具有分数阶特性悬架的垂向振动特性研究

邢武策， 陈恩利,2， 常宇健

(1.石家庄铁道大学 机械工程学院，河北 石家庄 050043；2.石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，河北 石家庄 050043；3.石家庄铁道大学 电气与电子工程学院，河北 石家庄 050043)

组成悬架的机械结构中，像空气弹簧、磁流变减振器等减振部件具有黏弹性本构关系，相比于传统的整数阶模型，分数阶模型更能准确地描述黏弹性减振器的力学特性，反映悬架变形与受力之间的关系。

樊明辉等[1]对含分数阶微分的二自由度线性悬架模型在简谐激励下的幅频特性进行了解析和数值分析，并讨论了分数阶微分项系数和阶次对系统幅频响应曲线的影响。陈炎冬等[2]研究了由分数阶磁流变阻尼和非线性弹簧组成的复杂车辆悬架系统的减振控制。李占龙等[3]建立了考虑几何参数的分数阶Kelvin-Voigt黏弹性悬架模型，研究了悬架系统的减振特性。游浩等[4]利用粒子群算法研究了被动分数阶汽车悬架参数的优化设计。盖盼盼等[5]研究了具有频率依赖性的黏弹性阻尼隔振系统的动力特性及优化设计。王军等[6]研究了含分数阶微分单自由度分段光滑系统的振动特性。Yuvapriya et al[7]采用分数阶滑模控制在Matlab/Simulink软件中研究了悬架的振动性能。现主要研究含分数阶微分的悬架系统在简谐激励下的动力学响应特性，并分析分数阶微分项参数对悬架系统垂向振动特性的影响。

1 含分数阶微分的悬架系统动力学模型

具有分数阶微分特性的1/4车辆二自由度非线性悬架模型如图1所示。根据牛顿第二定律，可得到悬架系统的运动微分方程

图1 含分数阶微分1/4悬架模型

(1)

式中，m1、m2分别为车身、轮胎的质量；c1为悬架阻尼系数；h为分数阶微分项系数；p为分数阶微分项阶次且满足0

表1 悬架模型各参数取值

以下研究内容均采用表1中所示悬架模型参数。

2 含分数阶悬架系统垂向振动特性分析

本节对含分数阶微分的悬架系统在路面简谐激励条件下的幅频响应特性进行分析，并讨论分数阶微分项参数对系统性能的影响。将图1中的非线性悬架模型进行简化处理为线性悬架系统，即参数k3=0。根据汽车理论知识[8]，选取车身垂向振动加速度、轮胎动载荷和悬架动挠度为评价悬架系统振动特性的性能指标，对线性化后的悬架运动微分方程进行拉普拉斯变换，可得出系统各性能指标的幅频响应特性。

2.1 悬架垂向振动幅频特性

考虑线性悬架系统，即参数k3=0。对式(1)进行拉普拉斯变换，得

(2)

车身垂向振动加速度相对路面速度的频率响应函数为

(3)

路面的保持性由轮胎的动态接触力描述。轮胎动载荷相对路面速度的频率响应函数为

(4)

悬架动挠度相对路面位移的频率响应函数为

(5)

式中，符号“＾”表示拉普拉斯变换;A=-m1ω2+jωc1+k1+jpωph;B=jωc1+k1+jpωph;C=-m2ω2+jωc1+k2+k1+jpωph。

2.2 参数影响分析

将表1中的悬架系统参数作为基本参数，改变其中分数阶微分项的系数h和阶次p，分析其对悬架车身加速度、轮胎动载荷和悬架动挠度的影响。分析结果如图2～图4所示(路面激励幅值A=0.01 m)。

图2 分数阶微分项参数对车身加速度幅频特性影响

图3 分数阶微分项参数对轮胎动载荷幅频特性影响

图4 分数阶微分项参数对悬架动挠度幅频特性影响

图2所示为分数阶微分项系数h和阶次p对车身加速度幅频特性的影响。由图2可知，分数阶微分项系数h增加，幅频曲线左侧峰值先减小后增加，两峰之间的幅值一直增加，对右侧峰值影响很小；分数阶微分项阶次p增加，幅频曲线左侧峰值减小，对右侧峰值影响也很小，当激励频率大于一定值时，车身加速度幅值随阶次的增加而增加。

图3所示为分数阶微分项系数h和阶次p对轮胎动载荷幅频特性的影响。由图3可知，随着分数阶微分项系数h增加，左侧峰值先减小后增加，右侧峰值减小；随着分数阶微分项阶次p的增加，两侧峰值都在减小，而两峰之间数值在增加。

