一节公开课引发的初中数学概念教学的思考

俞标

[摘 要]数学学习的关键是领悟、掌握和应用数学概念，数学概念教学很重要.数学概念教学可划分为三个阶段，即数学概念的熟悉认知阶段、数学概念的理解尝试阶段、数学概念的掌握活用阶段.把好三个阶段，实施精准教学，可有效提高初中数学概念教学的质量.

[关键词]初中数学;概念教学;公开课

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）02-0010-03

一、由一節公开课的引入引发的思考

笔者听了一节《合并同类项》的公开课.这节课的教学任务很清楚：先让学生弄清楚“什么叫同类项”，再让学生掌握“怎样合并同类项”和“合并同类项的应用”等内容.

执教老师是这样教学的：

第一步，在大屏幕上出示题组（让学生自行计算）：①[500-5003-10003];②[8-32+24-122];③ [12x–3x–12x–8] .

第二步，待学生自主演算、校对答案后，提问：“通过这几个题目的计算，你得到了哪些运算规律？”（学生回答）

第三步，引导学生自主探究，在学生得到“可以相加减”，即生成了“同类项”概念的基础上，引出“同类项”的定义.

这个课堂引入，与教材的设计大不一样.执教老师认为“合并同类项”本身就是针对数与式的运算，所以要求学生通过“代数式的运算”领悟并自然得出“同类项”的概念.

课后交流，发现其他教师针对“同类项”概念得出的方法有许多不同的意见.有教师认为，数学来源于生活，所以“同类项”概念的得出应像教材设计的那样，通过具体生活案例的概括，让学生自己去领悟“同类项”的概念.有教师认为，有效的导入会增强学生的学习兴趣.开始导入时，只要问学生：①我们班现在在操场上有18个同学，在教室里有22个同学，我们班一共有多少个同学？②2只羊加上5头牛，可以这样加吗？学生很快就知道，只有“同类型的”才可以相加减.有教师认为，“同类项”概念可以直接通过“分配律”的逆运算得出.

综合不同教师的看法，笔者认为以下几个问题值得思考：①数学概念教学，教师主要教什么？②数学概念应该通过怎样的途径、方法去“教”才有效？③怎样使学生比较熟练地运用概念解决数学问题？

二、数学概念的基本类型

数学概念大多是用定义的形式来表述的，不同的概念有不同的侧重点，也有不同的定义形式.按照概念的内涵、外延来分类，除了基础的原始定义外，一般可分为以下几类.

（一）发生性定义

发生性定义，要使学生明确定义发生过程.如教学“圆”的定义时，让学生用圆规画圆，在操作过程中得出定义，然后再深入理解圆心、半径、直径、弧、半圆、等圆、等弧等概念.

（二）构造性定义

构造性定义，要注意定义的形式与构造的程序.“三角形的中位线”定义，首先要明确“三角形的中位线”是一条线段，知道它是由“联结三角形两边中点”所得到的线段，这样就可以将这个概念延伸到“一个三角形有3条中位线”.

（三）形成性定义

形成性定义，要抓住定义的模型.这类定义通常采用“形如……叫……”的形式，如“形如[y=ax2+bx+c]（其中[a， b， c]是常数，[a≠0]）的函数叫二次函数”.

（四）规定性定义

规定性定义，重点要弄清两点，一是如何规定的，二是规定的形式是怎样的.如“平方根”的定义：若[x2=a]，则x叫[a]的平方根，记作[x=±a]（[a≥0]），这里规定[a≥0]既是必要的又是合理的.

（五）描述性定义

描述性定义，通常让学生了解即可，不必探究深层次内容.例如“整数和分数统称为有理数”“整式和分式统称为有理式”等.

三、数学概念的教学过程

笔者认为，数学概念教学一般可分为三个阶段：一是数学概念的熟悉与认知阶段;二是数学概念的理解与尝试阶段;三是数学概念的掌握与应用阶段.下面就这三个阶段，结合初中数学概念教学实际，谈谈数学概念教学的策略.

（一）认知概念，构筑学生内化概念的基础

对于初中数学，几乎所有新知的出现，都是建立在“概念”的基础上，所以教师要十分重视数学概念的形成过程，帮助学生内化数学概念.

1.吸引学生参与概念的发生过程

在初中数学中，多数概念的提出，基本上都有一定的客观依据，即具有一定的“实际基础”.因此在初中数学概念教学中，教师要结合学生的认知基础，利用实际模型来揭示概念，让学生体会概念的发生过程.

