数形结合在高中数学教学中的运用分析

班彩欢

【摘 要】数形结合是一种重要的数学解题方法，用于高中数学学习，能很好地提高解题效率。高中数学教学中，教师应围绕学生所学，优选精讲相关的例题，展示数形结合在解题中的具体应用，更好地拓展学生的解题视野，为其解题能力的提升奠定基础。

【關键词】数形结合;高中数学;运用;分析

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0064-02

高中数学教学不仅要重视数学基础知识的讲解，还要做好解题方法的传授。数形结合在高中数学习题解答中有着广泛的应用，可获得事半功倍的良好效果，因此教学中应注重数形结合运用的渗透，使学生将之更好地用于解题。

1   用于求解方程根的问题

例1：若方程x2-1=存在3个实数根，则实数a的取值范围为（  ）。

A.[?2，0）∪（0，]      B.[?2，0）∪（0，）

C.（?2，0）∪（0，]      D.（?2，0）∪（0，）

原方程带有绝对值，为去掉绝对值需要进行分类

讨论：

（1）当x=1时，方程显然成立，则x=1为方程的一个实根;

（2）当x>1时，整理原方程可得到a=x（x+1）;

（3）当x<1且x≠0时，原方程可被整理为a=

?x（x+1），x≠0。

令f（x）=，

要想满足题意，只需 y=f（x）和 y=a的图象有两个交点。在直角坐标系中画出函数f（x）的图象，如图1所示。

由图1可知，x∈（?∞，0）∪（0，1）时， f（x）max=

f（?）=。因此，要想满足 y= f（x） 和 y=a 的图象有两个交点，则 a 的取值范围为（?2，0）∪（0，），选择D项。

解题点评：运用数形结合解答方程类的问题应具体问题具体分析，在参数不确定的情况下注重分类讨论，同时根据所学准确地画出对应函数的图象，结合图象认真分析[1]。

2   用于求解立体几何问题

例2：如图2所示，四边形ADFE、CDFG均为矩形，ABCD为正方形，三个四边形相互垂直。其中AB的长为2，若线段DE上存在一动点P，满足GP和BP垂直，则CG的最小长度为（  ）。

A.4      B.4      C.2      D.2

根据题意，以D为坐标原点，DA、DC、DF为坐标轴建立空间直角坐标系。设CG的长度为a，P（x，0，z），由比例关系可得=，则z=。B、G两点坐标分别为（2，2，0）、（0，2，a），则=（x?2，?2，），=（x，?2，?a）。

∵ GP和BP垂直，则·=0，显然 x≠0且x≠2，∴ a2=?4;

又∵ x∈（0，2），则根据函数知识可得a2的最小值为12，即a的最小值为2，选择D项。

解题点评：运用数形结合解答立体几何习题，为提高解题效率，应结合已知条件，构建合理的空间直角坐标系，准确地确定各点坐标，将几何问题转化为代数问题进行计算[2]。

3   用于求解函数零点问题

例3：已知函数f（x）是定义在R上，周期为2π的偶函数，f'（x）为f（x）的导函数。当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1;当x∈[0，π]且x≠时，（x?） f'（x）>0，则函数y=f（x）?sinx在[?3π，3π]上的零点个数为（  ）。

A.4         B.5         C.6         D.8

∵ f（x）是定义在R上，周期为2π的偶函数，且当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1，

∴ 当x∈[?3π，3π]时，0≤f（x） ≤1。

∵ 当x∈[0，π]且x≠时，（x-） f'（x）>0，

∴ 当x∈[0，]时， f'（x）<0，函数f（x）单调递减;当x∈[，π]时， f'（x）>0，函数f（x）单调递增。

在同一平面直角坐标系中分别画出y=sinx和y=f（x）的图象，如图3，两个函数的图象的交点个数即为函数y=f（x）?sinx 的零点个数。

在[-3π，3π]上两个函数的图象有6个交点，因此存在6个零点，选C项。

解题点评：解答函数零点个数问题，应灵活运用函数性质对函数进行巧妙转化，为画出其图象做好铺垫。同时在同一平面直角坐标系中画出对应函数的图象，确定在给定的区间中图象的交点个数即可[3]。

4   用于求解圆锥曲线问题

例4：已知抛物线C的方程为y2=4x，F为其焦点。准线l和x轴的交点为K，P为抛物线C上一动点，且处在第一象限。则当的值最小时，点P的坐标为（  ）。

A.（，）         B.（1，2）

C.（2，2）         D.（4，4）

解答该题需通过数形结合进行转化。根据已知条件画出如图4所示的图形。

过点P作PE和抛物线C的准线垂直于点E。

又∵ 抛物线C的准线l为x=?1，则容易求出K（?1，0）。由椭抛物线的定义可知，|PF|=|PE|。

由图4易得=cos∠EPK，而PE∥x轴，则∠EPK

=∠PKF，即=cos∠PKF。当∠PKF最大时，

取得最小值。由图4可知，只有当直线PK和抛物线相切时，∠PKF最大。设直线PK的方程为x=my?1（m>0），将其和抛物线方程联立，整理得到y2?4my+4=0，则Δ=16m2?16=0，m=1，代入求得y=2，此时x=1，即P点坐标为（1，2），选择B项。

解题点评：解答圆锥曲线问题，画出相关的图形，可更好地挖掘隐含条件，借助几何知识对要求解的问题进行转化，把陌生转化为熟悉，顺利地求解出结果[4]。

为提高学生运用数形结合解答数学习题的意识与能力，教学中既要注重数形结合知识的讲解，又要结合具体例题为学生展示数形结合在解题中的应用。同时，组织学生开展针对性的训练活动，使学生在训练中逐渐积累数形结合应用的经验与技巧，灵活将数形结合用于解题[5]。

【参考文献】

[1]邹德贵.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].试题与研究，2020（36）.

[2]叶明理.浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用策略[J].考试周刊，2020（A1）.

[3]张慧萍.数形结合思想在高中数学教学与解题中的有效运用[J].新课程，2020（42）.

[4]陈娟.利用数形结合，培养高中数学解题能力[J].数学大世界（中旬），2020（9）.

[5]董乃勇.灵活运用数形结合思想，巧妙解答高中数学问题[J].语数外学习（高中版下旬），2020（7）.