从课本例题看初中数学数形结合思想

黄尔迪

[摘 要]数学因较强的抽象性、缜密的逻辑性考查以及数字化语言的应用，而成为学生心目中较难学的学科.想学好数学，绝非单纯的“题海战术”就可以达成的，更主要在于对学生数形结合思想的培养.作为教学和学习基础的数学课本，其中所包含的数学例题是极具代表性和思想性的.文章针对数学课本中的例题进行探究，甄选出蕴含在数学例题中的数形结合思想，并提出中学生数形结合思想的培养方法.

[关键词]课本例题;数形结合思想;初中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）02-0033-02

作为一门抽象化的语言，数学的学习难度是几个学科中较大的，但这并不是学生学不好数学的根本原因，在数学的日常学习中，我们不应把数学学习和“刷题”简单粗暴地画等号.笔者认为，培养好学生的数形结合思想，让学生在解题过程中可以数形结合地进行思考，从更高的层次看待数学题和数学这门科目，这样才会让学生真正地了解数学、学好数学，并且能灵活运用数学知识解决问题.

一、数形结合思想的内涵和培养目标

数形结合，顾名思义，就是将数字和图形这两种数学构成的基本元素有效融合，引导学生运用灵活的解题思维，在解题探究的过程中巧妙转换数字与图形的数学思想与方法.在初中阶段，教师若想达到良好的数形结合思想培养效果必然需要遵循数学教育理论，引导学生巩固基础知识，重视理论教学的严谨性，要求学生准确理解数形结合思想的内涵和基础原理，再利用课本例题加以应用指导，使学生能游刃有余、灵活巧妙地运用数形结合思想来解决实际问题.

因此，初中数学教师在讲解课本例题时，应当明确巩固基础知识和锻炼数形结合运用能力的教学目标，强调“以数解形”和“以形助数”的思想，诱导学生将具体的数字和抽象的图形灵活转化，逐步挖掘出问题背后生动清晰的知识本质，从而深化对知识点的理解和应用，大幅度地提升解题效果.对于初中生而言，养成良好的数形结合思想，不仅能够强化他们的空间观念和数字意识，也能激活他们潜在的创造性思维，促进他们数学素养的提升.

二、数形结合思想培养存在的问题

很多学生在步入中学之后感觉数学学习较为吃力，最直观的原因在于，中学数学不再是简单的基础数字的堆放，而是进行了系统化、逻辑化和体系化的建立.首当其冲的就是数学的思想.数学思想是贯穿整个初中阶段乃至学生的数学学习生涯的脉络，尤其是数形结合思想在初中数学几何教学中的渗透，体现出了单纯的数学题的堆积并不能引发质变，只有在精雕细琢每一道数学题，并且认真探究其中的思想，才能做到游刃有余.

培养学生数形结合思想时存在着以下问题：一是大部分初中数学教师不了解数形结合思想在初中数学教学中运用的意义，不重视将数形结合思想渗透在教学的各个环节中;有的教师在讲解课本例题时，只是把数形结合思想看作解题思路和解题方法，纯粹引导学生探求问题答案，忽视培养学生的数形结合思想，使得数形结合思想的培养目标缺乏教学实践价值.二是多数学生在解题的过程中逐渐形成运用数形结合思想解决数学问题的意识，但是他们仍旧没有透彻理解和把握数形结合思想的运用方法，对数形结合思想的内涵存在狭隘认知.有的学生过分重视“以形助数”的应用，却忽视了“以数化形”和“形数互变”，无法在解决数学问题时把抽象的数学语言和直观的几何图形有机结合使其变得更为简單形象.由此可见，培养学生数形结合思想任重道远，数形结合思想的培养途径也有待考究和探索.

三、培养学生数形结合思想的有效策略

1.以数化形，厘清解题思路

初中数学教材中集中了大量典型的例题和习题，这些题目凝结了大量典型的数学思想方法，其中蕴含的数形结合思想不可忽视.初中数学教师应当积极展现数形结合之“以数化形”方法，引导学生正确认识数与形的统一关系，帮助学生形成清晰的解题思路，将“数”寄托于“形”中，利用已有的所理解的“数”，构建出形象直观的“形”.只有这样，学生才能准确掌握以数化形的解题方法，避免生搬硬套公式、陷入“死做题、做死题、做题死”的局面，逐渐冲出解题的误区.