图4所示为分数阶微分项系数h和阶次p对悬架动挠度幅频特性的影响。由图4可知，随着分数阶微分项系数h和阶次p的增加，悬架动挠度幅频曲线的两侧峰值均在减小。可见，通过分数阶微分项系数和阶次可降低悬架挠度高频和低频的振动幅值，但对中频幅值影响较小。

通过以上分析可知，分数阶微分项的系数和阶次改变会影响系统的刚度和阻尼，进而影响悬架系统的性能。

3 非线性悬架车身振动特性

汽车悬架系统的机械结构，如悬架弹簧、阻尼器和轮胎中包含各种非线性因素，当系统中存在非线性因素时，会产生混沌、分岔等复杂的非线性动力学现象，考虑系统中的非线性因素具有实际意义，因此，应对具有非线性结构车辆悬架的振动特性进行研究。本节以图1中二自由度1/4悬架系统为研究对象，采用数值方法分析考虑非线性因素条件下分数阶微分项参数对车身振动幅频特性的影响。

采用幂级数展开法对悬架系统运动微分方程(1)进行数值计算。首先，将微分方程写为状态方程的形式

(6)

式中，z1为悬架车身与轮胎的相对位移；z2为轮胎的运动速度；z3为轮胎的运动位移；z4为车身的运动速度；z5为分数阶微分项。

通过幂级数展开法(PSE)对分数阶微分项进行处理，该方法的计算公式(对分数阶微分项的离散化过程)为

(7)

(8)

对系统状态方程式(6)进行离散化处理，并通过Matlab软件进行数值迭代计算。在数值迭代计算过程中，迭代步长为0.000 1，计算总时间为400 s，将计算结果的前80%(320 s)忽略，将后20%(80 s)中的最大值作为系统响应的稳态幅值，激励频率变化步长为1 rad/s。为了验证式(6)中数值迭代方法的正确性，以车身位移为例，参数k3=0，分别从数值和解析角度画出其稳态响应的幅频特性曲线。其中，车身位移的解析解表达式根据式(2)可得

(9)

解析解与数值解的对比结果如图5所示。

图5 车身位移幅频响应曲线

由图5可知，数值解与解析解吻合很好，说明数值迭代计算结果精度较高。

讨论非线性项系数k3取值分别为245 000、285 000、355 000(非线性参数k3的选取参考文献[9])时，车身振动位移的幅频响应曲线(悬架系统中其他参数均取表1中数值)。

由图6可知，随着悬架非线性系数k3值增加，车身位移幅频响应曲线的峰值向上向右移动，曲线出现跳跃多解现象，不稳定幅值所对应的频率范围增加。此外，由图6可看出非线性系数k3只对振动峰值产生影响，高频范围的振动幅值未受非线性系数k3的影响。由于数值扫频过程中只能计算出系统的稳态解，所以不稳定的解未能画出。

图6 非线性参数k3变化对悬架车身位移幅频响应曲线影响

以下讨论当非线性参数k3=355 000条件下，分数阶微分项系数h和阶次p对车身位移幅频响应曲线的影响。分析结果如图7和图8所示。

图7 分数阶微分项系数h对车身位移幅频响应曲线影响

图8 分数阶微分项阶次p对车身位移幅频响应曲线影响

由图7可知，随着分数阶微分项系数的增加，车身振动幅值减小，说明悬架系统的等效阻尼增加，幅频响应曲线的弯曲程度提高，说明悬架系统的等效刚度增加。可见，分数阶微分项系数h的增加，会使系统中的等效刚度和等效阻尼增加。

由图8可知，随着分数阶微分项阶次p的增加，车身振动幅值减小，曲线的弯曲程度降低，当阶次p大于一定数值时，曲线中不再存在跳跃和多解的现象。研究表明，分数阶微分项阶次p的提高会增加系统中的等效阻尼，图8中阶次p增加，振动幅值减小符合规律。

4 结论

本文研究了含分数阶微分二自由度1/4悬架系统在简谐激励条件下的垂向振动特性。

(1)针对忽略非线性因素的线性悬架模型，通过分析分数阶项参数对悬架车身加速度、轮胎动载荷和悬架动挠度幅频特性的影响发现，分数阶微分项的系数和阶次改变会影响悬架系统幅频特性的共振峰值和共振频率。

(2)针对考虑非线性因素的悬架系统，通过分析发现分数阶微分项参数变化会改变悬架系统的刚度和阻尼，进而影响车身振动的幅频特性，包括振动峰值、振动的固有频率和曲线的弯曲程度。