例如，《合并同类项》的教学，教师应从“如何清点一堆面值分别为1角、5角、1元的硬币速度比较快”切入，这样学生就会很自然地将“同类”的硬币合并，无形中就总结出了具有“相同特质”的事物叫“同类项”及“同类项可以合并”的“原始结论”.从学生感兴趣的又切合学生生活实际的“模型”引入，既激发了学生学习数学的兴趣，又为学生构筑了“同类项”概念的基础.

又如，“三角形的高”的定义，教师如果直接通过教材的定义演示，大多数学生也是能理解的，但对于钝角三角形中两个锐角的高线的确定比较模糊.对此，教师可创设问题情境：老师到墙这一边的距离怎么确定？（问题涉及老师，学生很感兴趣）点B到直线AC的距离怎么画？如图1，在△ABC中，AC边上的高怎么确定？”至此，教师顺理成章地让学生掌握三角形高的定义：三角形的高，就是过三角形的一个顶点作它所对边的垂线段.

2.联系学生实际经验引发新概念

数学概念来源于客观实际，因此引入概念时可从学生了解的知识实际出发，用已有概念来引进新概念.

例如，在教学“平面内的点”和“有序实数对”之间的一一对应关系时，不妨先举一个电影院座位号的例子.若票是12排8座，它表示第12排第8个座位;那么8排12座呢？它表示第8排第12个座位.这两个座位各由一对实数（12，8）与（8，12）来确定.（12，8）与（8，12）由于顺序不同，表示了两个不同的座位.反之，只有这两个座位才能用这两个不同的“实数对”来表示.为了让学生弄清楚“有序”和“实数对”这两个概念，除了用实例说明外，还要让学生记住，在（x，y）中，x在前，y在后，相当于“排”在前，“座”在后.加上括号才表示一个点的坐标，x是横轴上的坐标，y是縱轴上的坐标.与此同时，要让学生能叙述“平面内的点”和“有序实数对”是一一对应的，也就是要从两方面来进行说明，即在建立了平面直角坐标系以后，对于平面内任意一个点都有一对有序实数和它对应;反之，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的“点”和它对应.

这样的引入，从学生熟悉的生活体验出发，学生很容易掌握“平面内的点”和“有序实数对”是一一对应的.这样的概念引入收到了事半功倍的效果.

（二）理解概念，提升学生掌握概念的能力

1.凸显关键词句，加深学生对概念的印象

对于难度较大的、比较复杂的概念，教师在教学时一定要抓住、凸显其中的关键词语，以便于学生理解和记忆.

例如，《合并同类项》的教学中，在学生归纳得到“同类项”概念后，教师提问：“这里最关键的是哪几个词或句？”学生归纳：①字母相同;②相同字母的指数相同.另外，学生容易忽视“所有的常数项也可看作是同类项”，教师要特别予以提醒.

突出关键词语，讲透概念的本质，挖掘隐含条件，揭示本质属性，这对学生理解、掌握概念的促进作用是很明显的.因此，教师要紧扣关键性词语分析概念，使学生理解概念，培养学生严谨的科学态度.

2.逐层剖析语句，提升学生对概念的理解能力

初中数学中有些概念比较抽象，较难理解.如“绝对值”概念，教师可从教学内容和学生接受能力两个方面加以分析，寻找它的难点因素，有目的地各个击破，同时利用直观例子、图形，对概念本身涉及的数轴上“一个数”、“对应的点”、“到原点”、“距离”等数学术语具体化，逐步引申.

①在数轴上，-6到原点的距离是_________，所以|-6|=_________;5到原点的距离是_________;0到原点的距离是_________    .归纳到一般（用文字表述）：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数.

② 巩固概念.计算：[x][ =9]，则x=        ;当[x] =-8时，则x =_________ ;当[a≤0]时，[a =]_________;当[k>2]时，

[k-2] =_________  .

③化简[x-y] [=]_________.（用文字表述一般性结论）

这样由浅入深，由表及里，逐层剖析，结合实例讲解，总结归纳，形成“绝对值”概念的描绘性的朴素定义，使学生加深对“绝对值”概念的理解.

3.类比区分字句，克服学生对概念的误辨

数学有很多相通、相关概念，前后之间联系密切，教师应将这些概念有机地联系在一起引导学生进行比较，并讲清其本质属性，帮助学生厘清关系、区分异同点.

例如，平面几何中的“角的平分线”与“三角形的内角平分线”之间的联系，“倒数”与“相反数”的异同，三角函数中的“正弦”和“余弦”的区别，等等.