例如，学生在解答复杂、抽象的代数式时，所采用的解法大多相对单一，常通过等式和代数式之间的变换使式子更加简单易解，但是在特殊情况下，一些典型的代数式可转化为图形，化抽象为具体，方便学生解题.尤其是在解决二次函数的相关题目时，教师可引导学生运用数形结合思想对二次函数形式的代数式进行简单的变换.以“已知二次函数为[y=x?-x+m]，画出它的图像，判断它的开口方向、对称轴及顶点坐标”一题为例，学生先运用配方法将其转化为标准的二次函数式，然后将其大致形状描绘在坐标上，以此来判断出二次项系数[a=1>0]，开口向上;再由[y=x?-x+m=x?-x+122-14+m=x-122+4m-14]和图像得出对称轴是直线[x=12]，顶点坐标为[12，4m-14].由此看来，在讲解课本例题时有意识地渗透数形结合思想极其重要，教师应当结合具体例题的情况来适当调整渗透方向，引导学生既快又准地完成数与形的转化，逐步提升解题的效率.

2.以形变数，捕捉一题多解

以形变数是数形结合思想的重要构成部分，它直接体现数与形的对立思维，要求学生借助数的形式来加以计算和判定简单图形.在素质教育对学生思维能力创新的要求下，引导学生学会“以形变数”的解题方法，培养学生从“一”探究“多”的解题方法，是初中数学教师需要加以重视的话题.一题多解，意味着教师和学生都需要突破固有“答案式”的解题思维局限，不断在解题过程中实现再发现和再创造，捕捉隐藏于题目背后的更多令人惊喜的“意外途径”，使学生能够在思维的拓展延伸中创造和挖掘出新观点和新解法.

例如，“全等三角形的判定”是学生在初中阶段需要重点把握的知识，而有关全等三角形的判定例题的解题途径也是多样化的，如边边边、边角边、角角边等.学生在解决有关全等三角形的判定问题时，需要从图形中探寻判定的切入点，逐步归纳出其中的全等条件，从而完成全等三角形的判定过程.那么，教师在引导学生分析全等三角形的判定的例题时，应当基于教学内容来对例题进行有目的地“深加工”，全方位挖掘出课本例题的多样化解法，并进一步引导学生拓展思维，学会从多方位切入解题，实现思路的创新和解法的创造，而不是仅仅被一种解题思路所束缚.如对于例题“如图1所示，已知D是AB的中点，[∠ACB=90°]，求证[CD=12AB]”，教师可先让学生回忆全等三角形的判定方法主要包括SSS、SAS、ASA，AAS、HL等，再要求学生多角度完成“以形变数”的解题过程.在结合全等三角形判定方法来观察图形后，学生列出了清晰的解题步骤：延长CD至P点，使D为CP中点.连接AP，BP，∵[DP=DC]，[DA=DB]，∴四边形ACBP为平行四边形，又[∠ACB=90]，∴平行四边形ACBP为矩形∴[CD=CP=12AB].

在这个寻求“新元素”和创造“新途径”的过程中，笔者发现，许多学生在解决课本的空间图形例题时，能够运用“以形辅数”的解题思维来挖掘出更多的解决方法.由此可见，数形结合思想能够促进学生思维能力和解题能力得到锻炼和提高.

由此看来，在讲解课本例题的过程中有意识地渗透数形结合思想极其重要，教师应当结合具体例题的情况来适当调整渗透方向，引导学生既快又准地完成数与形的转化，使他们逐渐形成独特的数形结合思想的运用方法，开拓思路，积极创新，实现解题效率的提高和学科素养的提升.

[参考文献]

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[2]  徐德明.高中解析几何知识中数学思想方法的教学策略研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2019.

[3]  董磊.数学思想方法的价值和意义[J].中学数学教学参考，2018（29）：46-48.

（责任编辑 陈 昕）