事件空间中时标上Hamilton系统的Noether对称性定理

施玉飞, 张 毅

(1. 苏州科技大学 数学科学学院, 江苏 苏州 215009； 2. 苏州科技大学 土木工程学院, 江苏 苏州 215011)

时标上的微积分理论[1]统一了连续分析和离散分析, 可揭示连续与离散现象的内在联系和本质区别. Bohner[2]研究了时标上的变分问题, 给出了时标Euler-Lagrange方程； Bartosiewicz等[3]建立了时标上的Noether定理. 目前, 关于Noether定理及其应用的研究已取得许多成果[4-7], 但关于时标上Noether理论的研究文献报道较少. Cai等[8]研究了时标上非保守非完整系统的Noether对称性； 文献[9-11]分别建立了时标上Hamilton系统、 Birkhoff系统、 时滞系统的Noether定理. 本文进一步讨论事件空间中时标上Hamilton系统的Noether对称性与守恒量, 给出事件空间中时标Hamilton系统的Noether对称性定理.

1 时标微积分及基本性质

设 T是一时标, 定义向前跳跃算子σ: T→T为σ(t)=inf{s|s>t,s∈T}, 向后跳跃算子ρ: T→T为ρ(t)=sup{s|s

假设函数f: T→, 令t∈Tk, 如果给定任一ε>0, 存在δ>0, 使得对所有的s∈U,U=(t-δ,t+δ)∩T, 均有

|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,

(1)

对于时标微积分, 下列运算公式[12]成立:

其中函数β(t): [r,s]∩T→单调递增且和表示定义在变换后的时标上.

引理1(时标上Dubois-Reymond引理)[12]令g∈Crd,g: [a,b]→n, 则对所有的且η(a)=η(b)=0,gT(t)ηΔ(t)Δt=0均成立当且仅当g(t)=c, 其中常数c∈n.

2 事件空间中时标Hamilton正则方程

(8)

则事件空间中时标Hamilton原理为

(9)

且满足关系

(10)

端点条件为

δxα|τ=a=δxα|τ=b=0,α=1,2,…,n+1,

(11)

其中：a,b∈T且a

引进事件空间中时标上的广义动量和Hamilton函数:

(12)

则式(9)可表示为

(13)

对Hamilton作用量

(14)

求变分, 得

(15)

由式(3)和式(11), 有

因此

(17)

将式(12)第二个等式的两边对yα求偏导数, 得

(18)

将方程(18)代入式(17), 得

(19)

由Dubois-Reymond引理, 得

(20)

对式(20)两边求Δ-导数, 得

(21)

联立方程(18)和(21), 得

(22)

此即为事件空间中时标Hamilton正则方程.

3 主要结果

文献[3-4]给出了证明Noether对称性定理的不同方法. 本文采用时间重新参数化方法建立并证明事件空间中时标上Hamilton系统的Noether对称性定理, 证明过程分两步.

1) 考虑参数τ不变的特殊无限小变换:

(23)

定义1对任意子区间[τa,τb]⊆[a,b], 其中τa,τb∈T, 如果成立

(24)

则称这种不变性为事件空间中时标上Hamilton系统(22)在无限小变换(23)下的Noether对称性.

定理1如果参数τ不变的特殊无限小变换(23)相应于事件空间中时标上Hamilton系统(22)的Noether对称性, 则对任意τ∈[a,b], 成立

(25)

证明： 由于对任意的[τa,τb]⊆[a,b], 式(24)成立, 因此有

(26)

将式(23)代入式(26), 得

(27)

将式(27)对ε求导, 并令ε=0, 即可得式(25). 证毕.

定理2如果参数τ不变的特殊无限小变换(23)相应于事件空间中时标上Hamilton系统(22)的Noether对称性, 则

I=yαξα=常数

(28)

是该系统的Noether守恒量.

证明： 由正则方程(22)及式(25), 可得

于是守恒量式(28)成立. 证毕.

2) 考虑参数τ变更的一般无限小变换：

(29)

设映射β为

τ→β(τ)=τ+εψ(τ,xi,yi)+o(ε),

(30)

(31)

定义2对任意子区间[τa,τb]⊆[a,b], 其中τa,τb∈T, 如果成立

(32)

则称这种不变性为事件空间中时标上Hamilton系统(22)在无限小变换(29)下的Noether对称性.

定理3如果参数τ变更的一般无限小变换(29)相应于事件空间中时标上Hamilton系统(22)的Noether对称性, 则对任意τ∈[a,b], 成立

(33)

证明： 由式(32), 有

由于式(34)对任意积分区间成立, 因此有

(35)

将式(35)对ε求导, 得

(36)

在式(36)中令ε=0, 有

再考虑到式(22), 即可得式(33). 证毕.

定理4如果参数τ变更的一般无限小变换(29)相应于事件空间中时标上Hamilton系统(22)的Noether对称性, 则

(37)

是该系统的Noether守恒量.

证明： 令

(38)

其中τ∈[a,b],x,v,p∈n+1,s,r∈,r≠0. 当s(τ)=τ时, 可得

(39)

(40)

其中,

(41)

由定义2, 当s(τ)=τ时, 有

注意到当s(τ)=τ时, 有

(44)

是系统的Noether守恒量.

由于

(45)

因此当s(τ)=τ时, 有

(47)

(48)

将式(47),(48)代入式(44), 可得守恒量式(37). 证毕.

I=yαξα-Hψ=常数.

(49)

当 T=h,h>0时, 有σ(τ)=τ+h,μ(τ)=h, 则由式(37)有

(50)

式(49)和式(50)是事件空间中连续和离散情形下的经典Noether守恒量. 当 T=且τ=t时, 由式(37)有

I=pαξα-Hψ=常数,

(51)

式(51)与文献[4]结果一致.

定理2和定理4是本文得到的事件空间中时标上Hamilton系统的Noether对称性定理. 事件空间中经典Hamilton系统的Noether对称性定理[4]和时标上Hamilton系统的Noether对称性定理[9]均为其特例.

4 算 例

考虑位形空间中Lagrange函数

L(t,qσ,qΔ)=t-qσqΔ,

(52)

设参数τ定义在时标 T={2n|n∈}∪{0}上. 由σ(τ)和μ(τ)的定义, 可得

σ(τ)=2τ,μ(τ)=τ.

(53)

由式(52)和式(8)可得

(54)

再由式(12)有

(55)

于是由式(22)和式(55), 可得时标Hamilton正则方程为

(56)

根据式(33), 有

(57)

方程(57)的解为

ψ=τ,ξ1=0,

(58)

因此由定理4可得

(59)

式(59)是系统的Noether守恒量.

事件空间中时间和广义坐标地位相同, 因而参数选取更灵活, 并且(n+1)个参数方程中已经包含了系统的能量方程, 因此研究事件空间动力学具有重要意义. 本文建立了事件空间中时标Hamilton原理, 导出了时标Hamiltom正则方程, 并建立及证明了事件空间中时标上Hamilton系统的Noether对称性定理.