的理解，培养学生对复杂问题进行表征的能力，进而使学生有效解决问题，培养学生的符号意识。

新课标提出培养学生符号意识，有助于提高学生对符号意义的理解，使其理清算法、算理。在非负数的学习中，部分学生对符号的本质理解不透彻，一些学生有用字母表示正数的思维惯性且对复杂问题情境进行表征的能力较弱，他们在非负数的解题中容易出错。本文分析七年级学生非负数学习的易错点，从引入符号史、关注概念形成、提高表征能力三个维度给出对策，以期利用数学符号帮助学生对非负数形成正确理解，使其更好地把握数学问题，以数学符号构建数学模型，增强符号意识。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]朱立明.义务教育阶段学生数学符号意识分析层次的构建[J].数学教育学报，2019（2）.

【作者简介】

廖怡宁（1998～），女，汉族，湖南邵阳人，南宁师范大学数学与统计学院2020级硕士研究生。研究方向：学科教学（数学）。

韦宏（1968～），男，汉族，广西上林人，理学硕士，南宁师范大学数学与统计学院副教授，硕士生导师。研究方向：学科教学（数学）。

邓清（1998～），女，汉族，广西玉林人，南宁师范大学数学与统计学院2020级硕士研究生。研究方向：学科教学（数学）。