有时学生对概念的理解往往带有一种想当然的成见性观点，或者因为旧知识的负迁移，导致模仿模糊或错误.要克服这种现象，可适当举一些反例，让学生认清异同，辨别真伪，及时纠正.如区别[abm]和[amn]，[abm]表示m个ab相乘，[abm= ][ambm]，而[amn]表示n个[am]相乘，即（am）n=[amn].这里解决问题的关键就是用到乘方的概念.

4.弄清体系文句，让学生掌握概念

弄清每一个概念是概念教学的基本要求.可以在此基础上，把各个彼此相关联、有因果关系的概念加以整理，进一步分析、综合，让学生掌握概念体系，形成知识链，实现深层次的理解.

例如，“代数式”“整式”“有理式”“多项式”“单项式”“无理式”“方程”等，弄清楚这些概念的相互关联，明确每一个概念在知识链上的地位和作用，就能发挥知识的整体功能，利于学生对概念的理解和记忆.

又如，对于“因式分解”概念，许多学生只知道因式分解等号的左边是“加、减”的形式，而右边是“乘号”的形式，进而把“多项式”这个关键词忽略掉，往往会把代数式变形[x-y=（x-y）（x+y）]当作因式分解.

5.理顺本质属性，帮助学生研读概念

人们在研究事物时，总是先分析这类对象的共同的本质属性，再把具有这些本质属性的对象全部加以研究，这样就出现了概念的内涵和外延.在概念系统中进行概念教学，才能对概念进行分析、类比、扩充、引申，区分概念的内涵与外延，加深对概念的理解.

例如，“平行四边形”这个概念，教材是这样定义的：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形.”而矩形、菱形、正方形都具有这样的性质：①两组对边互相平行;②四边形.这个本质属性就是平行四边形的内涵，而满足这些对象的另外的图形，就是“平行四边形”概念的外延.

（三）活用概念，促进学生牢固掌握概念

学生初步形成概念后，为了巩固和运用概念，教师必须创造机会，指导运用.

1.由浅入深，形成正确概念，实现熟练应用

在学生经历概念的熟悉、认知、理解和尝试阶段之后，教师应引导学生掌握与应用数学概念.在练习与应用中加深学生对数学概念的理解，使学生能够灵活应用概念.

例如，在学习“同类项”概念时，可让学生判断“①[3m2n]和[-4mn2];②[5ab]和[-23ba];③-3.4和[617];④[3xy]和[3x]”是不是同类项，并说明理由.然后再进一步判断[-2xy2z3]和[32z3y2x]是否是同类项.

这样由浅入深地引导，可使学生达到熟练运用概念的目的.

2.突出重点，仔细辨析概念，厘清知识脉络

每一个新概念的呈现，教师不要急于取用一些难度较大的题目进行练习，应设计一些比较简单的且能体现概念本质的小题目.

例如，在复习“代数式”概念时，可设计以下题目：对于[2]，下列说法哪些是正确的？哪些是不正确的？为什么？

①[2]是整数;②[2]是无理数;③[2]是小数;④[2]是分数;⑤[2]是有理数;⑥[2]是整式;⑦[2]是无理式;⑧[2]是分式;⑨[2]是有理式;⑩[2]是代数式.

这里的每一个小题，都要涉及“代数式”的概念.学生通过每个小题的仔细辨析，可准确掌握“代数式”的概念.

3.创造机会，应用深化概念，增强应用能力

对于一些比较抽象的數学概念，教师可设计一些反面实例，甚至可以故意“布疑”“设阱”，诱使学生“上当”.这样可以使学生混淆不清的甚至错误的认知得到纠正，进而深化学生对数学概念的理解.

例如，“因式分解”的教学，在出示概念后，可设计以下题目让学生巩固概念.

下列各等式中，从左到右变形，哪些是属于因式分解的？为什么？

①[mx2+mx+m]=[mx（x+1）];②[x-1=x1-1x];③[x2-2=x-2x+2];④[x2-a=x-ax+a];⑤[ 2x-12=2x2-22x+1];⑥[ x2-1x2=x-1xx+1x ].

这么多个题目，属于因式分解的只有③，另外的5个题目都不属于因式分解范畴.这里的5个题目都有“陷阱”，学生如果能说出它们不属于因式分解的理由，那么他们对因式分解的概念就基本掌握了.

[参考文献]

[1]  范良火.义务教育教科书·数学（九年级上册）[M].杭州：浙江教育出版社，2013.

[2]  丁尔陛.中学数学教材教法总论[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]  王雪琴，成荣强.数项级数概念教学中学生数学思维能力的培养探究[J].渭南师范学院学报，2018（18）：58-63.

[4]  曲秀英.数学概念和定理的教学札记[J].现代职业教育，2017（25）：176.

（责任编辑 黄桂坚）